Dans l'analyse statique des structures treillis, la construction du système d'équations d’équilibre repose sur une mise en correspondance rigoureuse entre la géométrie du système, les connexions entre nœuds, les appuis, et les charges appliquées. Ce processus s’articule autour d’une modélisation matricielle qui, bien que conceptuellement simple, requiert une attention méthodique à l’organisation des degrés de liberté et à la numérotation des équations.

Soit une structure plane composée de N nœuds, M éléments, et R réactions d’appui. Dans un espace bidimensionnel, chaque nœud possède deux degrés de liberté : une composante horizontale (x) et une composante verticale (y). Le nombre total d’inconnues est alors M + R, tandis que le nombre d’équations d’équilibre disponibles est 2N. Le système est isostatique, donc résoluble directement, lorsque 2N = M + R. En trois dimensions, cette relation devient 3N = M + R, en intégrant la composante z à chaque nœud.

Le schéma de données d’entrée d’une structure repose sur quatre tableaux fondamentaux. Le tableau x contient les coordonnées des nœuds. Chaque ligne correspond à un nœud, et chaque colonne à une coordonnée spatiale. Ainsi, pour une structure plane, chaque ligne de x possède deux composantes : la position horizontale et la position verticale d’un nœud.

Le tableau ix décrit les connexions entre éléments. Chaque ligne correspond à un élément, et contient les indices des deux nœuds qu’il relie. L’ordre des indices n’a pas d’importance quant à la validité des données, mais il détermine l’orientation du vecteur unitaire n<sub>e</sub> de l’élément, utilisé pour construire la matrice des coefficients. Ce vecteur d’orientation est obtenu par normalisation du vecteur joignant les deux extrémités de l’élément.

Les conditions aux limites sont décrites dans le tableau id, où un "1" indique un degré de liberté contraint (présence d’un appui), et un "0" une liberté de mouvement. Par exemple, un appui fixe à un nœud est représenté par deux "1" sur la ligne correspondante, bloquant le mouvement dans les directions x et y.

Le tableau F contient les forces extérieures appliquées à la structure. Chaque ligne correspond à un nœud, et chaque colonne à la composante de la force selon un axe. Une force de 3 unités vers la droite et de 4 unités vers le bas appliquée au nœud 1 est représentée par la ligne [3, -4].

La génération du système d’équations commence par l’assemblage de la matrice des coefficients C, dont les colonnes sont, d’une part, les contributions des forces internes dans les éléments et, d’autre part, les réactions aux appuis. Pour les éléments, chaque colonne de C est construite à partir du vecteur unitaire n<sub>e</sub>, inséré aux positions correspondant aux équations des nœuds connectés, selon le tableau DOF, qui encode la correspondance entre les nœuds et les équations.

Pour les réactions d’appui, on extrait de la matrice identité les colonnes correspondant aux positions contraignantes (identifiées par id aplati en vecteur). Ces colonnes sont concaténées à droite de la matrice C, complétant ainsi le système.

Le second membre du système, f, est le vecteur des forces extérieures, organisé sous forme d’un vecteur colonne en aplatissant le tableau F. L’ordre de cette réorganisation est fondamental, car il doit correspondre strictement à l’ordre des équations dans C.

La résolution du système C a = f permet d’obtenir le vecteur des inconnues a, qui contient d’abord les efforts dans les éléments, puis les composantes des réactions d’appui. Ce vecteur est ensuite segmenté pour extraire N et R, et une vérification de la validité de la solution est réalisée via le calcul du résidu normé ‖Ca − f‖. Une valeur proche de zéro confirme que les équations d’équilibre sont satisfaites.

Dans l’approche numérique présentée, la fonction MATLAB TrussAnalysis structure le calcul de manière algorithmique et modulaire. Elle commence par importer les données d’entrée via InputExample, calcule les paramètres de dimension, construit les matrices, résout le système, et retourne les résultats.

Il est essentiel de comprendre que toute erreur dans l’établissement des tableaux d’entrée — une mauvaise connexion dans ix, un appui incorrectement spécifié dans id, ou une force mal dirigée dans F — se traduit directement par une solution erronée. L’utilisateur du code doit donc maîtriser l’interprétation physique de ces données avant d’envisager leur implémentation informatique.

Enfin, une subtilité souvent négligée dans l’analyse de structures est l’impact de la numérotation des nœuds et des éléments sur l’efficacité numérique du solveur. Une organisation logique et systématique de ces indices favorise une structure creuse (sparse) dans les matrices, optimisant la mémoire et le temps de calcul dans les systèmes de grande dimension.

Comment les composants d’un vecteur dans un système de coordonnées différent peuvent être déterminés ?

Les transformations entre différents systèmes de coordonnées sont un aspect essentiel de la physique et des mathématiques appliquées. Supposons que nous ayons un vecteur x\mathbf{x} défini dans un système de coordonnées initial, et que nous souhaitons connaître ses composantes dans un autre système de coordonnées qui résulte d'une rotation de l'axe de base. Cette transformation peut être exprimée à l'aide de produits scalaires et de matrices de rotation. Plus précisément, la relation entre les composantes de x\mathbf{x} dans deux systèmes de coordonnées différents est donnée par une équation matricielle simple.

