Quelle est la signification géométrique des symboles de Christoffel et du tenseur de Riemann dans les espaces courbes ?

Les symboles de Christoffel, notés Γ, jouent un rôle central dans l'analyse des géométries différentielles des variétés. Ces symboles décrivent la manière dont les vecteurs se déplacent parallèlement sur une variété, et donc, comment les objets géométriques, tels que les courbes et les surfaces, sont influencés par la structure de l'espace dans lequel ils évoluent. Les équations qui les définissent sont des relations qui expriment les changements des coordonnées sur une variété courbe, et leur calcul est essentiel pour la compréhension des propriétés de l'espace courbe.

Dans l'exemple que nous avons, les symboles de Christoffel Γ12,2, Γ21,2, et Γ22,1, par exemple, se révèlent être r² sin(θ) cos(θ), ce qui illustre un aspect fondamental de la géométrie sphérique. Il est essentiel de noter que ces symboles décrivent la façon dont la base locale de l’espace (représentée par les vecteurs tangents à la surface) change d’un point à un autre, et comment les géodésiques (les chemins les plus courts entre deux points) se courbent dans l’espace. Dans le cas d’un espace sphérique, ce comportement géométrique est directement lié à la courbure de la sphère.

Le tenseur de Riemann, qui résulte du calcul des dérivées covariantes des vecteurs, mesure cette courbure. Par exemple, dans l'exemple traité, le seul composant non nul du tenseur de Riemann est $R_{1221} = -r^2 \sin^2(\theta)$ , une relation qui montre comment l'espace se courbe autour d'un point donné sur la sphère. Cette courbure est fondamentale pour comprendre les distorsions géométriques qui affectent les objets qui se déplacent dans cet espace courbe. La courbure de l’espace, mesurée par le tenseur de Ricci, est une autre mesure importante, avec des composants $R_{11} = -1$ et $R_{22} = -\sin^2(\theta)$ , indiquant la façon dont l’espace est courbé globalement.

Une autre propriété clé est l’invariance de la courbure $R_{\nu\nu}$ , qui combine les informations du tenseur de Ricci pour donner une mesure globale de la courbure de l’espace-temps ou de la variété. Dans l'exemple sphérique, cela conduit à une valeur de $R_{\nu\nu} = -2/r^2$ , ce qui est en accord avec l'intuition d’une sphère de rayon r.

Un espace plat, en revanche, est un espace où tous les symboles de Christoffel et tous les composants du tenseur de Riemann sont nuls. Cela signifie que dans un tel espace, il n’y a pas de courbure, et les géodésiques sont des lignes droites. Un exemple de tel espace est l’espace euclidien, où la géométrie ne comporte aucune déformation ou courbure.

L'analogie géométrique de la transport parallèle des vecteurs sur une variété est un autre aspect fondamental pour comprendre la géométrie de l’espace. Dans un espace euclidien, un vecteur parallèle conserve son orientation lorsqu'il est déplacé le long d'une ligne droite. Dans un espace courbe, le transport parallèle implique que le vecteur conserve son orientation par rapport aux géodésiques qui le relient, mais la relation devient beaucoup plus complexe. Cela reflète le fait que la courbure de l’espace influe directement sur la manière dont les objets se déplacent et s'interagissent.

L'une des applications les plus profondes de ces concepts en géométrie différentielle est la relativité générale. Dans ce cadre, la métrique de l’espace-temps et les symétries associées sont décrites par des tenseurs, notamment le tenseur de Ricci et le tenseur de Riemann, qui capturent les effets de la gravité. L’équation d’Einstein, qui relie la courbure de l’espace-temps à la distribution de matière et d’énergie, utilise ces tenseurs pour modéliser les interactions gravitationnelles. Par exemple, la solution de Schwarzschild à l’équation d’Einstein décrit la courbure de l’espace-temps autour d’un corps sphérique massif, tel qu'une étoile ou une planète.

Il est également intéressant de noter que la notion de géodésiques dans ces espaces courbes, comme sur un tore, mène à des équations non linéaires complexes qui définissent des trajectoires particulières sur la surface du tore. Les géodésiques dans un espace comme celui-ci sont souvent influencées par la géométrie du corps, ce qui peut aboutir à des trajectoires particulières comme des "cercles petits" ou des trajets à travers des régions spécifiques de la variété. Ces trajectoires dépendent des valeurs des constantes d’intégration et de la configuration géométrique de la variété elle-même.

Enfin, l’importance de la métrique de l’espace-temps dans des théories comme la relativité générale montre à quel point une telle analyse mathématique est non seulement abstraite, mais aussi cruciale pour comprendre la structure même de notre univers. Les modèles géométriques permettent de relier les observations physiques (comme le mouvement des planètes, la déviation de la lumière par la gravité, etc.) à des structures mathématiques qui décrivent l’espace-temps de manière précise.

Quelle est la forme de l’espace-temps autour d’une masse sphérique selon la relativité générale ?

