Quelle est la signification physique des modèles perturbés dans la cosmologie relativiste ?

Les modèles perturbés jouent un rôle essentiel dans la compréhension des dynamiques cosmiques à grande échelle, notamment dans les contextes où la géométrie de l'univers est non-homogène. L'équation (20.225) illustre comment, dans certaines conditions particulières, le facteur $k$ se simplifie en $k = 1/k$ lorsque $k = \pm 1$, et en l'absence de perturbations (lorsque $k = 0$), le terme contenant $\beta+$ disparaît. Cette relation illustre comment les perturbations peuvent affecter les modèles cosmologiques, en particulier en ce qui concerne les modèles de Szekeres et leur représentation dans des cadres linéarisés.

La perturbation linéarisée, dans ce contexte, conduit à une définition de la densité perturbée $\delta$, qui est simplement le rapport entre la différence de densité $\epsilon_p$ et la densité de fond $\epsilon_b$. Cependant, dans le cadre des modèles de Szekeres, cette relation prend la forme $F = A \frac{(\epsilon_p - \epsilon_b)}{\epsilon_b}$, où $A$ doit être proche de 1 pour que l'on retrouve une approximation correcte de $\delta$. Toutefois, dans la plupart des cas, $F$ n'a pas de signification physique claire, bien qu'il définisse une certaine déformation du modèle de fond de Friedmann.

Dans la représentation de G–W, il devient évident que les modèles de Szekeres permettent une explication plus claire de la dynamique de l'expansion et de la torsion de l'univers primordial. La solution aux équations qui décrivent cette dynamique montre que les singularités de courbure scalaires peuvent être de deux types : celles liées au Big Bang et celles résultant d'un croisement de coques. Le type de singularité dépend de la valeur du paramètre $\beta-$, qui peut rendre la singularité du Big Bang ponctuelle ou en forme de cigare, ou encore en forme de crêpe lorsque $\beta- \neq 0$.

Il est également crucial de noter que dans les modèles perturbés, il peut y avoir des singularités dues à la courbure des géodésiques, comme celles qui surviennent lorsque $S = 0$ ou $H = 0$, ce qui désigne des événements cosmologiques majeurs tels que le Big Bang et les croisements de coques. La nature de ces singularités et leur influence sur l'évolution de l'univers ont des implications profondes sur notre compréhension des premières phases de l'univers.

Le cas où $\alpha > 1/3$ introduit une solution avec un $q$ complexe, donnant lieu à des oscillations entre Big Bang et Crunch, où les périodes deviennent de plus en plus longues avec le temps. Ces modèles sont à la frontière de la cosmologie classique et relativiste, et offrent des insights sur les évolutions cycliques de l'univers, où la densité de matière se comporte de manière analogue à une constante cosmologique décroissante.

En somme, les perturbations linéaires et la représentation de G–W dans les modèles Szekeres fournissent une base théorique robuste pour comprendre les évolutions spatiales et temporelles dans un cadre cosmologique relativiste non homogène. L'impact de ces modèles va bien au-delà des simples fluctuations de densité, en expliquant des phénomènes tels que la singularité du Big Bang, les croissements de coques et la dynamique complexe de l'expansion cosmique.

Quelles sont les conditions nécessaires à la séparabilité dans l'équation de Kerr-Maxwell?

Une fois cette hypothèse formulée, il est possible de redéfinir les variables pour atteindre une forme simplifiée, où l'on suppose que $Z = Z_r Q_\mu - Z_\mu Q_r$. Cela impose une condition nécessaire mais pas suffisante pour la séparabilité. Ce qui reste problématique est le terme lié à $m_0$, une constante de masse qui peut encore obstruer la séparation complète. Cependant, la solution à ce problème réside dans l'argument selon lequel $Z$ doit avoir une forme spécifique, telle que $Z = U_\mu(\mu) + U_r(r)$, où $U_\mu$ et $U_r$ sont des fonctions de $\mu$ et de $r$, respectivement.

Après avoir résolu cette étape, la métrique de Kerr-Maxwell prend une forme particulière qui inclut la constante cosmologique et la charge magnétique, et qui permet d'intégrer les équations d'Einstein-Maxwell. Cette solution mène à une expression pour la fonction de potentiel électromagnétique qui dépend à la fois des variables $r$ et $\mu$, et montre l'importance d'adopter des transformations appropriées pour maintenir la symétrie du système.

La résolution des équations de Maxwell, après avoir trouvé la séparation des variables, implique une solution pour les potentiels électromagnétiques $X_r$ et $X_\mu$, qui dépendent respectivement de $r$ et $\mu$. Ces solutions peuvent être exprimées sous forme de constantes arbitraires, dont les valeurs dépendent des conditions physiques spécifiques du problème.

