Les équations primitives stochastiques décrivent des phénomènes complexes dans les systèmes fluidiques non linéaires, souvent rencontrés dans les études de turbulence ou de diffusion dans des milieux hétérogènes. Ces systèmes sont modelés par des équations différentielles stochastiques (SPDEs) qui prennent en compte les aléas et les incertitudes dans les variables physiques et les conditions initiales. Cette approche permet d'étudier le comportement des champs de vitesse et de température (ou toute autre grandeur physique similaire) sous l'effet de forces stochastiques, qui rendent les solutions difficiles à prédire de manière déterministe mais essentielles à comprendre pour la modélisation de systèmes réels.

Considérons d'abord les équations différentielles stochastiques décrivant le système de variables vv (vitesse) et θ\theta (température ou une autre grandeur thermodynamique) qui régissent le comportement des fluides dans un environnement aléatoire. Ces variables évoluent dans un espace de Banach ou un espace Hilbert, et l'équation pour chaque variable peut être exprimée comme suit :

∂v∂t=Av+B(v,∇v,θ)+σ(v)W˙,\frac{\partial v}{\partial t} = \mathcal{A}v + B(v, \nabla v, \theta) + \sigma(v) \dot{W},

où WW représente le processus de Wiener (bruit blanc gaussien) introduisant une composante stochastique dans le système, et A\mathcal{A}, BB, et σ\sigma sont des opérateurs définis sur les champs de vitesse et de température.

Ces équations décrivent les dynamiques des fluides avec une grande précision en tenant compte des interactions entre les différentes échelles de turbulence et les phénomènes de diffusion thermique. Cependant, leur résolution exacte nécessite une approche numérique sophistiquée, en particulier lorsqu'on considère des systèmes avec des conditions aux limites complexes ou des géométries non triviales.

Le rôle de l’énergie dans ces équations stochastiques est similaire à celui des inégalités d'énergie en mécanique des fluides déterministes : elles permettent de contrôler l’évolution des normes de vv et θ\theta au fil du temps. Par exemple, l’énergie de vv et θ\theta peut être liée à l'intégrale des termes de dissipation ou de source dans l'équation stochastique, en utilisant des estimations a priori qui garantissent l'existence et l'unicité des solutions sur des intervalles de temps donnés.

Pour appliquer cette théorie aux équations primitives, il est essentiel d'étudier les conditions initiales, les propriétés des solutions stochastiques et la régularité des espaces fonctionnels dans lesquels les solutions évoluent. Dans le cas des fluides turbulents, la régularité des solutions stochastiques se relie directement à la régularité du flux de chaleur et de la distribution de la vitesse dans le fluide, ce qui est crucial pour la compréhension de phénomènes comme la convection ou la diffusion turbulente.

L’un des défis majeurs dans ce cadre stochastique est la manière dont les termes non linéaires, comme B(v,∇v,θ)B(v, \nabla v, \theta), influencent la stabilité et la régularité des solutions. Des résultats classiques dans la théorie des équations aux dérivées partielles stochastiques (SPDE) fournissent des outils pour établir des bornes a priori qui garantissent que les solutions restent dans un espace fonctionnel bien défini, permettant ainsi de conclure à l'existence d'une solution forte à court terme, sous certaines conditions de régularité sur les données initiales.

Une autre question importante concerne l’analyse des phénomènes de "blow-up", c'est-à-dire les situations où les solutions deviennent infinies en temps fini. Dans les modèles stochastiques, la probabilité d'un tel événement peut être analysée par des critères de stabilité et de croissance des termes non linéaires, comme le montre le critère de "blow-up" dans les systèmes stochastiques de type Navier-Stokes. Ces critères sont essentiels pour déterminer si un phénomène physique modélisé par une équation stochastique peut devenir irréaliste (par exemple, dans des conditions extrêmes de température ou de vitesse).

En fin de compte, l'objectif des équations primitives stochastiques est de fournir une description probabiliste réaliste des phénomènes physiques complexes, prenant en compte les incertitudes des conditions initiales, des paramètres du système et des forçages externes. Le modèle stochastique des équations primitives peut ainsi être appliqué à une gamme étendue de problèmes, des prévisions météorologiques à la simulation de dynamiques de fluides dans des environnements industriels complexes.

