Qu'est-ce qui détermine l'Horizon Apparent Absolu (AAH) dans un modèle de Szekeres quasi-sphérique en cosmologie relativiste ?

Le comportement des rayons dans un modèle de Szekeres quasi-sphérique peut être décrit par les équations de la relativité générale qui régissent l’évolution de l'univers. La dynamique des rayons proches de l’horizon apparent (AH) et de l’horizon apparent absolu (AAH) révèle des aspects fascinants de la géométrie de l'espace-temps dans des phases critiques de l'évolution cosmologique, comme celle du recollapsus. Nous allons nous concentrer sur les conditions qui déterminent la localisation et l'évolution de l'AAH, en nous appuyant sur les équations et modèles classiques de la cosmologie relativiste.

L’AAH correspond à une surface qui délimite la région où les rayons lumineux, ou plus généralement les trajectoires non géodésiques, commencent à converger vers une singularité, comme celle du Big Crunch. Dans le modèle de Szekeres quasi-sphérique, les rayons presque radiaux obéissent à une équation qui relie la variation de la fonction d'onde et l'énergie. À partir des relations (20.164) et (20.175), on peut exprimer l’évolution des rayons sortants, caractérisés par $j = +1$, qui sont essentiels pour déterminer la structure de l’AAH.

Une fois que la condition (20.164) est prise en compte dans le cadre de la phase de recollapsus ($\ell = -1$), on obtient une équation simplifiée de la forme suivante :

Ce type d'équation est crucial pour modéliser l’évolution de l’AAH, car il décrit comment les variations de la fonction $\Phi$ en fonction des coordonnées temporelles et spatiales affectent l'expansion ou la contraction de l'univers à un instant donné. Les termes associés aux variations spatiales et temporelles de la fonction $\Phi$ et de $\epsilon$ permettent de quantifier précisément l'impact de l’AAH sur la propagation des rayons.

Pour un modèle spécifique où l’on suppose l’absence de croisements de coquilles, une condition supplémentaire sur les dérivées partielles de $M, z$ et $k, z$ est imposée (20.181). Cette condition garantit que les variations de la masse et de la courbure sont compatibles avec l’évolution observée dans des solutions comme celle du Big Crunch. L’étude des limites asymptotiques de $\Psi(\eta)$ au voisinage de $\eta = \pi$ et $\eta = 2\pi$ permet d’observer les comportements spécifiques de l’AAH. En particulier, on peut démontrer que, pour chaque $M > 0$, il existe un unique $\eta_0 \in (\pi, 2\pi)$ pour lequel $\Psi(\eta_0) = 0$, ce qui marque la position de l'AAH dans le cadre du modèle de recollapsus quasi-sphérique.

L’un des résultats intéressants de cette modélisation est la comparaison entre l’AAH et l’horizon apparent ordinaire (AH). À travers des courbes numériques, il est possible de visualiser comment la contribution de $\epsilon, z / \epsilon$ influence la position de l'AAH, dans certaines directions. Lorsque cette contribution est positive, l'AAH se manifeste plus tard que l’AH, tandis que si elle est négative, l'AAH apparaît plus tôt. Ce phénomène a des implications physiques notables : dans les directions où l'AAH se trouve à l'intérieur de l’AH, un rayon non géodésique ayant pénétré l'AH pourrait, dans certaines configurations, continuer à se déplacer vers une région d’univers plus "évoluée" (vers un $\Phi$ plus élevé) avant de tomber définitivement dans la singularité.

Cela donne lieu à une situation paradoxale où, dans certains cas, un rayon lumineux peut échapper à la contraction de l’espace-temps avant de se retrouver finalement dirigé vers le Big Crunch, tout en restant piégé à l'intérieur de l'AH dans d'autres directions. Cette complexité géométrique est essentielle pour comprendre le comportement de la matière et de l'énergie dans des environnements extrêmes, comme ceux proches d’une singularité cosmologique.

