Quelle est l'origine newtonienne de la métrique de Kerr et pourquoi une source matérielle réaliste reste introuvable ?

La métrique de Kerr, solution exacte des équations d’Einstein en vide, représente le champ gravitationnel extérieur d’un corps en rotation stationnaire. Toutefois, depuis sa découverte, une question persiste sans réponse définitive : quel type de matière réelle, dans le cadre de la relativité générale, pourrait engendrer un tel champ ? Cette interrogation reste l’une des plus frustrantes et intrigantes de la gravitation relativiste.

Une piste naturelle consiste à explorer le comportement newtonien correspondant à cette solution relativiste. En effet, le passage à la limite newtonienne (lorsque la vitesse de la lumière tend vers l’infini) permet parfois de comprendre la structure géométrique d’une solution relativiste à partir de configurations classiques. La métrique de Kerr, dont les surfaces $r = \text{const}$ sont des ellipsoïdes de révolution confocaux, suggère que les surfaces équipotentielles dans la limite newtonienne devraient être de même nature. Cependant, la forme newtonienne du potentiel ne se déduit pas directement de la métrique ; elle doit émerger de l’étude complète des équations du champ gravitationnel de Newton et de la dynamique associée.

Un modèle satisfaisant a été proposé par Chasles dès 1840 : un homéoïde, c’est-à-dire un ellipsoïde de révolution portant une distribution de matière uniformément répartie sur sa surface en deux dimensions. Dans un système de coordonnées sphéroïdales, le potentiel extérieur engendré par une telle configuration est donné par
$V_e(r) = -\frac{GM}{a} \arctan\left(\frac{a}{r}\right),$
où $M$ est la masse totale du corps et $a$ le paramètre associé à l’aplatissement. Ce potentiel est indépendant de l’angle $\vartheta$ et ne dépend que du rayon sphéroïdal $r$, une propriété qui simplifie grandement l’analyse.

Une distribution volumique continue de densité, produisant ce même potentiel extérieur, peut alors être trouvée :
$\rho(r, \vartheta) = \frac{f(r)}{r^2 + a^2 \cos^2 \vartheta},$
où $f(r)$ est une fonction arbitraire. Cela autorise une grande liberté dans le choix de la structure interne. La masse totale du corps s’obtient par intégration de $f(r)$ entre 0 et un rayon sphéroïdal $r_0$. Fait remarquable : les surfaces équipotentielles restent ellipsoïdales même à l’intérieur du corps. Toutefois, les surfaces de densité constante ne coïncident pas avec celles du potentiel sauf dans des cas particuliers.

Cette configuration présente plusieurs propriétés fascinantes. Le potentiel gravitationnel en un point intérieur dépend exclusivement de la masse contenue dans l’ellipsoïde équipotentiel passant par ce point, comme dans le théorème de Gauss sphérique. La masse extérieure ne contribue en rien au champ local. Ce comportement est cohérent avec l’intuition newtonienne, bien qu’il soit exprimé ici dans une géométrie non triviale. En outre, dans la limite $a \to 0$, cette configuration reproduit toutes les configurations sphériques newtoniennes, ce qui renforce son intérêt en tant que généralisation ellipsoïdale du cas classique.

Cependant, ces résultats newtoniens, bien qu’élégants, n’ont pas permis de franchir le fossé vers une solution relativiste pleinement satisfaisante. La recherche d’une source matérielle réaliste pour la métrique de Kerr reste vaine. Le principal obstacle réside dans l’impossibilité de construire un fluide parfait ou même un fluide anisotrope raisonnable qui, à la frontière, se raccorderait continûment à la solution extérieure de Kerr. L’effort le plus prometteur, dû à Roos (1976), a montré que les équations d’Einstein, avec une distribution de fluide anisotrope non dissipatif, forment un système intégrable sous cette condition. Mais aucune solution explicite n’en a émergé. Tous les modèles connus sont artificiels : disque bidimensionnel sur l’anneau singulier de Kerr, distribution de matière avec contraintes anisotropes, voire enveloppes de matière exotique. Aucune de ces propositions ne se prête à une interprétation physique robuste.

