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Les surfaces de constante φ, décrites par la métrique (20.240), ont une géométrie locale qui ressemble à celle des 2-sphères. Cependant, un détail crucial émerge de cette géométrie : bien que la coordonnée ψ, sur une surface φ constante, joue un rôle similaire à celui de l'angle latéral (normalement noté ϑ), elle varie de 0 à 2π et non de 0 à π. Cette distinction a des conséquences importantes, en particulier dans l’espace tridimensionnel décrit par (20.240), où les points avec les coordonnées {ψ = ψ1 = π+ψ0, ζ = ζ0} ne sont pas équivalents à ceux où {ψ = ψ2 = π−ψ0, ζ = π+ζ0}. En effet, la métrique ne revient pas à sa forme initiale après que ψ ait été augmenté de π, contrairement à ce qui se passerait sur une sphère classique. Il en résulte que chaque surface φ = constante correspond réellement à une paire de sphères qui se touchent en un pôle, et dont les pôles opposés sont identifiés, comme l'illustre la Figure 20.10.
Cette particularité de la géométrie locale des surfaces φ = constante est essentielle pour comprendre les propriétés de l’espace-temps sous-jacent. Les sphères ne sont pas simplement des objets géométriques indépendants mais sont liées par une structure topologique où leurs pôles se rejoignent, ce qui modifie radicalement les propriétés de l’espace en question. Sur cette base, on peut observer qu’un modèle de 3-tore, tel que décrit dans la métrique (20.240), peut être enrichi en considérant une évolution temporelle des paramètres du tore. Ce modèle de base permet de comprendre l'évolution dynamique de l’espace-temps en ajoutant la dimension temporelle à l’équation.
L’une des approches possibles pour étudier cette évolution consiste à envisager que les deux rayons {a et b} du tore varient en fonction du temps. Ce modèle évolutif conduit à la métrique suivante :
ds² = a²(t) dt² − 2 dψ² − sin² ψ dξ² [cosψ + b(t)/a(t)] dφ². Cette approche ouvre la voie à des solutions parfaites de fluides, ce qui, dans le cadre de la relativité générale, est un résultat crucial. Les composantes du tenseur d’Einstein, exprimées dans un repère orthonormal défini par cette métrique, révèlent des relations intéressantes, dont la suivante :
a,tt /a = b,tt /b − 1. Cette équation permet de relier les deux rayons du tore à une dynamique temporelle, et donc de modéliser l’évolution de l’univers selon des principes relativistes.
L’un des résultats les plus significatifs de ce modèle est qu’il permet de décrire l’univers à la fois en termes de matière et de géométrie, tout en intégrant des singularités à différents instants du temps. Le modèle montre, par exemple, qu’au moment t = 0, l’univers connaît une singularité du type Big Bang, avec une expansion à partir d’un anneau de rayon C2. Cette expansion se poursuit jusqu’à t = π, où l’univers atteint une nouvelle singularité, sous forme d’un anneau de rayon (2πC1 + C2). Il est à noter que la densité énergétique reste positive tout au long de l’évolution du modèle, à condition que C1/a0 soit suffisamment grand. En outre, lorsque C2 = 0, la singularité initiale du Big Bang est ponctuelle.
Les transformations des coordonnées utilisées dans ce modèle permettent de relier cette solution aux autres modèles en cosmologie relativiste, notamment ceux de Szekeres. En transformant les coordonnées selon :
t = arccos [(a0 − T ) / a0], ψ = 2 arctan(r / 2), il est possible de rendre cette métrique plus manipulable, et d’explorer différentes configurations de l’espace-temps. Cela permet de mieux comprendre l’évolution de l’univers dans des modèles non-perturbatifs, où la matière et l’espace-temps sont interconnectés de manière dynamique et évolutive.
Il est également essentiel de considérer que les surfaces de constante t et ξ, dans ce cadre, ont la géométrie d'un tore dont les rayons varient selon des lois spécifiques. Par exemple, le rayon large du tore augmente avec le temps, tandis que le rayon petit subit une évolution complexe, d’abord croissant, puis décroissant avant la singularité finale. Cette dynamique des rayons est une caractéristique clé du modèle cosmologique et permet d’analyser des aspects fondamentaux de l’évolution de l'univers. En termes physiques, cela signifie qu’à un instant donné, l’univers a une topologie en forme de tore, mais cette structure se modifie avec le temps, influencée par les lois de la relativité générale.
