La convergence uniforme des séries de Fourier et la différentiabilité par morceaux

Nous abordons ici la question de la convergence uniforme des séries de Fourier. Pour obtenir un critère simple et suffisant, il nous faut imposer davantage de régularité aux fonctions considérées. Soit $J := [\alpha, \beta]$ un intervalle compact parfait. Nous disons qu'une fonction $f \in SC(J)$ est par morceaux continuellement différentiable (ou possède des dérivées continues par morceaux) si il existe une partition $(\alpha_0, \alpha_1, \dots, \alpha_n)$ de $J$ telle que $f_j := f|_{(\alpha_j, \alpha_{j+1})}$ pour $0 \leq j \leq n-1$ ait une dérivée uniformément continue.

Lemme 7.19 : La fonction $f \in SC(J)$ est par morceaux continuellement différentiable si et seulement s'il existe une partition $(\alpha_0, \dots, \alpha_n)$ de $J$ avec les propriétés suivantes :

(i)

f|_{(\alpha_j, \alpha_{j+1})} \in C^1(\alpha_j, \alpha_{j+1})

pour

0 \leq j \leq n-1

(ii) Pour

0 \leq j \leq n-1

1 \leq k \leq n

, les limites

f'(\alpha_j + 0)

f'(\alpha_k - 0)

existent.

Démonstration : "⇒" Par définition de la différentiabilité par morceaux, (i) découle immédiatement, et (ii) résulte du théorème 2.1. "⇐" D'après la proposition III.2.24, si la partition satisfait les conditions (i) et (ii), alors $f'_j \in C(\alpha_j, \alpha_{j+1})$ a une extension continue sur $[\alpha_j, \alpha_{j+1}]$ . Par conséquent, le théorème III.3.13 implique que $f'_j$ est continuellement différentiable.

Si $f \in SC(J)$ est par morceaux continuellement différentiable, le lemme 7.19 garantit l'existence d'une partition $(\alpha_0, \dots, \alpha_n)$ de $J$ et d'une fonction dérivée normalisée par morceaux continue $f'$ , telle que $f'|_{(\alpha_{j-1}, \alpha_j)} = f'|_{(\alpha_{j-1}, \alpha_j)}$ pour $0 \leq j \leq n-1$ . Enfin, on appelle $f \in SC_{2\pi}$ par morceaux continuellement différentiable si $f|_{[0, 2\pi]}$ satisfait ces propriétés.

Remarques 7.20
(a) Si $f \in SC_{2\pi}$ est par morceaux continuellement différentiable, alors $f'$ appartient à $SC_{2\pi}$ .
Démonstration : Cela découle directement de la définition de la normalisation sur les frontières de l'intervalle.

(b) (règle de dérivation) Si

f \in C_{2\pi}

est par morceaux continuellement différentiable, alors

\hat{f'}_k = ik\hat{f}_k

pour

k \in \mathbb{Z}

, où

\hat{f'}_k := (\hat{f'})_k

Démonstration : Supposons $0 < \alpha_1 < \dots < \alpha_{n-1} < 2\pi$ soient tous les points de discontinuité de $f'$ dans $(0, 2\pi)$ . Il découle de l'additivité des intégrales et de l'intégration par parties (avec $\alpha_0 := 0$ et $\alpha_n := 2\pi$ ) que :

\int_0^{2\pi} f'(t) e^{ -ikt} dt = 2\pi ik \hat{f}_k.

Ainsi, $\hat{f'}_k = ik \hat{f}_k$ pour $k \in \mathbb{Z}$ .

Nous pouvons maintenant établir un critère simple pour la convergence uniforme et absolue des séries de Fourier.

Théorème 7.21 : Supposons que $f : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ soit $2\pi$ -périodique, continue et par morceaux continuellement différentiable. La série de Fourier $S_f$ de $f$ sur $\mathbb{R}$ converge normalement vers $f$ .

Démonstration : En utilisant les remarques 7.20(a) et (b), l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les séries, et la relation de complétude, il découle que la série $\sum_{k=-\infty}^{\infty} \hat{f}_k e^{ikt}$ possède une majoration convergente. Cela permet d'appliquer le critère de majoration de Weierstrass (théorème V.1.6), impliquant la convergence normale de la série de Fourier $S_f$ .

De plus, la série $S_f$ converge dans la norme $SC_{2\pi}$ vers une fonction $g$ continue et $2\pi$ -périodique. Nous avons $\|S_n f - g\|_{\infty} \to 0$ lorsque $n \to \infty$ , ce qui montre que la série converge aussi dans la norme $L^2$ . Puisque la norme $\infty$ est plus forte que la norme $L^2$ , la convergence normale est assurée, et la série $S_f$ converge normalement vers $f$ .