Soit Q=e^i⋅ej\mathbf{Q} = \hat{e}_i \cdot e_j le produit scalaire entre les vecteurs unitaires e^i\hat{e}_i du nouveau système de coordonnées (système "chapeau") et eje_j du système d'origine. Le produit scalaire QijQ_{ij} représente le cosinus de l'angle entre les vecteurs unitaires e^i\hat{e}_i et eje_j. Cette relation nous permet de relier les composantes du vecteur x\mathbf{x} dans les deux systèmes :

∑j=13x^i=Qijxj\sum_{j=1}^{3} \hat{x}_i = Q_{ij} x_j

En d'autres termes, chaque composante x^i\hat{x}_i du vecteur x\mathbf{x} dans le système de coordonnées transformé est une combinaison linéaire des composantes xjx_j du même vecteur dans le système de coordonnées d'origine. Cette relation peut également être exprimée en notation matricielle :

x^=Qx\mathbf{\hat{x}} = \mathbf{Q} \mathbf{x}

Où x^\mathbf{\hat{x}} est le vecteur des composantes dans le système transformé, x\mathbf{x} dans le système d'origine et Q\mathbf{Q} est la matrice de rotation.

Prenons un exemple simple pour illustrer ce processus dans un espace bidimensionnel. Considérons un vecteur x\mathbf{x} dont les composantes dans le système de coordonnées initial {e1,e2}\{e_1, e_2\} sont x1=2x_1 = 2 et x2=3x_2 = 3. Supposons que nous ayons un autre système de coordonnées {e^1,e^2}\{\hat{e}_1, \hat{e}_2\}, qui est obtenu en effectuant une rotation de 30° dans le sens antihoraire par rapport au système initial. Nous pouvons alors déterminer les composantes du vecteur x\mathbf{x} dans le système transformé en calculant la matrice Q\mathbf{Q} à partir des produits scalaires des vecteurs unitaires des deux systèmes :

Q=[cos⁡(30∘)cos⁡(60∘)cos⁡(120∘)cos⁡(30∘)]=[3212−1232]\mathbf{Q} = \begin{bmatrix}
\cos(30^\circ) & \cos(60^\circ) \\ \cos(120^\circ) & \cos(30^\circ) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}

En appliquant cette matrice à x\mathbf{x}, nous obtenons les composantes du vecteur x\mathbf{x} dans le système {e^1,e^2}\{\hat{e}_1, \hat{e}_2\}.

Il est essentiel de noter que si les bases des deux systèmes de coordonnées sont orthonormées, la matrice Q\mathbf{Q} doit être une matrice orthogonale. Une matrice orthogonale possède une propriété particulière : son inverse est égal à sa transposée, ce qui permet de simplifier les calculs lorsque l’on travaille avec des rotations dans l'espace. Cela signifie que Q−1=QT\mathbf{Q}^{ -1} = \mathbf{Q}^T, et l'identité suivante est vérifiée :

QQT=I\mathbf{Q} \mathbf{Q}^T = \mathbf{I}

Où I\mathbf{I} est la matrice identité. Ce fait découle du fait que les vecteurs unitaires de la base initiale et de la base transformée forment des couples orthogonaux. L’importance de cette propriété est cruciale pour le calcul des transformations et des rotations dans des systèmes de coordonnées orthonormées.

En extension, la compréhension des produits scalaires et croisés dans les systèmes de coordonnées cartésiennes nous permet de développer des calculs plus complexes en physique et en ingénierie. Par exemple, la projection d’un vecteur sur un autre, souvent utilisée dans les calculs de forces en mécanique, peut être déterminée en utilisant simplement les produits scalaires. De même, le produit vectoriel, qui donne un vecteur perpendiculaire aux deux vecteurs originaux, est une opération clé dans la détermination des moments de force ou des champs magnétiques.

Les calculs de produits scalaires et croisés en composantes permettent non seulement d’effectuer ces opérations mais aussi de mieux comprendre la structure de l’espace dans lequel les vecteurs évoluent. Le produit scalaire entre deux vecteurs u\mathbf{u} et v\mathbf{v} dans un espace tridimensionnel, par exemple, peut être obtenu en multipliant les composantes correspondantes :

u⋅v=u1v1+u2v2+u3v3\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3

Le produit vectoriel, quant à lui, produit un vecteur perpendiculaire à u\mathbf{u} et v\mathbf{v}, et sa norme donne la surface du parallélogramme formé par ces deux vecteurs. Son expression en termes des composantes est :

u×v=∣e^1e^2e^3u1u2u3v1v2v3∣\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \hat{e}_1 & \hat{e}_2 & \hat{e}_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3
\end{vmatrix}

L'application de ces concepts dans les calculs de produits scalaires et croisés simplifie la résolution de nombreux problèmes géométriques et physiques.

Enfin, il est important de comprendre que ces opérations de calcul vectoriel ne sont pas simplement des formalismes mathématiques, mais des outils puissants permettant de décrire et d'analyser le monde physique autour de nous, en particulier dans les domaines de la mécanique, de l'électromagnétisme et de la dynamique des systèmes.

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