Afin de mieux visualiser ces phénomènes, l’utilisation de la projection stéréographique et de coordonnées Euclidiennes abstraites permet de représenter la structure de l’AAH à différents instants temporels. Cette approche géométrique permet d’obtenir des courbes qui montrent l’évolution de la forme de l’AAH dans l’espace, fournissant une image plus intuitive de la dynamique des horizons dans ce cadre relativiste.

Ce type de modèle, bien qu'abstrait, est essentiel pour les cosmologistes qui cherchent à comprendre les processus extrêmes proches des singularités, qu’il s’agisse du Big Bang ou du Big Crunch. Le comportement de l'AAH dans de telles situations joue un rôle crucial dans la détermination de la causalité et de la possibilité d'échange d'information entre différents points de l'univers.

Il est également important de prendre en compte l’impact des termes non géodésiques, qui dans certains cas, peuvent dévier des trajectoires normalement convergentes, contribuant à des résultats inattendus dans les modèles de recollapsus. Ces variations permettent d’observer les transitions subtiles entre les différentes phases de l’évolution cosmologique, allant de l'expansion à la contraction, et réaffirment l’importance de ces modèles dans l’étude des futurs scénarios de l’univers.

Les géodésiques nulles dans le plan équatorial et les extensions analytiques du métrique de Kerr

Dans l'étude des géodésiques nulles pour la métrique de Kerr, le comportement des trajectoires des rayons lumineux dans le plan équatorial constitue un aspect fondamental. Les équations fondamentales qui régissent ces trajectoires, telles que définies par $\rho = \frac{r}{2m}$, $\lambda = \frac{ - L_z}{2m}$, et $\alpha = \frac{a}{2m}$, permettent de comprendre comment ces rayons se déplacent autour d'un trou noir en rotation.

Lorsque l’on considère les géodésiques nulles dans la métrique de Kerr, il est crucial de comprendre la fonction $\psi(\rho)$, qui apparaît dans l'équation fondamentale décrivant le mouvement. Cette fonction est donnée par $\frac{\psi(\rho)}{\rho^3}$, et les points de retournement des géodésiques nulles se produisent lorsque cette fonction s'annule. Cela définit des plages spécifiques de valeurs de $\rho$ où le mouvement est permis. Les géodésiques qui satisfont à cette condition ne peuvent se déplacer que dans des régions où $\psi(\rho)/\rho^3 > 0$.

Dans cette étude, il est essentiel de prendre en compte l'extension du champ gravitationnel de Kerr, notamment lorsque $r < 0$. Les géodésiques nulles sont affectées par des racines multiples de $\psi(\rho)$, qui à leur tour définissent des zones de perméabilité ou d'interdiction pour les trajectoires lumineuses. Par exemple, lorsque $\lambda^2 \leq \alpha^2$, il n’existe pas de racines positives pour $\psi$, ce qui implique que les rayons lumineux venant de valeurs positives de $\rho$ frapperont la singularité au point $r = 0$. En revanche, si $\lambda^2$ devient suffisamment grand, alors $\psi(\rho)$ peut avoir deux racines positives distinctes, $\rho_2 > \rho_1 > 0$, créant ainsi une zone de transition entre des trajectoires qui peuvent se retourner avant de rejoindre $r = 0$ ou revenir depuis des régions infinies.

Les résultats graphiques permettent de visualiser ces zones autorisées et interdites, en particulier lorsque l'on compare différentes valeurs de $a^2$ et de $m^2$. La relation entre $\rho$ et $\lambda$ peut être décrite par des courbes $\lambda(\rho)$, qui sont déterminées par la résolution de l'équation $\psi(\rho) = 0$. Ces courbes montrent comment la présence de termes comme $\left|\rho\right|$ influence les différents branches de $\lambda(\rho)$, modifiant ainsi les zones où le mouvement est permis. En fonction des valeurs de $a$ et de $m$, les régions interdites se déplacent et changent de forme, et lorsque $a = 0$, une symétrie miroir se produit.