La solution de Schwarzschild aux équations d’Einstein, formulée en 1916, représente l’une des premières et des plus remarquables solutions exactes de la relativité générale. Elle décrit le comportement de la géométrie de l’espace-temps en dehors d’un corps massif sphérique et non chargé. L’intérêt fondamental de cette solution réside dans sa capacité à rendre compte, de manière rigoureuse, d’effets observables comme la déviation de la lumière par un astre ou l’avance du périhélie de Mercure, tous deux confirmés expérimentalement peu après la formulation de la théorie.

En supposant que la masse est parfaitement sphérique et stationnaire, on considère une métrique dont la forme générale est donnée par :

$ds^2 = e^{\nu(r)} dt^2 - e^{\mu(r)} dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta d\varphi^2$

Dans cette expression, la vitesse de la lumière est normalisée à l’unité. En absence de matière (i.e., en dehors de la masse centrale), le tenseur énergie-impulsion est nul, $T_{\mu \nu} = 0$ , ce qui implique que le tenseur de Ricci $R_{\mu \nu}$ doit également s’annuler.

Le calcul explicite des symboles de Christoffel, puis des composantes du tenseur de Ricci, conduit à un système d’équations différentielles. De l’équation $R_{11} + e^{\mu - \nu} R_{44} = 0$ , il découle que $\mu = -\nu$ . Cette relation permet de réduire les équations à une forme intégrable, menant à la solution :

$e^{\nu} = 1 - \frac{\alpha}{r}, \quad e^{ -\mu} = 1 - \frac{\alpha}{r}$

La constante $\alpha$ , déterminée par la comparaison avec la limite newtonienne, s’identifie à $\alpha = \frac{2GM}{c^2} = r_s$ , le rayon de Schwarzschild. Ainsi, la métrique complète en dehors d’un astre sphérique est donnée par :

$ds^2 = \left(1 - \frac{r_s}{r}\right) dt^2 - \left(1 - \frac{r_s}{r}\right)^{ -1} dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta d\varphi^2$

Ce résultat fondamental révèle que l’espace-temps autour d’une masse ne reste pas plat, mais se courbe selon une loi précise gouvernée par la masse centrale. La solution de Schwarzschild est asymptotiquement plate, c’est-à-dire qu’à grande distance de la masse, l’espace-temps tend vers la métrique de Minkowski.

Un des apports majeurs de cette solution est la prédiction de la déviation des rayons lumineux par un champ gravitationnel. Contrairement à la relativité restreinte, où la lumière suit des lignes nulles dans un espace-temps plat, ici elle suit des géodésiques nulles dans un espace-temps courbe. L’équation différentielle régissant cette trajectoire peut être transformée, par un changement de variable $v(\varphi) = 1/r(\varphi)$ , en une équation non linéaire du second ordre :

$\frac{d^2v}{d\varphi^2} + v = \frac{3}{2} r_s v^2$

Cette équation est traitée par perturbation pour de faibles valeurs de $r_s$ , conduisant à une solution de la forme :

$v(\varphi) = \frac{\sin \varphi}{r_0} + \frac{3r_s}{2r_0^2}(1 + \cos(2\varphi))$

Le premier terme représente une trajectoire rectiligne (comme dans l’optique géométrique), et le second la déviation induite par la courbure de l’espace-temps. Cette déviation angulaire $\delta$ s’exprime à l’ordre dominant par :

$\delta = \frac{2r_s}{3r_0}$

où $r_0$ est la distance minimale entre le rayon lumineux et la masse. Le double de cette valeur donne l’angle total de déviation observable, qui, dans le cas du Soleil, est de l’ordre de 1,75 secondes d’arc, tel que mesuré par Eddington lors de l’éclipse solaire de 1919. Cette expérience, bien qu’aujourd’hui controversée quant à sa précision initiale, fut décisive pour l’acceptation de la relativité générale.

Il est essentiel de souligner que les géodésiques nulles ne peuvent pas être paramétrées par le temps propre, car celui-ci est nul le long de telles courbes. Une reparamétrisation par un paramètre affine $w$ est donc nécessaire, ce qui rend les équations dynamiques non triviales, même dans des cas à symétr

Comment transforme-t-on les tenseurs relatifs et comment intégrer sur une variété orientable ?

Considérons un tenseur mixte de rang deux $T^\alpha_\beta$ . Sous un changement de coordonnées, sa transformation s’exprime comme suit :

\bar{T}^\alpha_\beta = \det(J)^m \frac{\partial \bar{x}^\alpha}{\partial x^a} \frac{\partial x^b}{\partial \bar{x}^\beta} T^a_b,

où $J = \frac{\partial \bar{x}}{\partial x}$ est la matrice jacobienne de la transformation, et $m$ est un entier appelé « poids » du tenseur. On remarque que la matrice inverse $J^{ -1}$ satisfait

\frac{\partial x^j}{\partial \bar{x}^i} J^{ -1} = \delta_i^j,

confirmant que la transformation est bien inversible. Quand $m = -1$ , ces tenseurs relatifs sont appelés des densités, une notion clé qui apparaît fréquemment en géométrie différentielle et en physique.