Au-delà de ces considérations techniques, il est crucial de comprendre que ce modèle ne se limite pas à une simple description de l'espace-temps, mais qu'il fait appel à des concepts fondamentaux de la cosmologie relativiste, comme la densité d'énergie, la pression et l’expansion de l’univers. Il fournit une approche non-perturbative de la structure cosmologique, ce qui est essentiel pour comprendre les évolutions à grande échelle de l'univers.
La relation entre la courbure et le transport parallèle
Les coordonnées adaptées simultanément à et , notées et , permettent une représentation élégante des champs et de leur propagation dans un espace courbe. En prenant ces coordonnées comme étant les deux premières, nous obtenons une transformation du vecteur de transport parallèle et , ce qui simplifie les calculs associés au transport parallèle dans des systèmes courbes. Cela conduit à une nouvelle expression de l’équation du transport parallèle, où le propagateur joue un rôle central.
Le propagateur de transport parallèle, , est un opérateur linéaire qui relie les valeurs initiales du champ à ses valeurs en un autre point . Sa dépendance vis-à-vis de deux points distincts dans l’espace et de la courbe le long de laquelle le transport s’effectue est déterminante. C’est un objet dit bi-tenseur, car il dépend de deux ensembles d'indices et se transforme comme une densité tensorielle à chaque point . En conséquence, le propagateur doit satisfaire à l’équation de covariante , garantissant la préservation des propriétés géométriques tout au long du transport parallèle.
Cette relation est cruciale dans le contexte des courbes fermées. En considérant une courbe fermée, avec un paramètre et , nous obtenons une expression pour le propagateur de transport parallèle le long de cette courbe fermée , qui est simplement un produit tensoriel des propagateurs élémentaires , , etc. Cette propriété simplifie le calcul des propagateurs pour les courbes complexes, en permettant de réduire l'analyse à ceux de vecteurs et scalaires simples.
Pour le cas spécifique des densités scalaires, le transport parallèle peut être exprimé comme une relation de type , où l’on constate que, lorsque le produit scalaire reste constant le long de la courbe, le propagateur et agissent comme des opérateurs inverses l’un de l’autre. Cette relation d’inversibilité est fondamentale pour comprendre la dualité entre les vecteurs contravariants et covariants dans le cadre du transport parallèle. Elle met en évidence la symétrie profonde entre ces deux types de vecteurs et leur manière de se propager à travers l’espace courbe.
L’intégration des propagateurs le long de la courbe permet également d’introduire des notions plus complexes, telles que le transport parallèle autour d’une boucle fermée. Pour une courbe fermée, le propagateur peut être calculé à partir d’une surface engendrée par cette boucle, ce qui permet de relier les propriétés géométriques locales (les connexions et la courbure) aux propriétés globales du système. La surface , associée à la courbe fermée, est traversée par des intégrales qui décrivent la façon dont la courbure de l’espace affecte le transport des champs scalaires et vecteurs à travers cet espace. La courbure locale de l’espace, , intervient ici sous la forme d’une intégrale sur cette surface, et l’on observe que le comportement du propagateur dépend de l’intégrale de la courbure le long de la surface engendrée par la courbe.
Les équations qui régissent ces transporteurs, telles que , sont essentielles pour établir une compréhension de la façon dont les champs se propagent sur des variétés courbes. Ces relations permettent de lier les courbures de l’espace-temps aux équations de transport, et elles forment le socle de l’étude du comportement des champs dans des géométries non plates.
À ce stade, il est essentiel de comprendre que le transport parallèle et la courbure sont intimement liés. Le transport parallèle ne se produit pas dans un espace plat, mais dans un espace courbé, où les propriétés géométriques de la variété influencent directement la manière dont les objets sont transportés. La courbure de l’espace induit des effets de torsion et de rotation dans le transport parallèle, effets qui peuvent être observés par des calculs explicites des propagateurs le long de courbes fermées. Cela fait émerger la notion fondamentale de connexion et de courbure, qui sont les outils permettant de décrire ces phénomènes géométriques dans un cadre global.