Ainsi, la séparation des variables dans le cadre des équations de Kerr-Maxwell n'est pas triviale et requiert une série d'ajustements dans les choix des fonctions $Z_r$, $Z_\mu$, et des constantes associées aux termes de la métrique et du champ électromagnétique. C'est par cette démarche rigoureuse que l'on parvient à une description cohérente des objets astrophysiques dans un espace-temps courbé, en tenant compte des effets électromagnétiques et des charges présentes.

Comment définir et interpréter la forme fondamentale seconde et les équations de Gauss-Codazzi dans les espaces riemanniens immergés ?

L’équation fondamentale qui apparaît, issue de la différentiation covariante combinée aux conditions d’immersion, peut s’écrire sous la forme (7.70) où un objet tensoriel, orthogonal à tous les vecteurs tangentiels à $V_n$, est exprimé en fonction de vecteurs normaux. Cette projection sur les directions normales définit ce que l’on appelle la forme fondamentale seconde $\Omega_{\alpha\beta}^{(\hat{S})}$. Chaque $\Omega_{\alpha\beta}^{(\hat{S})}$ est symétrique par rapport aux indices $\alpha$, $\beta$ et indexée par $\hat{S}$ qui désigne une direction normale à la sous-variété. Cette forme traduit la manière dont les vecteurs tangentiels à $V_n$ changent de direction lorsqu’on se déplace sur la sous-variété, mesurant ainsi la courbure extrinsèque.

La solvabilité des équations d’immersion dépend des conditions d’intégrabilité, exprimées par la formule de Ricci (7.73), qui relie les dérivées covariantes successives des vecteurs tangents et le tenseur de Riemann intrinsèque de la variété $V_n$. Cette condition est nécessaire pour assurer que la variété puisse réellement être plongée dans un espace ambiant avec les propriétés souhaitées.

Un ensemble de champs vectoriels formant une base adaptée à l’espace ambiant permet d’exprimer la métrique $G_{AB}$ en blocs, distinguant les composantes intrinsèques (liées à $V_n$) des composantes normales. Cette structure matricielle facilite la manipulation des objets géométriques et la formulation des relations entre courbure intrinsèque et extrinsèque.

Il est crucial de bien saisir que la forme fondamentale seconde ne se réduit pas à une simple mesure de courbure, mais constitue un pont entre la géométrie intrinsèque et la géométrie extrinsèque. Sa connaissance permet d’identifier des propriétés géométriques non détectables par la métrique seule. Par ailleurs, les contraintes d’intégrabilité sous-jacentes traduisent des liens profonds entre la topologie locale de $V_n$ et les possibilités d’immersion dans $U_N$.

Dans une perspective plus large, ces notions s’appliquent à de nombreux domaines, allant de la théorie classique des surfaces à la relativité générale, où l’on analyse la courbure de l’espace-temps et ses embeddings dans des espaces de dimensions supérieures. Une compréhension fine des formes fondamentales secondes et des équations de Gauss-Codazzi est indispensable pour explorer les propriétés globales et locales des variétés dans ces contextes.

Les lentilles gravitationnelles : Un regard sur l'optique cosmique et ses limites

En pratique, est-il envisageable pour un observateur sur Terre d’utiliser le Soleil comme lentille gravitationnelle ? L’équation (14.92) nous permet de répondre de manière définitive : non. Les premiers rayons, ceux qui frôlent la surface du Soleil, se croisent à une distance $dO$ qui devient plus petite à mesure que $dS$ devient plus grand. En calculant cette valeur minimale $dO$ dans la limite où $dS → ∞$, nous obtenons $d_{\text{min}} = \frac{(cR)^2}{4GM} = 8.2 \times 10^{10}$ km, alors que le rayon de l'orbite terrestre est de $1.49597892 \times 10^8$ km. Cela signifie que $d_{\text{min}}$ est plus de 13 fois plus grand que le rayon de l'orbite de Pluton, rendant ainsi toute tentative d’observation via une lentille solaire impossible. Une situation similaire se présente lorsqu'on considère la possibilité d'observer un phénomène de lentille gravitationnelle autour d'autres étoiles. Même pour l'étoile la plus proche, à 4,5 années-lumière de la Terre, avec la même taille que le Soleil, l'angle de déviation des rayons lumineux serait de seulement $3.4 \times 10^{ -3}″$, soit bien trop petit pour être mesuré.