Le fait que même les modèles newtoniens homogènes posent des difficultés (comme l’avait montré Chandrasekhar) laisse présager que le problème relativiste, dans le cas de la métrique de Kerr, est d’une complexité au moins équivalente. La conclusion implicite est que les outils traditionnels ne suffisent pas ; il faut une idée radicalement nouvelle, une rupture conceptuelle. En l’absence d’une telle avancée, le champ de Kerr demeure orphelin de source physique, bien qu’il soit l’un des piliers de la relativité générale.

La difficulté essentielle réside dans la singularité du cercle focal $\{r = 0, \vartheta = \pi/2\}$. Dans le modèle newtonien, ce cercle est une singularité géométrique qui ne peut être régularisée que si la densité augmente avec le rayon près de cette région – une exigence en contradiction avec la plupart des profils de densité réalistes. De même, la pression n’est pas constante sur les surfaces équipotentielles, ce qui compromet l’hypothèse d’un fluide parfait. Ces incompatibilités suggèrent qu’une source physique de Kerr, si elle existe, doit nécessairement s’éloigner des hypothèses classiques.

Un point fondamental à retenir est que le champ extérieur de la solution de Kerr ne dépend que de deux paramètres : la masse et le moment cinétique. Cette indépendance par rapport à la structure interne ou à la taille du corps source est une caractéristique exceptionnelle. Elle rapproche la métrique de Kerr d’un théorème de type « pas de cheveux », limitant l’information accessible depuis l’extérieur. Pourtant, sans un modèle interne cohérent, cette description reste incomplète.

Il est crucial de comprendre que, malgré l’élégance mathématique de la métrique de Kerr et sa validité physique dans certaines situations astrophysiques (comme les trous noirs en rotation), son interprétation comme solution d’un problème de corps fini reste une énigme. La relativité générale permet des solutions en vide d’une grande généralité, mais le lien entre géométrie et matière, qui est censé être au cœur de la théorie, reste ici mystérieusement rompu.

Comment l'analyse des métriques de Reissner-Nordström révèle la structure de singularités et l'extension de l'espace-temps

L'espace-temps de Reissner-Nordström (R–N) décrit une solution exacte aux équations d'Einstein dans le cas d'un champ gravitationnel autour d'une sphère chargée. Cette métrique, souvent utilisée pour étudier les trous noirs électriquement chargés, est décrite par la signature de métrique indéfinie (dr² + r²dϕ² − du²). L'étude de cette métrique, et en particulier des solutions de l'équation (14.163), met en évidence les comportements complexes autour des singularités et leur lien avec les coordonnées de l'espace-temps.

Les solutions de l'équation de Reissner-Nordström pour une plage de rayons $e²/(2m) \le r \le r−$ sont données par l'intégrale suivante :

Cette solution décrit la courbure de l'espace-temps dans une région entre deux horizons de type électrogravitationnel. Lorsqu’on examine l’espace-temps pour $r < e²/(2m)$, la solution devient :

Les courbes de ces surfaces, correspondant à $v = 0$, sont illustrées dans les figures 14.14 et 14.15. Ces graphiques montrent la configuration du champ électromagnétique et gravitationnel, la surface $z(r)$ s'imbriquant dans un espace euclidien ordinaire, tandis que la surface $u(r)$, à la métrique indéfinie, se déforme à mesure que $r$ approche des singularités.

Dans le cas extrême où $e² = m²$, la métrique devient :

ce qui marque une différence fondamentale par rapport à $e² < m²$. Ici, la distance radiale vers une singularité factice reste infinie lorsque $r = m$, une observation qui s'appuie sur la géométrie de l'espace-temps.