Exemples 7.22
(a) Pour $|t| \leq \pi$ , nous avons :

\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\cos((2k+1)t)}{(2k+1)^2} = -\frac{4}{\pi^2}.

La série converge normalement sur $\mathbb{R}$ , ce qui découle directement du théorème précédent.
(b) (Décomposition en fractions partielles de la cotangente) Pour $z \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{Z}$ , on a :

\cot(\pi z) = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{z+n} - \frac{1}{z-n} \right).

Applications 7.23
(a) La formule d'Euler pour $\zeta(2k)$ donne pour $k \in \mathbb{N}$ :

\zeta(2k) = \frac{(-1)^{k+1} (2\pi)^{2k}}{2(2k)!} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2k}}.

Par exemple, $\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$ , $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ , et $\zeta(6) = \frac{\pi^6}{945}$ .

(b) La représentation en produit de $\sin(\pi z)$ pour $z \in \mathbb{C}$ s'écrit :

\prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - \frac{z^2}{n^2} \right) = \frac{\sin(\pi z)}{\pi z}.

Cela permet de démontrer des résultats intéressants, comme le produit de Wallis.

Comment résoudre les équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants ?

Les équations différentielles linéaires du second ordre apparaissent fréquemment dans divers domaines des sciences appliquées et de l’ingénierie. Parmi ces équations, celle de la forme $u'' + b u' + c u = g(t)$ , où $b$ et $c$ sont des constantes réelles et $g(t)$ est une fonction donnée, est l'une des plus étudiées. La solution de cette équation dépend de la nature des racines du polynôme caractéristique associé à l'équation homogène $u'' + b u' + c u = 0$ , ce qui détermine le comportement des solutions générales.

Le problème d'initialisation correspondant est défini par les conditions $u(0) = a_1$ et $u'(0) = a_2$ , où $(a_1, a_2) \in \mathbb{K}^2$ , et la solution qui en résulte peut être obtenue en utilisant la théorie des systèmes d'équations différentielles linéaires du premier ordre dans l'espace des phases.

Lorsqu'on considère le système $x' = A x + f(t)$ , où $A$ est une matrice de coefficients constants, une des méthodes utilisées pour résoudre ce système consiste à recourir à une matrice fondamentale. Cela nous permet de traiter des systèmes de plus haute dimension en réduisant le problème à des équations du premier ordre. L'un des résultats fondamentaux en théorie des systèmes linéaires est que toute matrice fondamentale pour le système $x' = A x$ permet de résoudre une équation linéaire de cette forme. En particulier, la solution générale d'une telle équation peut être écrite sous forme $e^{tA} X(0)$ , où $X(t)$ est la matrice fondamentale et $X(0)$ est la condition initiale.

Dans ce contexte, les valeurs propres de la matrice $A$ jouent un rôle crucial dans le comportement asymptotique des solutions. Ces valeurs propres sont déterminées en résolvant le polynôme caractéristique $\det(\lambda - A) = 0$ , dont les racines peuvent être réelles ou complexes, et influencent la stabilité du système dynamique. Si les racines sont réelles et distinctes, les solutions croissent ou décroissent de manière exponentielle. Si les racines sont complexes, les solutions oscillent, typiquement avec un terme exponentiel modifiant l'amplitude de l'oscillation.

Dans le cas particulier où les racines sont complexes conjuguées, comme dans le cas d'un oscillateur harmonique, les solutions sont de la forme $e^{\alpha t} \cos(\omega t)$ et $e^{\alpha t} \sin(\omega t)$ , où $\alpha$ est une constante réelle et $\omega$ est la fréquence angulaire. Ce type de solution apparaît fréquemment dans l’étude des oscillateurs non amortis, des circuits électriques ou des systèmes mécaniques à ressort.

Un autre aspect important est la méthode de variation des constantes, qui permet de résoudre l'équation non homogène en intégrant les solutions de l'équation homogène avec des fonctions qui dépendent du terme $g(t)$ . La solution particulière à l'équation $u'' + b u' + c u = g(t)$ peut être obtenue en appliquant la formule de variation des constantes, où l'on considère une solution de la forme $v(t) = \int_{0}^{t} e^{(t-\tau)A} f(\tau) \, d\tau$ .

Une fois les solutions particulières et générales obtenues, on peut les combiner pour former la solution complète de l’équation différentielle. Les applications de ces équations sont vastes, allant des vibrations mécaniques aux phénomènes électriques, en passant par les processus de diffusion et de relaxation dans les systèmes physiques.

Les méthodes de calcul des matrices fondamentales et des solutions d'équations différentielles linéaires ne se limitent pas aux systèmes d'ordre deux. Elles s'étendent à des systèmes plus complexes, dans lesquels les solutions sont obtenues en appliquant les techniques de décomposition en valeurs propres et en utilisant des transformations de base pour simplifier les calculs. Ces techniques sont essentielles dans la modélisation et la compréhension des systèmes dynamiques complexes, que ce soit dans le contexte des systèmes mécaniques, électriques ou même économiques.