Ce qui est essentiel à comprendre, en plus de ce qui a été exposé, c'est la nécessité de maîtriser les outils mathématiques nécessaires à la gestion des SPDEs dans les contextes spécifiques de la turbulence et de la diffusion. Ces modèles stochastiques ne sont pas simplement une extension des équations déterministes, mais introduisent de nouvelles complexités qui requièrent une compréhension approfondie des probabilités, des espaces fonctionnels et des théories de régularité et de singularité. Les critères de stabilité et de régularité, tout comme la gestion des termes non linéaires, sont cruciaux pour prédire les comportements à long terme dans les simulations de systèmes turbulents, mais aussi pour éviter des résultats irréalistes, notamment dans des situations extrêmes de calcul.

Quelle est la solution locale et pathwise aux équations primitives stochastiques ?

Nous sommes maintenant en mesure de formuler le résultat principal de cette section. Il convient de noter qu’il s'agit d'une version simplifiée du Théorème 5.1 de [29], avec Hf=0Hf = 0 et Z0=0Z_0 = 0, ce qui signifie que nous omettons ici le bruit supplémentaire du côté droit et la partie stochastique de la condition initiale.

Théorème 6.2 (Existence locale de la solution pathwise z-faible)

Soit T∈(0,∞)T \in (0, \infty), p∈(3,4]p \in (3, 4], et ε>0\varepsilon > 0 suffisamment petit. On définit μ=58+34p+3ε8\mu = \frac{5}{8} + \frac{3}{4}p + \frac{3\varepsilon}{8}, et q>2q > 2 de manière à ce que μ∈(12+1q,1]\mu \in \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{q}, 1 \right], et σ=1+μ2∈(12+12q,1]\sigma = \frac{1 + \mu}{2} \in \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2q}, 1 \right].
Soit donné un processus h(t)∈Lσ(0,T;W1+1p+ε(R2;H))\mathbf{h}(t) \in L^\sigma(0, T; W^{1+\frac{1}{p}+\varepsilon} ( \mathbb{R}^2; H)), et v0∈(Xσ,p,D(A−1/p)μ−1/q,q)v_0 \in (X_{\sigma,p}, D(A^{ -1/p} ) \mu^{ -1/q}, q). Alors il existe une solution unique, locale dans le temps, de l'équation stochastique primitive (6.82)(6.82) soumise à (6.85)(6.85), qui peut être décomposée en V=Vb+ZbV = V_b + Z_b. Ici, ZbZ_b est donné par (6.95)(6.95), et pathwise, pour s=12−1p−ε2s = \frac{1}{2} - \frac{1}{p} - \frac{\varepsilon}{2}, et θ∈[0,12)\theta \in [0, \frac{1}{2}), Zb∈Hσθ(0,T;D(A1/2−p))∩(,2/p+ε))C[0];Z_b \in H^\theta_\sigma(0, T; D(A^{1/2 - p})) \cap ( , 2/p + \varepsilon) ) C[0];, ainsi il existe un T∗∈(0,T]T^* \in (0, T] tel que VbV_b est une fonction déterministe avec Vb∈Hμ1,q(0,T∗;Xσ−1,p)∩Lμq(0,T∗;D(Ap−1))V_b \in H^{1,q}_\mu(0, T^*; X^{ -1}_\sigma,p) \cap L^q_\mu(0, T^*; D(A^{ -1}_p)), qui dépend continuellement de V0V_0.

Remarque 6.5

Tous les termes dans l'équation (6.98)(6.98) peuvent être interprétés dans ces classes de régularité, comme le montrent les estimations des Lémmas 6.4 et 6.5 pour le terme non linéaire. Le terme linéaire est donné via l'appariement de dualité, cf. ⟨∂zv,∂zφ⟩+⟨Hv,φ⟩\langle \partial_z v, \partial_z \varphi \rangle + \langle H v, \varphi \rangle. La restriction p∈(3,4]p \in (3, 4] est une hypothèse technique en raison des estimations non linéaires et de la régularité de ZbZ_b. D'une part, certains incréments nécessitant p>3p > 3 sont employés, cf. (6.100)(6.100). D'autre part, il faut garantir que l'inclusion de l'image de la carte de Neumann dans un certain domaine opérateur reste valide, ce qui est possible à mesure que pp devient plus grand et moins de dérivées sont disponibles.