Comment la relativité générale influence-t-elle notre compréhension des structures et de l’expansion de l’Univers ?
La relativité générale, depuis sa formulation par Einstein, demeure la pierre angulaire pour appréhender la dynamique et la structure de l’Univers. Les multiples travaux cités, allant des modèles exacts de collapsus gravitationnel à la description détaillée des géométries autour des trous noirs, illustrent la complexité et la richesse des solutions aux équations d’Einstein, ainsi que leurs implications astrophysiques et cosmologiques.
L’importance des modèles comme ceux de Szekeres ou de Lemaître–Tolman réside dans leur capacité à décrire des univers inhomogènes sans symétries parfaites, offrant ainsi une alternative aux modèles cosmologiques homogènes et isotropes classiques. Ces approches permettent d’étudier comment les structures cosmiques se forment, évoluent et interagissent dans un cadre relativiste rigoureux, et comment certaines observations — notamment l’accélération apparente de l’expansion de l’Univers à haut décalage vers le rouge — peuvent être interprétées sans recourir nécessairement à une énergie noire exotique.
Les travaux sur les fluides parfaits sans cisaillement ou sur des configurations en rotation, comme les étoiles en rotation modélisées par Bardeen, révèlent la complexité des solutions stables en relativité générale. Ces études ont un impact direct sur la compréhension des objets astrophysiques compacts, où la gravité intense modifie profondément la dynamique interne et la structure des étoiles.
La théorie relativiste étendue, incluant les modèles de Brans-Dicke ou les théories modifiées de la gravité, soulève des questions cruciales sur la nature fondamentale de la gravitation et sur la manière dont elle se couple à la matière et à l’énergie. Ces extensions cherchent à expliquer des phénomènes cosmologiques qui restent énigmatiques dans le cadre strict de la relativité générale standard, comme l’origine de l’inflation ou les variations possibles des constantes fondamentales.
Le cadre mathématique sophistiqué, illustré par les métriques de Kerr ou Reissner-Nordström, offre une compréhension approfondie des trous noirs, objets dont la géométrie déforme l’espace-temps jusqu’à des régimes extrêmes. Ces solutions exactes permettent d’étudier les trajectoires des particules et des photons, les effets de lentille gravitationnelle, ainsi que les horizons d’événements, essentiels pour interpréter les observations récentes, notamment celles de l’Event Horizon Telescope.
Cependant, il est crucial de comprendre que la relativité générale ne se limite pas à une simple description géométrique, mais implique un ensemble d’effets dynamiques et physiques, comme la propagation des ondes gravitationnelles, le rôle des tenseurs de Weyl dans l’évolution des structures anisotropes, ou encore les conditions initiales et les singularités, qui déterminent la finitude ou la nature de l’Univers.
Ainsi, la relativité générale et ses applications cosmologiques et astrophysiques forment un champ d’étude dynamique, où la modélisation exacte côtoie les approches numériques et observationnelles, et où chaque avancée mathématique ou expérimentale éclaire de nouveaux aspects de la gravité, du temps et de l’espace.
Il est également fondamental de garder à l’esprit que toute interprétation cosmologique repose sur un équilibre délicat entre théorie et observation. L’utilisation des modèles inhomogènes comme substituts possibles à l’énergie noire invite à une prudence méthodologique quant à l’inférence des paramètres cosmologiques à partir des données observables. Comprendre la nature des singularités, la topologie des espaces-temps et les propriétés géométriques locales versus globales reste une tâche complexe, nécessitant une réflexion approfondie sur les hypothèses de base.
De plus, la relativité générale dans le contexte des applications modernes, telles que le positionnement par GNSS ou la cosmologie observationnelle, démontre que ses effets, bien que subtils, sont omniprésents et mesurables, confirmant ainsi la robustesse de la théorie tout en soulignant la nécessité de ses extensions pour expliquer pleinement les phénomènes cosmologiques actuels.
