Comment éviter les croisements de coquilles dans les modèles cosmologiques de Lemaître-Tolman

Dans le cadre des modèles cosmologiques de Lemaître-Tolman (L-T), une question fondamentale concerne l'apparition des croisements de coquilles (shell crossings), événements qui peuvent survenir dans des modèles en expansion ou en contraction. Ces phénomènes, bien que théoriquement possibles, sont souvent indésirables car ils impliquent des singularités dans la géométrie de l'univers. Pour éviter de tels croisements, des conditions strictes doivent être respectées concernant les fonctions de masse, d'énergie et de temps d'effondrement, telles que définies dans ces modèles.

Les croissements de coquilles peuvent être visualisés à l'aide de représentations graphiques. Par exemple, dans une telle configuration, les trajectoires des particules de poussière dans l'univers suivent des lignes de constante de masse $M$, qui ne peuvent jamais se croiser. Un croisement de coquilles se manifesterait par un point où une telle ligne de constante $R$ aurait une tangente horizontale, ce qui signifierait qu'il y a une inversion dans le comportement des courbes. Ce type de singularité est évité en choisissant judicieusement les fonctions d'énergie et de temps d'effondrement pour garantir que $R,r$ reste toujours non nul et positif.

Les modèles avec $E < 0$, $E = 0$, ou $E > 0$ conduisent à des équations différentes mais partagent des principes similaires. Dans le cas $E < 0$, les termes dans l'équation de masse-énergie doivent être soigneusement ajustés pour s'assurer que $t_B,r < 0$, et la fonction de masse $M(r)$ doit croître de manière appropriée pour éviter toute singularité. Lorsque $E = 0$, la condition devient encore plus contraignante, exigeant que le temps d'effondrement soit une fonction croissante du rayon pour éviter les croisements. Enfin, dans le cas $E > 0$, les propriétés des fonctions $\Phi_3(\eta)$ et $\Phi_4(\eta)$ permettent d'étudier le comportement des croisements de coquilles en fonction de l'énergie.

Il est également intéressant de noter que les conditions qui évitent les croisements de coquilles dans un modèle en expansion garantissent l'apparition de ces mêmes croisements dans un modèle qui se contracte. Cela signifie que les croisements de coquilles ne sont pas éliminés dans l'univers de manière absolue, mais plutôt déplacés de l'autre côté du Big Bang. Cette observation peut être cruciale pour comprendre comment ces modèles de L-T peuvent être adaptés pour représenter divers types de comportements cosmologiques, allant des phases d'expansion aux phases de contraction.

Comment vérifier les équations de transformation pour $G_{22}$ dans le contexte de la relativité générale

L’étape suivante consiste à réécrire l’équation $G_{01} = 0$ à l’aide de (19.33) pour obtenir une expression du type :

Cette approche permet de substituer les dérivées de $A$ et $A,tt$ via des transformations supplémentaires, réduisant ainsi le nombre de variables à traiter. Chaque substitution supplémentaire, notamment celle de $\mathcal{K}$, est exécutée pas à pas afin d'éviter l'explosion de la taille de la formule pour $G_{22}$, garantissant ainsi une gestion contrôlée de la complexité croissante des termes.

Le processus d'élimination des termes non désirés implique l’utilisation des relations entre les différentes quantités, telles que la relation $\Gamma = \frac{QQ,N}{R}$, et des substitutions pour les termes $Q, N$ et $u$. Cela réduit encore la complexité de l'expression, mais la démarche reste très détaillée, exigeant des vérifications à chaque étape pour s'assurer que l’équation est correcte.

L’utilisation d’un programme informatique est donc presque indispensable pour réaliser ces vérifications. Il faut également être prudent lors des dernières étapes, car même une petite erreur de substitution ou de calcul peut compromettre l’intégrité du processus de vérification. Cependant, cette approche détaillée permet de décomposer l’ensemble du problème en sous-problèmes plus simples, tout en assurant une vérification précise et rigoureuse.

Il est important de noter que bien que cette méthode soit la plus rigoureuse, elle nécessite une maîtrise parfaite des transformations de coordonnées et des calculs tensoriels. Pour les lecteurs non initiés aux outils algébriques, il peut être utile de se familiariser avec les logiciels de calcul formel capables de simplifier ces processus.

Quels sont les concepts fondamentaux du modèle de Tolman et son rôle en cosmologie relativiste ?

Le modèle de Tolman représente une construction mathématique et physique essentielle dans l’étude des solutions exactes de la relativité générale appliquée à des univers inhomogènes et anisotropes. Fondé sur une métrique spherically symétrique mais non nécessairement homogène, il permet de décrire des distributions de matière variables dans l’espace-temps, offrant ainsi une alternative aux modèles homogènes et isotropes tels que celui de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW). Cette flexibilité est cruciale pour modéliser des structures cosmiques réalistes, où la densité de matière varie à différentes échelles.

La richesse du modèle de Tolman réside dans sa capacité à être mappé sur diverses métriques connexes, comme celles de Riemann, Schwarzschild ou Friedmann, à travers des transformations conformes ou des raccords métriques précis. Ces techniques de "matching" permettent de relier des régions locales, par exemple autour d’une masse centrale, à un univers global en expansion, tout en conservant la cohérence des équations d’Einstein. Ces raccords sont fondamentaux pour étudier les horizons apparents, les singularités et la dynamique des masses dans un contexte relativiste.

Le modèle offre également un cadre pour analyser des phénomènes tels que la lentille gravitationnelle, l’effet Lense-Thirring, ou encore la propagation des ondes lumineuses et gravitationnelles, par le biais de concepts avancés comme les cônes de lumière, les surfaces piégées, ou les trajectoires géodésiques nulles. Le traitement rigoureux de ces phénomènes nécessite l’utilisation de formalisme sophistiqués, notamment le formalisme Newman-Penrose et des tenseurs spécifiques comme le tenseur de Levi-Civita relativiste, permettant de décrire les symétries, les déviations géodésiques et les propriétés topologiques de l’espace-temps.