Pour construire un tenseur relatif à signification physique sur une variété riemannienne, on fait appel au tenseur métrique $g_{ij}$ , dont la transformation obéit à la règle classique des tenseurs covariants :

\bar{g}_{ij} = \frac{\partial x^a}{\partial \bar{x}^i} \frac{\partial x^b}{\partial \bar{x}^j} g_{ab}.

En traduisant cela en termes matriciels, on obtient pour les déterminants la relation

\bar{g} = (\det(J^{ -1}))^2 g,

où $g$ et $\bar{g}$ sont les déterminants respectifs des tenseurs métriques avant et après transformation. Cette formule est valable aussi bien pour les variétés orientables que non orientables, la signature de $g$ restant inchangée.

Sous l’hypothèse que $g$ et $\bar{g}$ sont strictement positifs, on peut extraire la racine carrée et écrire

\sqrt{\bar{g}} = \sqrt{g} |\det(J^{ -1})|.

Pour une variété orientable, $\det(J) > 0$ , permettant de lever la valeur absolue et faisant de $\sqrt{g}$ une densité scalaire. Dans les cas où $g$ est négatif, comme en espace de Minkowski ou en relativité générale, on remplace $g$ par $-g$ dans ces expressions.

Ainsi, un tenseur $T$ combiné à la racine carrée du déterminant métrique, $S = T \sqrt{g}$ , constitue une densité. En particulier, si $T = T_{ij}$ , alors

\bar{S}_{ij} = \det(J)^{ -1} \frac{\partial x^a}{\partial \bar{x}^i} \frac{\partial x^b}{\partial \bar{x}^j} S_{ab},

confirmant la nature de densité relative de $S$ .

Le passage à l’intégration sur une variété orientée repose sur ces notions. Soit une $n$ -forme $\omega$ sur une variété $n$ -dimensionnelle compacte et orientée, dont le support est contenu dans un domaine $U_\alpha$ muni d’un atlas $\varphi_\alpha$ . On peut alors écrire

(\varphi_\alpha^{ -1})^*(\omega) = f_\alpha(x) dx^1 \wedge \dots \wedge dx^n,

avec $f_\alpha$ une fonction locale intégrable. L’intégrale de $\omega$ est définie par

\int_M \omega = \int_{\varphi_\alpha(U_\alpha)} f_\alpha(x) \, dx^1 \dots dx^n.

Cette définition ne dépend pas du choix de la carte, car si l’on considère une autre carte $\varphi_\beta$ recouvrant le support, les fonctions locales associées $f_\alpha$ et $g_\beta$ sont liées par la relation

f_\alpha(x) = g_\beta(\psi_{\beta \alpha}(x)) \det(J(\psi_{\beta \alpha})),

où $\psi_{\beta \alpha} = \varphi_\beta \circ \varphi_\alpha^{ -1}$ est la transformation de coordonnées. La présence du déterminant jacobien sans valeur absolue dans cette relation est cohérente uniquement sur une variété orientable, garantissant l’indépendance de l’intégrale vis-à-vis de la carte utilisée. Sur des variétés non orientables, ce principe échoue, car le signe de $\det(J)$ peut changer, rendant l’intégrale mal définie.

Pour remédier à cette difficulté, on recourt aux densités, qui incorporent la valeur absolue du déterminant jacobien dans leur loi de transformation. L’élément de volume $dV$ sur une variété $M$ , orientable ou non, se transforme comme

d\bar{V} = |\det(J)| dV.

La quantité $\sqrt{g} dV$ est alors un élément de volume invariant, souvent appelé élément de volume invariante, fondamental en analyse géométrique et physique mathématique. Ainsi, pour une fonction scalaire $\varphi$ , l’intégrale

\int_M \varphi \sqrt{g} dV

est un invariant géométrique, insensible au choix de coordonnées.

En revanche, l’intégrale d’une densité tensorielle telle que $S^{ab} \sqrt{g} dV$ ne possède pas de propriétés de transformation bien définies, car une densité tensorielle n’est pas attachée à un point de la variété de manière covariante. Ce fait souligne la distinction fondamentale entre tenseurs, densités, et formes différentielles, ainsi que l’importance des structures d’orientabilité dans la géométrie différentielle.

Quelles sont les caractéristiques structurales et mécaniques des revêtements multiphases obtenus par synthèse par charge façonnée sur des substrats en titane ?
Comment enseigner à votre chien à franchir des cerceaux : Techniques et Astuces
Quel rôle le Président a-t-il réellement joué pendant l'assaut du Capitole ?
Comment créer un gâteau au chocolat moelleux et délicieux en utilisant une méthode simple et rapide
Pourquoi l'intégration est-elle une activité intellectuelle unique et stimulante?
Quel rôle les innovations anciennes ont-elles joué dans l'évolution des sociétés humaines ?