L'extension de cette métrique exige de prendre en compte une transformation des coordonnées nulles $p$ et $q$ :

avec $ζ = \frac{dr}{r - m} - m² + 2m \ln |r - m|$. Cette transformation, suivie de la réécriture de la métrique sous la forme :

permet d’obtenir une description régulière de la métrique pour toutes les valeurs réelles de $p$ et $q$, en couvrant les deux régions infinies. Les singularités sont ainsi localisées respectivement à $p = -q = -∞$ pour $r > m$ et $p = -q = +∞$ pour $r < m$.

L’utilisation de coordonnées conformes permet de rendre finies les valeurs infinies de $p$ et $q$. La transformation suivante,

déplace ces infinities vers des distances finies, créant des diagrammes conformes qui montrent la topologie complexe de l'espace-temps, avec des singularités multiples et des horizons de lumière associés à $r = m$.

Enfin, l’étude des surfaces de l’espace-temps de Reissner-Nordström dans un espace plat 3D met en lumière des caractéristiques géométriques fascinantes. Pour $r > m$, la surface de $t = constant, ϑ = π/2$ s’étend indéfiniment, formant une sorte de "entonnoir" qui se rapproche asymptotiquement du cylindre de rayon $m$ à mesure que $r$ approche de $m$. À l’inverse, pour $r \leq m/2$, l’espace-temps devient plus difficile à représenter dans un espace euclidien ordinaire, nécessitant l’usage d’un espace pseudo-euclidien. Les surfaces dans ce cas montrent des comportements où $u(r)$ tend vers 0 à $r = m/2$ et vers une valeur finie à $r = 0$, comme le montre la figure 14.17.

Pour mieux comprendre cette dynamique, il est crucial de saisir que la singularité de l’espace-temps de Reissner-Nordström ne doit pas être confondue avec une singularité physique. En effet, l’apparition de telles singularités dans les graphiques n’implique pas nécessairement des infinities physiques, mais plutôt une limitation de notre capacité à décrire l’espace-temps dans un cadre géométrique euclidien traditionnel. Les extensions et transformations que nous avons étudiées permettent de mieux comprendre comment la métrique, tout en étant déformée par les charges et la gravité, reste consistante dans son cadre général de description des phénomènes gravitationnels. Ces considérations sont essentielles pour aborder les théories plus complexes, telles que celles de la relativité générale et des champs électromagnétiques combinés.

Quel est le rôle de la thermodynamique relativiste dans l'étude des fluides parfaits et anisotropes ?

En cosmologie et en hydrodynamique relativiste, les fluides parfaits et anisotropes sont abordés dans la littérature, bien que leur description nécessite des outils de thermodynamique plus avancés. Les équations de mouvement d'un fluide parfait sont données par les relations classiques (12.17), avec $T_{\alpha \beta}$ exprimé par (12.73). En introduisant $n$ comme la densité de nombre de particules, il est essentiel de considérer uniquement les processus où les particules ne sont ni créées ni annihilées. Ainsi, le nombre total de particules dans un volume à un instant $t_2$ sera soit égal à celui de $t_1$ (avec $t_1 < t_2$), soit la somme du nombre de particules à $t_1$ et de celles qui sont entrées ou sorties du volume entre ces deux instants.

En plus de l'équation (12.17), il convient d'ajouter l'équation de continuité pour $n$, à savoir :

Dans la thermodynamique phénoménologique, lorsque le volume $V$ d'un système est déterminé, l'enthalpie du système est définie par $H = U + pV$, où $U$ est l'énergie interne du milieu. En cosmologie ou en considérant l'intérieur des étoiles, le seul volume bien défini pour des considérations locales est le volume par particule du fluide $V_p = 1/n$, et $(\epsilon + p)$ est la densité d'enthalpie. Ainsi, on peut définir l'enthalpie par particule $\mathcal{H} = (\epsilon + p) / n$.

