Une variété MM est dite orientable si son atlas est orienté, c’est-à-dire si pour toute paire de cartes (φα,Uα)(\varphi_\alpha, U_\alpha) et (φβ,Uβ)(\varphi_\beta, U_\beta) les fonctions de transition ψαβ=φβ∘φα−1\psi_{\alpha\beta} = \varphi_\beta \circ \varphi_\alpha^{ -1} ont un déterminant jacobien strictement positif. Ce critère d’orientation garantit la cohérence globale du sens dans lequel la variété est parcourue localement, ce qui joue un rôle crucial dans les applications différentielles et l’intégration sur les variétés.

Soient MM et NN deux variétés différentiables. Une application f:M→Nf : M \rightarrow N est dite différentiable au point m∈Mm \in M si, en utilisant des cartes xx sur MM au voisinage de mm et yy sur NN au voisinage de f(m)f(m), le représentant local F=y∘f∘x−1:Rn→Rn′F = y \circ f \circ x^{ -1} : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^{n'} est de classe C∞C^\infty. Ce critère est indépendant du choix des cartes, car une transition entre deux représentations locales de ff, disons FF et GG, s’écrit comme G=(y′∘y−1)∘F∘(x∘x′−1)G = (y' \circ y^{ -1}) \circ F \circ (x \circ x'^{ -1}), et donc la régularité de FF entraîne celle de GG, du fait que les changements de cartes sont eux-mêmes C∞C^\infty.

Une application est dite différentiable si elle l’est en tout point de son domaine. Un difféomorphisme est une bijection différentiable dont l’inverse est également différentiable. Deux variétés sont alors dites difféomorphes s’il existe un difféomorphisme global entre elles.

L’application f:R2→R2f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 définie par f(x,y)=(xey+y,xey−y)f(x, y) = (xe^y + y, xe^y - y) est un exemple typique de difféomorphisme, puisque son inverse existe et est de classe C∞C^\infty. De même, la rotation en fonction de l’angle zz donnée par f(x,y,z)=(xcos⁡z−ysin⁡z,xsin⁡z+ycos⁡z,z)f(x, y, z) = (x\cos z - y\sin z, x\sin z + y\cos z, z) se restreint en un difféomorphisme sur la sphère unité S2S^2, avec une expression explicite de l’inverse.

La sphère de Riemann, représentation projective complexe de la sphère S2S^2, trouve une interprétation géométrique élégante via les projections stéréographiques. En plaçant le pôle nord N=(0,0,1)N = (0, 0, 1) au sommet, on projette tout point P=(x1,y1,z1)P = (x_1, y_1, z_1) de la sphère (hors NN) sur le plan z=0z = 0 selon la droite joignant NN et PP. Cette projection donne lieu à la transformation explic_

Comment la géométrie différentielle permet-elle de définir rigoureusement les volumes sur les variétés ?

L’approche moderne de l’intégration sur les variétés repose sur une construction abstraite mais rigoureuse de la notion de volume. Cette démarche, bien qu’ancrée dans l’intuition géométrique, trouve sa puissance dans la formalisation par les formes différentielles, les produits scalaires et les objets tensoriels. À travers une suite de résultats, l'espace ambiant euclidien cède la place à des structures intrinsèques, généralisables à des dimensions arbitraires.

Le point de départ réside dans la relation fondamentale entre une forme linéaire et le produit scalaire. Si VV est un espace vectoriel euclidien et ff un fonctionnel linéaire sur VV, alors il existe un vecteur unique w∈Vw \in V tel que f(v)=(w,v)f(v) = (w, v) pour tout v∈Vv \in V. Ce résultat, une conséquence immédiate de la base orthonormée, fonde l'identification canonique entre l'espace et son dual, propre aux espaces hilbertiens. En choisissant une base orthonormée {vi}\{v_i\}, la donnée de ff est équivalente à celle des scalaires ai=f(vi)a_i = f(v_i), et le vecteur w=∑aiviw = \sum a_i v_i satisfait alors f(v)=(w,v)f(v) = (w, v), rendant ainsi explicite la correspondance entre formes linéaires et vecteurs via le produit scalaire.

Ce lien se prolonge naturellement vers l’étude des formes différentielles. L’algèbre extérieure, à travers l’opération ∧\wedge, encode des orientations et volumes infinitésimaux. Par exemple, l’analyse de conditions telles que ω∧dω=dx∧dy\omega \wedge d\omega = dx \wedge dy ou ω∧dω=dx∧dy∧dz\omega \wedge d\omega = dx \wedge dy \wedge dz, impose des contraintes géométriques sur la structure locale des champs de formes, révélant des aspects profonds de la géométrie sous-jacente.

Le calcul du volume d’une variété s'effectue en recourant à la notion de jacobien, ou plus généralement au déterminant du produit scalaire des dérivées partielles du plongement. Si une variété M⊂RnM \subset \mathbb{R}^n est définie paramétriquement par une application F:U⊂Rm→RnF: U \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n, alors l’élément de volume est donné par :

dVM=det⁡(JTJ) dt1⋯dtmdV_M = \sqrt{\det(J^T J)} \, dt_1 \cdots dt_m