Remarque 6.6 (Critères d'explosion)
Pour la partie déterministe vv de la solution pathwise résolvant (6.98)(6.98), il existe des critères d'explosion de type Serrin dans les espaces de régularité maximale. Soit TmaxT_{\text{max}} le temps maximal d'existence de vv, alors, d'après [141, Théorème 2.4],

  1. v∈Lq′(0,T′;D((A−1)μ))v \in L^{q'}(0, T'; D((A^{ -1})^\mu)) pour tout T<TmaxT < T_{\text{max}};

  2. Si Tmax<∞T_{\text{max}} < \infty, alors v∈Lq(0,Tmax;(A−1)μ)v \in L^q(0, T_{\text{max}}; (A^{ -1})^\mu), où μ\mu est le poids temporel du Théorème 6.2. Les critères d'explosion dans le cadre stochastique — et non seulement pathwise — sont discutés dans [5, Section 4].

Estimations non linéaires

Rappelons que, comme dans [94, Section 5], nous avons défini dans (6.97)(6.97) la carte bilinéaire F(⋅,⋅)F(\cdot, \cdot) par
F(v,v′)=P(v⋅∇Hv+w(v)∂zv′).F(v, v') = P(v \cdot \nabla H v + w(v) \partial_z v').
En appliquant la règle du produit et sachant que (v,w(v))(v, w(v)) est sans divergence, on réécrit F(v,v′)=P∂z(w(v)v′)+PdivH(v⊗v′)F(v, v') = P \partial_z (w(v) v') + P \text{div}_H (v \otimes v'). Ainsi, on peut décomposer F(v,v′)=Fz(v,v′)+FH(v,v′)F(v, v') = F_z(v, v') + F_H(v, v') avec
Fz(v,v′)=P(∂z(w(v)v′)),FH(v,v′)=PdivH(v⊗v′).F_z(v, v') = P(\partial_z(w(v) v')), \quad F_H(v, v') = P \text{div}_H (v \otimes v').
De plus, pour simplifier la notation, nous posons d:=X(1βD((A−1)pβ))d := X \left( \frac{1}{\beta} D((A^{ -1})^\beta_p) \right) pour β≥0\beta \geq 0.

Lémma 6.4 (Estimation de la partie non linéaire I)
Soit p∈(1,∞)p \in (1, \infty), alors il existe une constante C>0C > 0 ne dépendant que de hh et pp, telle que pour βz=12+34p\beta_z = \frac{1}{2} + \frac{3}{4}p,

∥Fz(v,v′)∥X−1≤C∥v∥Xβ∥v′∥Xβ.\| F_z(v, v') \|_{X^{ -1}} \leq C \| v \|_{X^\beta} \| v' \|_{X^\beta}.

Lémma 6.5 (Estimation de la partie non linéaire II)
Soit p∈(2,∞)p \in (2, \infty), s∈[−1+1p,0]s \in [-1 + \frac{1}{p}, 0], et ε>0\varepsilon > 0, alors il existe une constante C>0C > 0 dépendant uniquement de hh et pp, telle que pour

∥FH(v,v′)∥1≤C(∥v∥X−1+∥v′∥Xβ).\| F_H(v, v') \|_1 \leq C(\| v \|_{X^{ -1}} + \| v' \|_{X^\beta}).

Les estimations de ces termes non linéaires sont essentielles pour obtenir la régularité nécessaire et garantir l'existence de solutions locales à ces équations stochastiques primitives. Ces critères sont cruciaux pour la compréhension de la dynamique des solutions, notamment en ce qui concerne la gestion des singularités et la stabilité des solutions pathwise.

Comment comprendre et modéliser le bruit stochastique dans les équations d'Euler stochastiques

La modélisation des bruits stochastiques joue un rôle crucial dans la compréhension des équations d'Euler stochastiques, particulièrement dans le cadre des phénomènes homogènes et isotropes. L'approche que nous proposons repose sur l'utilisation de séries de Fourier pour décrire ce bruit en fonction de coefficients spécifiques. Ce cadre, tout en offrant une modélisation élégante, nécessite une compréhension fine des propriétés des séries de Fourier et des conditions imposées sur les coefficients.