Les géodésiques temporelles, quant à elles, sont régies par une équation qui dépend également de l'énergie et de la constante de mouvement angulaire $\alpha$. Cette équation met en évidence des transitions subtiles dans les domaines de mouvement permis et interdit en fonction des paramètres du système, en particulier la constante $\Gamma$, qui joue un rôle central dans la détermination des régions de trajectoires autorisées. Les différents cas de géodésiques temporelles sont identifiés par les signes et les discriminants associés à $\psi(\rho)$, offrant ainsi un cadre pour explorer la dynamique des particules massives dans un champ gravitationnel rotatif.

Les résultats de cette analyse se trouvent dans les figures qui montrent les différentes configurations possibles pour des valeurs de $a^2$, de $m^2$, et des paramètres tels que $\Gamma$. Par exemple, dans le cas où $\Gamma < 0$, on observe la présence de petites "péninsules interdites" similaires à celles rencontrées dans le cas des géodésiques nulles. Ces zones se retrouvent également dans les géodésiques temporelles et peuvent être liées aux horizons d'événements internes et externes du trou noir, dénotés par $\rho_-$ et $\rho_+$, respectivement.

En résumant les résultats, il devient apparent que les trajectoires des géodésiques dans un espace-temps de Kerr sont fortement influencées par la rotation du trou noir. Cela se manifeste par des comportements variés, allant des trajectoires qui peuvent quitter l’horizon et revenir, à celles qui sont piégées dans des zones interdites ou qui finissent par se diriger vers la singularité au centre du trou noir. Les zones permises pour le mouvement dépendent donc de la géométrie particulière de l’espace-temps, de la rotation du corps central, et de la nature des objets en mouvement, qu'il s'agisse de rayons lumineux ou de particules massives.

Les extensions analytiques de la métrique de Kerr permettent de mieux comprendre la structure de l’espace-temps autour d'un trou noir rotatif. En tenant compte des différentes zones interdites et permises, de l’influence des horizons d’événements et des valeurs spécifiques de $\lambda$ et $\rho$, il est possible de modéliser des trajectoires et de prévoir le comportement des objets en présence de ces champs gravitationnels extrêmes.

Comment la relativité générale structure-t-elle l’espace-temps et influence-t-elle l’évolution cosmique ?

La relativité générale offre un cadre mathématique profond pour comprendre la structure dynamique de l’univers et les phénomènes gravitationnels qui s’y produisent. Elle décrit l’espace-temps comme une variété différentiable à signature indéfinie, où la métrique de Lorentz impose une géométrie non euclidienne, modelant ainsi le comportement de la matière et de la lumière. L'évolution de cette géométrie est gouvernée par les équations d’Einstein, souvent abordées à travers des solutions spécifiques telles que les métriques de Schwarzschild, Kerr ou Szekeres, qui permettent d’étudier des configurations allant des trous noirs aux modèles cosmologiques inhomogènes.

L’expansion de l’univers, caractérisée notamment par le paramètre de Hubble et la constante cosmologique Λ, est un phénomène fondamental découlant de ces équations. La dynamique de l’expansion peut se complexifier sous l’effet de l’accélération, de la recollapse, ou des instabilités liées à la distribution de matière et d’énergie. Des horizons — événements, apparents, ou nuls — délimitent les régions causales de l’espace-temps, jouant un rôle clé dans la compréhension des singularités et de la structure globale de l’univers. Ces horizons définissent aussi les limites du champ d’observation, affectant ainsi la manière dont les signaux lumineux, les rayons gamma et autres formes de rayonnement sont perçus.