Comment les scalaires optiques et les tenseurs de courbure se propagent : une analyse approfondie
L'utilisation du formalisme du tetrade a prouvé son efficacité pour la résolution exacte des équations d'Einstein. Cette approche repose sur l'assumption que le tenseur de Riemann dérive des commutateurs des dérivées covariantes secondes. Cependant, dans le cadre du formalisme de Newman–Penrose, où les objets de base sont les coefficients de rotation de Ricci, les tenseurs de courbure apparaissent dans des équations du premier ordre. Ainsi, toutes les identités ne sont pas strictement vérifiées de manière identique, comme le montrent certaines relations spécifiques.
Le tetrade (k, ℓ, m, m) n'est pas défini de manière unique. En général, on commence avec une famille donnée de courbes nulles, ce qui fixe la direction de kα, mais kα peut être redimensionné selon une fonction réelle arbitraire. Ce redimensionnement correspond à un changement de paramétrisation des courbes tangentes à kα. Lorsque cette modification est effectuée, ℓα demeure nul et conserve son produit scalaire avec kα, même lorsqu'un multiple fixé de kα est ajouté à un vecteur fixe dans le plan (mα, mα). Les vecteurs mα et mα peuvent également être tournés dans leur plan par un angle arbitraire ϕ tout en restant orthogonaux à kα et ℓα, ce qui les définit jusqu'à des transformations de la forme m′α = eiϕmα.
Le tetrade ainsi défini permet d'exprimer de manière simple des critères importants pour les tenseurs de Weyl dits « algébriquement spéciaux ». Par exemple, en projetant l'équation du tenseur de Weyl sur ce tetrade double-nul, on obtient une équation équivalente à C200d = C300d = 0, une condition cruciale pour que le tenseur de Weyl soit de type spécial.
Les équations de propagation des scalaires optiques, qui sont analogues aux équations d'évolution des tenseurs hydrodynamiques, peuvent être dérivées en projetant la formule de Ricci pour le champ nul kα. Une série d'équations en résulte, qui peut être utilisée pour comprendre le comportement de ces scalaires en fonction de diverses conditions géométriques et physiques. Par exemple, en contractant l'équation de Ricci avec kγ, on obtient des équations qui décrivent l'évolution de la quantité θ (l'expansion), en introduisant des termes d'accélération et des termes supplémentaires comme σ (la déformation) et ω (le twist). Ces équations peuvent être comparées aux équations classiques de Raychaudhuri, qui décrivent l'évolution de la convergence des géodésiques dans un espace-temps courbe.
Lorsque l'on projette ces équations dans des configurations spécifiques, par exemple avec les vecteurs mα et mα, des identités supplémentaires apparaissent qui permettent de relier les évolutions des scalaires optiques aux propriétés plus profondes de la géométrie du champ de gravité. Par exemple, certaines équations apparaissent sous la forme de relations complexes entre les composantes de la courbure et les dérivées des scalaires optiques. Ces relations révèlent des interactions subtiles entre les différents termes géométriques qui influencent la propagation des déformations et des twists dans le champ de gravité.
Il est essentiel de noter que l’étude des équations de propagation des scalaires optiques n'est pas simplement une question mathématique abstraite, mais elle a des applications pratiques importantes dans la cosmologie relativiste. Par exemple, la compréhension de la propagation de la lumière à travers un espace-temps courbe, ou les effets de lentilles gravitationnelles, repose sur ces mêmes équations. De plus, la géométrie sous-jacente du champ de gravité a des implications directes sur la formation des structures à grande échelle dans l'univers.
En abordant des cas spécifiques de solutions exactes aux équations d’Einstein, comme celles associées aux champs de Weyl algébriquement spéciaux, on peut obtenir des informations précieuses sur la nature des trous noirs, la dynamique des ondes gravitationnelles et la structure de l'univers à une échelle cosmologique. Par exemple, le théorème de Goldberg–Sachs, bien qu'il ne trouve pas d'application directe dans la cosmologie, fournit des résultats importants pour les solutions sous vide et illustre comment les propriétés du tenseur de Weyl peuvent être liées à la structure géométrique de l'espace-temps.
Dans le contexte plus large de la relativité générale et de la cosmologie, comprendre comment les scalaires optiques se propagent et interagissent avec la courbure est fondamental pour la modélisation des phénomènes gravitationnels extrêmes. Cela inclut l'étude des singularités gravitationnelles, la formation des trous noirs, ainsi que les mécanismes de propagation des perturbations dans l'univers en expansion.