Dans cette formulation, le bruit Wt(x)W_t(x) est exprimé par une série de Fourier dont les termes sont pondérés par des coefficients θk\theta_k et des fonctions σk(x)\sigma_k(x). La condition principale sur ces coefficients est donnée par l'hypothèse suivante : les coefficients doivent être normalisés de manière à satisfaire ∥θ∥22=1\|\theta\|_2^2 = 1, ce qui permet de renormaliser le bruit sans perdre d'informations essentielles. De plus, la symétrie des coefficients, θk=θ−k\theta_k = \theta_{ -k}, garantit que le bruit est isotrope, une propriété cruciale pour assurer l'invariance du processus sous les transformations qui laissent l'espace invariant.

L'expression du bruit WtW_t en tant que série de Fourier est ainsi liée à des propriétés de homogénéité. Les coefficients θk\theta_k peuvent être interprétés comme des éléments liés à la transformée de Fourier du noyau de covariance QQ. En effet, ce noyau, qui décrit les corrélations spatiales du bruit, peut être retrouvé explicitement à partir des coefficients θk\theta_k, comme le montre l'équation (2.6).

L'intérêt de cette approche réside dans la possibilité de traiter le bruit stochastique comme un processus à valeurs dans un espace de Hilbert HH, ce qui permet d'appliquer les techniques classiques d'intégration stochastique, telles que les intégrales d'Itô et les corrections de Stratonovich. En particulier, il est important de noter que la finitude de ∥θ∥22\|\theta\|_2^2 joue un rôle central dans la démonstration de la validité du processus en tant que processus à valeurs dans HH, ainsi que dans l'analyse des correcteurs d'Itô-Stratonovich.

Un aspect fondamental de cette modélisation est le lien entre le bruit stochastique et les équations de Navier-Stokes ou d'Euler stochastiques. En effet, les équations d'Euler stochastiques peuvent être formulées sous une forme d'Itô, qui est particulièrement utile dans le contexte des solutions faibles. Cette formulation permet de travailler avec des trajectoires continues mais faiblement régulières dans l'espace de Hilbert, tout en conservant la structure mathématique nécessaire pour les estimations et les calculs ultérieurs.

Les solutions faibles aux équations stochastiques d'Euler sont définies en termes de processus stochastiques prévisibles, avec des trajectoires qui convergent faiblement en L2L^2 au fil du temps. Cela permet de traiter les équations stochastiques dans un cadre rigoureux tout en tenant compte des propriétés des intégrales stochastiques. En particulier, il est crucial de pouvoir appliquer des théorèmes de convergence, tels que le théorème de Banach–Steinhaus, pour assurer que les trajectoires des solutions restent contrôlées au fil du temps.

Ce cadre théorique, bien que puissant, nécessite une approche soigneuse dans la mise en œuvre numérique et l'analyse des solutions. En particulier, les estimations de la variation quadratique des intégrales stochastiques jouent un rôle fondamental dans la compréhension du comportement des solutions au fil du temps. Les techniques classiques d'intégration par parties et de régularité des fonctions permettent de démontrer que les solutions faibles aux équations stochastiques d'Euler préservent leur norme L2L^2, ce qui est essentiel pour garantir la stabilité du système modélisé.

Enfin, il est important de souligner que l'apparition du laplacien dans l'équation d'Itô ne doit pas induire en erreur. Bien que la présence d'un terme laplacien puisse évoquer un comportement de diffusion typique des équations paraboliques, l'équation reste conservative dans son essence. Les solutions régulières de l'équation préservent leur norme L2L^2, et le comportement des solutions peut être interprété dans le cadre de l'intégration stochastique sous sa forme de Stratonovich.

En résumé, la modélisation du bruit stochastique via des séries de Fourier, combinée aux conditions de normalisation et de symétrie sur les coefficients, permet de décrire des processus stochastiques homogènes et isotropes, tout en offrant un cadre solide pour l'analyse des équations stochastiques d'Euler. Cette approche, bien que formelle dans certains cas, ouvre la voie à une compréhension plus approfondie des phénomènes physiques et mathématiques sous-jacents aux équations de Navier-Stokes stochastiques.

Quel est l'impact de la convergence des solutions de Navier–Stokes stochastiques sur les solutions physiques ?