Les géodésiques, trajectoires naturelles suivies par les particules et les photons, fournissent des informations cruciales sur la courbure et la topologie sous-jacentes. Leur étude inclut la déviation géodésique, la complétude des trajectoires, ainsi que leur comportement dans des métriques spécifiques, comme celles de Kerr ou Schwarzschild. La notion de générateur — qu’il soit de symétrie, de translation ou de rotation — constitue un outil mathématique puissant pour analyser les isométries de l’espace-temps, révélant les symétries sous-jacentes qui simplifient la résolution des équations d’Einstein.

Par ailleurs, la relativité générale englobe aussi les

Les trous blancs et leur lien avec les trous noirs : une exploration cosmologique

Les trous blancs peuvent être envisagés comme la singularité cosmologique initiale (le Big Bang, voir les sections 17.4 et 18.3) qui continue d'exploser à un endroit isolé. Bien qu'aucune observation directe d'un trou blanc n'ait été réalisée, les trous noirs, en revanche, ont plusieurs candidats identifiés parmi les objets observés, et le nombre de ces objets ne cesse de croître. On pense généralement que chaque galaxie abrite un trou noir extrêmement massif en son centre. Par exemple, l'image du disque d'accrétion autour du trou noir central de la galaxie M87, dans l'amas de la Vierge, a été capturée en 2019 par le réseau de radiotélescopes Event Horizon Telescope (EHTC 19), et celle du centre de notre propre galaxie a été obtenue en 2022, bien que de qualité légèrement inférieure (Bower et al., 2022).

Pour comprendre la relation entre les trous noirs et les trous blancs, il convient d'envisager une analogie graphique. Si l’on compare les graphiques des fonctions f(x) = ax^(1/3) et g(x) = bx, avec a > 0 et b > 0, on constate que g sera toujours supérieur à f au-delà d'un certain x, peu importe les valeurs exactes de a et b. Cette idée offre une vision plus claire de la dynamique des trous noirs et des trous blancs, dont les comportements sont symétriques, mais inversés dans le temps.

Le Big Bang, dans les modèles cosmologiques acceptés, est souvent décrit comme une explosion unique en termes d'espace-temps, le début de l'expansion de l'Univers étant l'inverse temporel du processus de contraction vers une singularité. Ce processus est ce que devrait réaliser un trou blanc. Toutefois, cette image est partielle. Dans les modèles plus généraux, comme ceux des classes de Robertson-Walker, le Big Bang n'est pas un événement isolé, mais un processus prolongé dans le temps, ouvrant la possibilité de "noyaux retardés" d'expansion qui pourraient être observés comme des trous blancs par des observateurs lointains. Initialement proposés pour expliquer la source d'énergie des quasars (Novikov, 1964a; Neeman et Tauber, 1967), ces modèles ont été abandonnés au profit de l'idée des trous noirs avec des disques de matière en orbite.

Le concept de trou noir n'est pas nouveau. En théorie de la gravitation de Newton, la vitesse d'évasion (v_e) d'un objet sphérique de masse M et de rayon r est donnée par v_e = √(2GM/r). Ce raisonnement mène à la notion de trou noir : une zone de l'espace dont la gravité est telle que même la lumière ne peut en sortir. Bien que cette idée ait été introduite au XVIIIe siècle par Laplace (1795), le terme "trou noir" n'a été formalisé qu’au cours des années 1960. La diagramme de Kruskal est un outil clé pour suivre le parcours d'un objet tombant dans un trou noir. En observant l’objet émettant des signaux lumineux à intervalles réguliers, un observateur distant verra ces signaux se rapprocher indéfiniment à mesure que l’objet se rapproche de l’horizon des événements, jusqu'à ce qu’ils deviennent impossibles à détecter avant que l’objet atteigne l’horizon des événements.