Il est important de noter que les équations (14.83) et (14.92) ne s'appliquent pas aux quasars. Ces équations sont valables, au mieux, uniquement dans le champ gravitationnel d'une étoile sphérique unique. Les distances entre la Terre et les quasars étant gigantesques à l’échelle cosmologique, il est nécessaire de considérer les géodésiques nulles dans un modèle de l'Univers pour calculer la déviation des rayons lumineux sur de telles distances. En pratique, les lentilles gravitationnelles sont souvent décrites par une forme d’optique géométrique fondée sur la description newtonienne de la propagation de la lumière (Schneider, Ehlers et Falco, 1992). Bien que cette approche soit approximative, elle donne des résultats qui sont globalement en accord avec les observations.

L'un des exemples les plus célèbres de lentilles gravitationnelles est le "croix d'Einstein" (voir Figure 14.5), qui présente quatre points lumineux créés par le quasar QSO 2237+0305 et une galaxie située plus près, ZW 2237+030. L'image complexe est le résultat de l'absence de symétrie du système lenticulaire. Un autre exemple fascinant est la galaxie LRG 3-757 (Figure 14.6), où la lumière d'une galaxie lointaine forme presque un anneau complet autour de la galaxie voisine, en raison de l’arrangement presque axiquement symétrique de la lentille.

Le phénomène des lentilles gravitationnelles nous montre que la lumière, malgré sa trajectoire rectiligne apparente, est déviée et déformée par la gravité, même à des échelles cosmiques immenses. Cela ouvre des perspectives sur des observations de plus en plus détaillées de l'Univers, bien que ces phénomènes demeurent limités par des contraintes théoriques et pratiques, qui restent un terrain de recherche actif.

Comment évoluent les structures cosmiques à partir des conditions initiales de densité et de vitesse ?

Une démonstration numérique explicite a ainsi montré qu’un vide cosmique peut se transformer en une condensation dense, ce qui illustre la complexité non triviale de ces dynamiques. La variation du temps du Big Bang (BB) nécessaire pour produire un amas de galaxies à l’heure actuelle est estimée à environ 300 ans selon les modèles L–T, une valeur infime si on la compare aux fluctuations angulaires mesurées du CMB. Cette cohérence entre la théorie et l’observation souligne la précision de ces modélisations.

Un aspect particulièrement révélateur concerne la capacité relative des perturbations de vitesse et de densité à engendrer des structures. D’après Bolejko et al. (2010), une perturbation purement cinématique, avec une amplitude très faible, peut à elle seule quasiment engendrer un amas de galaxies. En revanche, la perturbation de densité nécessaire pour aboutir à la même configuration finale excède les contraintes observationnelles de plusieurs ordres de grandeur. Ceci démontre que la dynamique initiale des vitesses génère plus efficacement la formation des structures que la distribution initiale de matière. Dans les modèles homogènes de Robertson–Walker, la vitesse est rigidement liée à la densité par la loi de Hubble, ce qui ne laisse aucune latitude à une influence indépendante de la vitesse, contrastant fortement avec la flexibilité offerte par les modèles L–T.

Le modèle d’évolution « vitesse-vers-vitesse » (bi(M) = Rt(ti,M)/M1/3) permet de définir les conditions d’existence d’une évolution cosmique entre deux états donnés. Les inégalités qui s’en déduisent traduisent des contraintes physiques sur l’expansion, telles que la nécessité pour l’expansion finale d’être plus rapide ou plus lente que celle d’un modèle critique E = 0 selon le cas. Ces résultats forment un cadre rigoureux pour analyser l’évolution temporelle des profils de vitesse dans un univers en expansion.

Le lien entre la masse Schwarzschildienne au centre de symétrie et la masse Friedmannienne contenue dans la même sphère garantit la cohérence des deux descriptions. Ce principe est essentiel pour comprendre comment les objets isolés peuvent exister dans un univers en expansion sans que leur dynamique locale soit perturbée par cette expansion.

Il est crucial de comprendre que les perturbations initiales en vitesse ne sont pas seulement un paramètre supplémentaire, mais constituent un élément fondamental capable de modifier radicalement la trajectoire évolutive des structures cosmiques. Cette observation bouleverse la vision classique où la densité seule régissait la formation des galaxies et des amas. Le rôle prédominant de la vitesse souligne aussi la complexité du cosmos réel, où des conditions initiales fines et variées donnent naissance à la diversité observée.

Par ailleurs, la distinction nette entre les échelles locales et globales dans l’univers est primordiale. Les effets cosmiques globaux n’altèrent pas automatiquement les phénomènes locaux tels que les orbites planétaires, car les structures gravitationnelles locales peuvent se détacher efficacement du flot d’expansion de l’univers. Cette séparation des échelles est une clé pour comprendre comment l’univers peut à la fois s’étendre à grande échelle et maintenir des configurations stables à petite échelle.