En posant que pour une particule unique du fluide, la thermodynamique phénoménologique reste applicable, on arrive à l'identité de Gibbs :

Comme $\epsilon$ et $p$ sont fournis par les équations d'Einstein, et que $n$ et $V = 1/n$ ont une interprétation physique claire, on peut traiter $H$ et $\mathcal{H}$ comme donnés. La thermodynamique phénoménologique stipule que, pour une substance à un seul composant, deux fonctions d'état suffisent pour une description thermodynamique complète ; les autres fonctions peuvent être calculées à partir de l'équation d'état. En accord avec cette règle, on dira que, au plus, deux des trois fonctions $p$, $V$ et $\mathcal{H}$ sont indépendantes.

Cela conduit à la forme différentielle suivante :

qui est une différentielle exacte d'une fonction d'entropie $S$, d'où :

Ainsi, nous avons apparemment défini la température $T$ et l'entropie $S$. Le facteur d'intégration $1/T$ et la fonction $S$ ne sont pas déterminés de manière unique, mais selon les règles de la thermodynamique phénoménologique, on peut conclure que $T$ est déterminé jusqu'aux transformations linéaires, c'est-à-dire jusqu'au choix de l'échelle. Donnée $T$, $S$ est déterminée jusqu'à une constante additive.

Cependant, ce raisonnement présente un problème qui est resté longtemps ignoré en raison des solutions des équations d'Einstein en astrophysique, qui sont presque exclusivement de haute symétrie. Ces solutions sont généralement sphériquement symétriques, stationnaires et axiales, ou homogènes de type Bianchi. Dans les deux premiers cas, toutes les composantes de la métrique, et donc toutes les quantités thermodynamiques, dépendent de deux variables seulement, ce qui permet de considérer la relation (15.58) comme une définition de $T$ et $S$. Mais si la métrique possède un groupe de symétrie unidimensionnel, ou s'il n'y a pas de symétrie du tout, les fonctions $\epsilon$, $p$ et $n$ dépendent de trois ou quatre variables respectivement, et l'existence d'un facteur d'intégration pour la forme différentielle $(d\mathcal{H} - V dp)$ devient un postulat supplémentaire.

Les espaces-temps pour lesquels la forme $(d\mathcal{H} - V dp)$ possède un facteur d'intégration, et donc pour lesquels la température et l'entropie peuvent être définies par le raisonnement ci-dessus, sont dits admettre un schéma thermodynamique. Ce fait a été d'abord noté par Bona et Coll (1985, 1988), puis Coll et Ferrando (1989), qui ont montré que l'univers de Stephani (Stephani, 1967a), qui en général n'a pas de symétrie, acquiert un groupe de symétrie tridimensionnel agissant sur des orbites bidimensionnelles lorsque le schéma thermodynamique est imposé.

Il en ressort que l’étude des fluides parfaits dans des espaces-temps non symétriques nécessite une approche thermodynamique plus complexe qu'un fluide parfait à un seul composant. Cette observation est cruciale lorsque l’on s’aventure au-delà des modèles cosmologiques symétriques de type Robertson-Walker. Dans de tels cas, l’assumption de fluides parfaits barotropes, avec $\epsilon = \epsilon(p)$, devient une simplification qui ne prend pas en compte les complexités des géométries plus générales.

L’iso-entrropie est une propriété souvent discutée dans ce contexte. Si $S_{,\alpha} = 0$, l'entropie est constante dans tout le volume sous considération, et cette condition caractérise un mouvement isentropique. L’équation d'état devient alors barotropique, où $\epsilon$ est fonction de $n$, et $p$ est fonction de $n$ aussi. Cette forme de l'équation d'état est typiquement utilisée en cosmologie pour simplifier la modélisation des fluides dans des univers homogènes ou isotropes, mais peut devenir une hypothèse réductrice dans des modèles moins symétriques.

Le concept de fluide parfait en cosmologie reste donc étroitement lié à des considérations symétriques qui ne permettent pas toujours de saisir la richesse des phénomènes thermodynamiques dans des modèles plus généraux de l'univers.