L'horizon des événements, ce concept fondamental dans la théorie des trous noirs, est une frontière théorique dans l'espace-temps à partir de laquelle rien, pas même la lumière, ne peut s'échapper. Cela signifie que pour un observateur distant, le processus d'intrusion dans un trou noir semble durer une éternité. Toutefois, dans la réalité de l'objet qui se forme en un trou noir, celui-ci se fait progressivement plus sombre et plus rouge à mesure que sa lumière est décalée vers le rouge jusqu'à disparaître de la vue avant d'atteindre l’horizon des événements. De plus, il est important de noter que l’objet ne sera pas visible pour un observateur extérieur avant qu'il ne devienne un trou noir complet. L'effet de l'horizon des événements va donc au-delà de la simple disparition d’un objet ; il influe profondément sur la perception du temps et de l’espace dans la gravité extrême d'un trou noir.

Les trous blancs, en revanche, demeurent théoriques et leur rôle reste incertain dans le cadre actuel de notre compréhension de l’Univers. Le seul exemple clairement identifié d'un trou blanc est l'ensemble de l'Univers lui-même. Dans les modèles cosmologiques courants, le Big Bang marque le début de l'expansion de l'Univers, ce qui pourrait être vu comme une sorte de "blanc trou" à grande échelle, bien que cette interprétation ne fasse pas l’unanimité parmi les astrophysiciens.

Dans la théorie de la relativité générale, l'idée de trous noirs et de trous blancs peut sembler paradoxale : alors que l’un est un point de non-retour, l’autre pourrait, en théorie, être un point de départ pour de nouvelles créations. Il existe plusieurs façons de penser ces entités dans des contextes théoriques avancés, mais l’enjeu majeur reste d’en observer directement les manifestations physiques et de comprendre comment elles interagissent avec l’espace-temps.

Enfin, il est crucial de comprendre que la formation d’un trou noir ou d’un trou blanc ne se limite pas à des événements isolés, mais qu'ils sont en réalité des phénomènes qui découlent des propriétés fondamentales de la relativité générale et de la mécanique quantique. Bien que les trous noirs aient été largement étudiés et observés, les trous blancs demeurent un sujet fascinant de spéculation théorique et expérimentale. La recherche future pourrait, peut-être, révéler plus sur ces phénomènes qui défient nos intuitions sur le temps, l'espace et la matière.

Quels problèmes cosmologiques les modèles d'inflation ont-ils résolus et comment?

Les modèles de l’inflation cosmologique ont émergé pour répondre à des énigmes fondamentales que les modèles standards, en particulier la métrique de Robertson–Walker (R–W), ne parvenaient pas à expliquer de manière satisfaisante. Ces modèles simplifiés, bien que puissants pour décrire globalement l’expansion de l’Univers, engendrent deux problèmes majeurs : celui de la platitude (flatness problem) et celui de l’horizon (horizon problem).

Le problème de la platitude concerne la densité critique de l’Univers, un paramètre clé défini par la relation $\Omega$, qui mesure la densité réelle par rapport à la densité critique nécessaire pour que l’Univers soit spatialement plat. Dans les modèles de Friedmann sans constante cosmologique, la valeur de $\Omega$ doit être extraordinairement proche de 1 dès les premiers instants de l’Univers pour qu’elle reste compatible avec les observations actuelles. En effet, en calculant le rapport des densités entre une époque où la densité moyenne correspondait à celle d’un proton et aujourd’hui, on constate un écart gigantesque qui implique un réglage initial extrêmement précis, presque une fine-tuning déconcertante. Cette exigence de précision paraît inexplicable dans le cadre des modèles classiques et soulève la question : pourquoi l’Univers a-t-il commencé dans un état aussi finement ajusté?

Le problème de l’horizon, quant à lui, découle de la structure causale limitée de l’espace-temps dans les modèles standard. La lumière émise lors de la dernière diffusion du fond diffus cosmologique (CMB), environ 380 000 ans après le Big Bang, provient de régions de l’Univers qui n’ont, selon ces modèles, jamais pu être en contact causal. Pourtant, ces régions présentent une homogénéité remarquable, notamment une température du CMB quasiment uniforme à travers le ciel. Cette uniformité semble impossible à expliquer sans un mécanisme qui ait permis à ces régions d’échanger de l’information ou de l’énergie avant la recombinaison. Le modèle classique de Robertson–Walker, avec une expansion simple et monotone, ne permet pas à la lumière de parcourir les distances nécessaires pour établir cet équilibre.