Dans la description mathématique, l’emploi des groupes continus de transformations, des dérivées de Lie, des tenseurs énergie-impulsion et des différents types de métriques (Lorentziennes, Euclidiennes, conformalement plates) sont des outils indispensables. Ils facilitent la compréhension des structures inertielles, des observateurs non rotatifs, ainsi que des limites Newtoniennes et post-Newtoniennes des équations relativistes, qui sont cruciales pour le rapprochement entre la théorie de la relativité générale et les approximations classiques.

L’attention portée aux conditions de régularité, aux singularités nues ou masquées, et aux surfaces d’horizon, constitue un aspect fondamental pour la compréhension des propriétés physiques des solutions. En particulier, les études sur les trajectoires des particules et photons dans des métriques comme celle de Kerr ou Reissner-Nordström révèlent des comportements complexes, tels que le décalage vers le rouge cosmologique, la dérive des rayons lumineux, ou encore le phénomène de shift périhélique, illustrant la richesse dynamique du modèle.

Au-delà de la simple formalisation mathématique, l’intégration du modèle de Tolman dans les programmes d’observations cosmologiques basés sur le programme de Minkowski offre une perspective contemporaine sur l’interprétation des phénomènes astrophysiques, soulignant la nécessité de prendre en compte des géométries non triviales pour comprendre la structure à grande échelle de l’univers et l’évolution de ses composantes.

Le lecteur doit comprendre que ce cadre conceptuel et formel est la pierre angulaire d’une approche plus réaliste de la cosmologie relativiste, qui dépasse la simplicité des modèles homogènes classiques, en incorporant la complexité intrinsèque de la matière et de la géométrie de l’univers. La maîtrise des techniques de mappage entre métriques, des conditions de régularité, et des propriétés géodésiques, est indispensable pour toute analyse approfondie des phénomènes gravitationnels et cosmologiques actuels.

Pourquoi le champ magnétique monopolaire est-il éliminé dans les solutions de Schwarzschild et Reissner-Nordström?

Les équations F[μν,λ] = 0 n'imposent aucune restriction sur F01, mais pour F23, elles entraînent la condition √ f23 = 8πq = constante. Cette constante 8π a été introduite pour simplifier les calculs ultérieurs. Par ailleurs, l'équation Fμν ;ν = 0 peut être réécrite dans la forme √( −g Fμν ;ν = 0), et devient donc r² eμ+ν F01,t = 0 = r² eμ+ν F01,r. Le champ F23 = 8πq/r⁴ sinϑ satisfait cette équation de manière triviale. En résolvant cette équation, on obtient une solution pour F01 sous la forme √ F01 = 8π e e−μ−ν/r².

Cette solution décrit un champ électromagnétique qui, en présence d’un monopole magnétique, existe à l’état non nul. Cependant, l’introduction de la rotation de dualité (13.13), avec δ = − arctan(q/e), permet de réduire à zéro le composant F23, en montrant que q̃ = 0 et ẽ = −sign(e) √(e² + q²). Il en résulte que, sans perte de généralité, nous pouvons poser q = 0 et F23 = 0.

C'est à ce moment que les solutions de Schwarzschild et Reissner–Nordström, en l'absence de monopoles magnétiques et avec la supposition q = 0, deviennent particulièrement intéressantes. L'énergie-momentum tensor, qui découle des composants Fαβ et de leur expression simplifiée, présente des termes tels que F0ρ Fρ0 = 8π e² e²ν/r⁴ et F1ρ Fρ1 = − 8π e² e²μ/r⁴, ce qui donne une solution qui s’intègre bien dans le cadre des équations d’Einstein–Maxwell.

En prenant en compte ces équations, le champ électromagnétique dans un espace-temps courbé, par exemple dans le cadre des solutions de Schwarzschild, prend une forme particulière. Dans le cas où la constante cosmologique Λ = 0 et e = 0, la solution finale pour la métrique est g00 = 1 − 2m/r, ce qui est la solution de Schwarzschild classique, où m représente la masse du corps central et r est la distance radiale. Cette solution a des implications importantes pour les tests expérimentaux de la relativité générale, car elle est utilisée pour décrire le champ gravitationnel des trous noirs et des objets massifs.

L’une des particularités de cette solution est qu’elle présente une singularité apparente pour r = 2m, ce qui signifie que la fonction g00 → 0 et g11 → −∞. Cependant, en analysant le comportement de la métrique pour r < 2m, on constate que la métrique reste non-singulière, mais avec des signes inversés pour les composants g00 et g11, ce qui indique que la coordonnée radiale r se transforme en une coordonnée temporelle et vice versa.

Ainsi, bien que les solutions de Schwarzschild et Reissner-Nordström soient cruciales pour comprendre la géométrie de l’espace-temps autour de corps massifs et électriques, leur interprétation physique n’est pas exempte de difficultés. La singularité apparente à r = 2m peut être considérée comme une frontière entre deux régions différentes du modèle : une région extérieure où la gravité domine, et une région intérieure, proche de la singularité, où les lois classiques de la relativité sont modifiées par les effets extrêmes de la gravité.

Les résultats obtenus, bien que significatifs, sont loin de constituer la solution finale à toutes les questions relatives à la dynamique des champs électromagnétiques et gravitationnels dans l’espace-temps courbé. D’autres solutions plus complexes, comme celles des trous noirs et des modèles avec charges magnétiques, continuent de faire l'objet de recherches et d’investigations approfondies.