Les résultats des théorèmes 2.1 à 2.3 montrent de manière significative que les solutions de Navier–Stokes stochastiques peuvent présenter des comportements atypiques en fonction de la régularité des conditions initiales et de la nature des bruits stochastiques appliqués. En particulier, les théorèmes indiquent que les vorticités, représentées par la séquence ωn\omega_n, ne convergent pas fortement vers une solution déterministe ω\omega dans des espaces de Sobolev L2L^2. Autrement dit, bien que ces solutions puissent être approximées à long terme, la convergence dans des espaces plus réguliers (comme HsH^s) peut échouer de manière très marquée.

En analysant l'énoncé du corollaire 2.1, on observe que même si ωn(t)\omega_n(t) converge dans une norme faible, la norme L2(0,τ;Hs)L^2(0,\tau;H^s) diverge. Cela signifie que les solutions stochastiques ωn(t)\omega_n(t) deviennent de plus en plus irrégulières au fur et à mesure que nn augmente, ce qui peut être interprété comme un épuisement de la régularité positive des solutions sous l'effet du bruit stochastique. Ce phénomène est lié à une dissipation de l'énergie qui se manifeste sous forme d'un "mélange" des particules par le bruit. Ce comportement peut avoir des implications sur la compréhension de la turbulence et de la dissipation dans les fluides sous contraintes stochastiques.

Les résultats sont également importants pour l'analyse des équations de transport. Le corollaire 2.2, qui porte sur les scalaires passifs advectés par les champs de vitesses ωn\omega_n, montre que même si la vorticité ωn(t)\omega_n(t) ne converge pas fortement, les solutions aux équations de transport pour ces scalaires passifs convergent en loi vers les solutions associées aux champs de vitesses limites. Cela indique que, bien que la convergence dans les espaces de Sobolev ne soit pas parfaite, les observables physiques, telles que les concentrations de scalaires passifs, présentent une convergence robuste et bien définie.

Une autre observation cruciale est la relation entre la convergence faible des solutions et les résultats physiques. En effet, si les solutions stochastiques sont convergentes dans une topologie faible (comme H−1H^{ -1} ou L2L^2), cela ne signifie pas nécessairement que ces solutions soient physiquement pertinentes dans un sens classique. Par exemple, bien que la vorticité ωn\omega_n converge en loi, il reste difficile de relier cette convergence à des phénomènes observables de manière directe sans considérer des termes supplémentaires dans l'analyse des solutions faibles.

Cela met également en lumière la nécessité de comprendre la distinction entre les solutions faibles et fortes. Les solutions faibles à l'équation de Navier–Stokes stochastiques ne possèdent pas toujours les propriétés attendues d'une solution physique forte, telles que la continuité ou la régularité dans certains espaces fonctionnels. De plus, comme le souligne le théorème 2.3, la limite stochastique peut n'être qu'une solution faible à l'équation de Navier–Stokes, ce qui pourrait rendre difficile toute application directe des résultats théoriques à des modèles physiques spécifiques.

Les résultats relatifs aux limites de scaling en dimension 2 des équations de Navier–Stokes et Euler sont également pertinents pour les chercheurs en turbulence et en modélisation stochastique de fluides. L'étude des comportements des solutions sous l'effet de bruit est cruciale pour mieux comprendre la dynamique des fluides turbulents, particulièrement lorsqu'un bruit de type Wiener est ajouté au système. En dépit des défis techniques liés à la convergence dans des espaces non classiques, les résultats ouvrent des perspectives intéressantes sur la manière dont les solutions stochastiques peuvent s'approcher de solutions physiques sous certaines conditions de régularité.

Le théorème 2.2 étend ces observations en montrant que la convergence en loi des solutions passives advectées reste valable même dans des contextes plus complexes, où la régularité des champs de vitesses n'est pas pleinement assurée. Cela peut être crucial dans des applications pratiques, comme la modélisation des écoulements de fluides dans des environnements chaotiques ou stochastiques.

En somme, même si la convergence dans des espaces faibles semble faible d'un point de vue analytique, ces résultats sont essentiels pour comprendre les phénomènes stochastiques sous-jacents à la turbulence. La convergence en loi des observables physiques, malgré la divergence de la vorticité dans certains espaces fonctionnels, est un fait remarquable qui illustre la robustesse de certains aspects physiques des systèmes stochastiques.

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