L’inflation cosmologique propose une phase d’expansion exponentielle extrêmement rapide juste après le Big Bang, durant laquelle l’Univers s’est dilaté bien plus vite que dans les modèles standard à matière ordinaire. Cette expansion ultra-rapide étend les cônes de lumière futurs, englobant ainsi une région spatiale bien plus vaste au moment de la dernière diffusion. En d’autres termes, des zones qui paraissaient initialement non connectées ont été effectivement en contact causal avant cette phase d’inflation, permettant un équilibre thermique et une homogénéité observée. Ce mécanisme résout élégamment le problème de l’horizon en élargissant la portée des interactions préalables à la recombinaison.

D’un point de vue formel, la dynamique de l’expansion pendant l’ère de radiation est gouvernée par une équation d’état où la pression est liée à l’énergie par $\epsilon = 3p$, reflétant un fluide parfait avec tenseur énergie-impulsion sans trace. Cela conduit à une évolution de la fonction d’échelle $R(t)$ qui, dans le cas d’un Univers spatialement plat ($k=0$), croît proportionnellement à $(t - t_B)^{1/2}$ avant inflation. Le calcul de la taille de la région visible à l’époque du dernier scattering confirme les limites imposées par la vitesse de la lumière dans l’expansion standard, montrant que les régions observées aujourd’hui n’auraient pas eu le temps de s’influencer mutuellement.

La nature des surfaces piégées dans la proximité de la singularité initiale est également cruciale. L’existence de régions dites « passées piégées » où la convergence des rayons lumineux est positive, comme défini par l’expansion du faisceau de rayons nuls, introduit des analogies fortes avec les horizons des trous noirs, en particulier la condition $rG < 2m$, qui ressemble à la définition de l’intérieur de l’horizon d’événement dans la métrique de Schwarzschild. Ces propriétés mettent en lumière la complexité de la structure causale à proximité du Big Bang.

Au-delà des modèles d’inflation, les modèles cosmologiques plus complexes, tels que ceux de Lemaître–Tolman et de Szekeres, permettent de dépasser certaines simplifications des métriques homogènes et isotropes. Ils offrent des perspectives plus nuancées sur les propriétés géométriques et dynamiques de l’Univers, notamment en rendant compte des observations sans nécessiter certains ajustements extrêmes imposés par les modèles R–W. Ces modèles révèlent aussi des phénomènes tels que le décalage vers le bleu infini des rayons radiaux émis au Big Bang, phénomène absent des modèles standards.

Il est important de comprendre que les modèles inflationnaires, bien qu’efficaces pour expliquer ces problèmes, ne sont pas une fin en soi mais plutôt un cadre qui élargit notre compréhension des phases précoces de l’Univers. Ils posent eux-mêmes de nouvelles questions sur la nature du champ d’inflation, la durée et le déclenchement de cette phase, ainsi que sur les mécanismes physiques sous-jacents. De plus, la compréhension fine de la géométrie et de la causalité dans un Univers en expansion exige une analyse précise des surfaces apparemment piégées et de leur rôle dans la formation des horizons cosmologiques.

Enfin, il est essentiel de saisir que la densité critique et la structure causale ne sont pas uniquement des paramètres mathématiques mais des caractéristiques profondément liées aux conditions initiales et à la physique fondamentale. Leur étude éclaire non seulement la dynamique de l’Univers mais aussi les interactions entre gravité, matière et rayonnement dans des régimes extrêmes, tout en guidant la formulation de théories plus complètes qui pourraient intégrer la gravité quantique et des phénomènes encore inexplorés.