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La continuité et les propriétés des intégrales : un cadre formel pour l'analyse

Soit $f$ et $g$ deux fonctions réelles définies sur un intervalle $I$ et mesurables. Si l’on a $f \leq g$ , alors l'intégration est une fonction monotone, c'est-à-dire que si l'on intègre une fonction $f$ plus petite que $g$ , l'intégrale de $f$ sera toujours inférieure ou égale à celle de $g$ . Cette propriété repose sur la linéarité de l'intégrale et sur le fait que les intégrales de fonctions mesurables sont continues en ce sens. L'intégrale, dans ce cas, peut être vue comme une forme linéaire continue sur l’espace des fonctions mesurables.

Prenons maintenant l'exemple d’un espace vectoriel $V$ réel. On y définit ce que l'on appelle une forme linéaire ou fonctionnelle linéaire, c’est-à-dire une application linéaire $\varphi : V \to \mathbb{R}$ . Si $V$ est un espace vectoriel réel et $P$ est un cône convexe non vide de $V$ , où les éléments de $P$ satisfont des conditions spécifiques de stabilité sous addition et multiplication par des scalaires positifs, $P$ est un cône convexe positif, c’est-à-dire que si $x \in P$ , alors $\lambda x \in P$ pour tout $\lambda \geq 0$ , et $P$ est convexe, c’est-à-dire que pour tous $x, y \in P$ , l'intervalle $[x, y]$ est inclus dans $P$ . Cette structure permet d'imposer un ordre sur $V$ , ce qui définit un espace vectoriel ordonné.

Lorsque cet espace est associé à une forme linéaire $\varphi$ , celle-ci est dite positive si $\varphi(x) \geq 0$ pour tout $x \in P$ . Cela revient à dire que la forme linéaire est croissante. Une telle forme linéaire est monotone, ce qui signifie que si $x \leq y$ , alors $\varphi(x) \leq \varphi(y)$ , ce qui est une propriété fondamentale dans l'analyse des intégrales, notamment dans le cadre des espaces vectoriels normés et des espaces de Banach.

Si $V$ est un espace vectoriel normé et $\leq$ est un ordre linéaire sur $V$ , on parle d’un espace vectoriel normé ordonné si le cône positif est fermé. Cette propriété de fermeture du cône est essentielle car elle garantit que la convergence des suites de fonctions mesurables dans un tel espace se traduit par la préservation des propriétés de l'intégrale. En effet, si $x_j \to x$ et $y_j \to y$ , alors $x_j \leq y_j$ pour presque tous $j$ , ce qui implique $x \leq y$ .

Dans le cadre des intégrales, il est aussi crucial de comprendre que l’intégrale de fonctions non négatives, par exemple, peut être strictement positive. Supposons que $f \in S^+(I)$ et que $f$ soit continue en $a$ , avec $f(a) > 0$ . Alors, sous certaines conditions de continuité locale, l’intégrale de $f$ sur un intervalle contenant $a$ est strictement positive. En d'autres termes, l'intégrale d'une fonction continue et strictement positive en un point donné sera également positive, ce qui renforce l’idée que l’intégration préserve les propriétés de continuité et de signe des fonctions intégrées.

Une propriété importante à noter est celle qui découle du premier théorème fondamental du calcul intégral : si $f$ est une fonction intégrable sur $I$ , alors la fonction $F(x) = \int_{\alpha}^{x} f(\xi) d\xi$ est Lipschitzienne, c’est-à-dire qu’il existe une constante $C$ telle que $|F(x) - F(y)| \leq C|x - y|$ pour tout $x, y \in I$ . Cela garantit la régularité de la fonction primitive $F$ de $f$ , même si $f$ peut ne pas être continue partout.

Enfin, le deuxième théorème fondamental du calcul assure que si $f$ est continue, alors $f$ possède une primitive, et l'intégrale de $f$ sur un intervalle $[\alpha, \beta]$ est simplement la différence entre les valeurs de la primitive en $\beta$ et $\alpha$ . Cette simplification montre que l'intégration peut être considérée comme l'opération inverse de la dérivation dans le contexte des fonctions continues.

Il est également essentiel de noter que l’intégrale permet de relier des propriétés analytiques fondamentales telles que la continuité, la monotonicité et la convexité, tout en fournissant un cadre unifié pour analyser les espaces fonctionnels. Dans ce contexte, la théorie des cônes et des ordres linéaires dans les espaces vectoriels joue un rôle central, car elle permet de traiter des questions d’intégration dans des espaces plus généraux que $\mathbb{R}^n$ , ce qui ouvre la voie à des extensions de la théorie de l'intégration à des espaces de Banach ordonnés, par exemple.

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