Les singularités de passage à travers des coques : étude du modèle Ruban

Les modèles cosmiques basés sur la métrique de Ruban, comme le modèle Ruban chargé ou déchargé, présentent des phénomènes fascinants, dont les singularités de type "passage à travers des coques". Un de ces phénomènes est la traversée d'une coque, qui survient lorsque la fonction $e^{A/2}$ devient nulle, c'est-à-dire quand $e^{A/2} = 0$ . Cela se produit dans la région où la courbure de l'espace-temps atteint une singularité. Pour comprendre pleinement ce phénomène, il est important de revisiter les équations fondamentales qui le décrivent, notamment celles qui régissent la dynamique des fonctions $X(r)$ et $Y(r)$ .

Les fonctions $X(r)$ et $Y(r)$ peuvent-elles être choisies de manière à éviter une traversée de coques dans toute la plage de $R$ ? Malheureusement, la réponse est négative, et ces traversées de coques sont inévitables, comme le montre le développement des équations. Dans la notation du modèle Ruban, la fonction $R$ varie entre deux valeurs limites, $R-$ et $R+$ , données par les expressions suivantes :

R- = M - \sqrt{M^2 - 2Q}, \quad R+ = M + \sqrt{M^2 - 2Q}.

Pour des valeurs de $R$ entre $R-$ et $R+$ , la fonction $e^{A/2}$ reste continue. Cependant, au point où $R = R-$ , la fonction $e^{A/2}$ devient infinie, tandis qu’à $R = R+$ , elle prend une forme opposée, ce qui conduit à une traversée de coque. Cette singularité apparaît chaque fois que $R$ traverse l'intervalle $[R-, R+]$ , ce qui empêche $R$ de réaliser même une demi-oscillation complète, aboutissant ainsi à un phénomène de "collision" des sphères.

La nature géométrique de ces traversées de coques diffère de celle observée dans d'autres modèles, tels que ceux de Lemaître-Tolman et de Szekeres, où les sphères en collision se trouvent l’une à l’intérieur de l’autre. Dans le modèle Ruban, les sphères, définies comme des surfaces de constante $r$ dans un cylindre à temps constant $t$ , se déplacent le long des générateurs du cylindre à mesure que ce dernier se dilate ou se contracte. Avant que le cylindre n'atteigne l'extrémité de sa contraction ou expansion maximale, les sphères se percutent.

Bien que des solutions pour éviter les traversées de coques soient théoriquement envisageables, cela exigerait des pressions et des gradients de pression non nuls dans la direction $r$ , ce qui n’a pas encore été exploré dans les modèles existants. Cependant, il existe des transitions intéressantes dans le cas où la charge $Q$ devient nulle. Lorsque $Q = 0$ , le modèle Ruban se réduit à une solution de poussière neutre de Datt–Ruban, décrite par l’équation suivante :

R = M(1 - \cos \eta), \quad t - tB = \mu M(\eta - \sin \eta),

où $\eta$ représente une variable d'angle paramétrique. Cette solution montre que $R$ évolue de 0 à $2M$ et revient ensuite à 0, ce qui reflète un modèle avec une singularité de type Big Bang/Big Crunch.

Un aspect remarquable du modèle Ruban déchargé est qu'il possède un temps d’existence fini, du Big Bang au Big Crunch, avec des singularités qui se manifestent aux points $R = 0$ . Le comportement de la fonction $e^{A/2}$ dans cette phase montre une divergence infinie, indiquant que l'espace-temps atteint une taille infinie dans la direction $r$ avant de revenir à une contraction.

Dans ce contexte, les traversées de coques peuvent être évitées dans un certain cadre où les fonctions $X(r)$ et $Y(r)$ sont choisies de manière adéquate pour garantir que la quantité $\mathcal{F}$ reste positive pendant toute la période d'expansion et de contraction. Une condition suffisante pour éviter la traversée de coques est de garantir que $X > 0$ et $Y > 0$ à tous les instants, ce qui permet de maintenir $\mathcal{F}$ positif à chaque étape de l'oscillation, et ce même à la fin de la phase de contraction, lorsque $R$ revient à zéro.

Enfin, l'analyse des modèles Ruban révèle que le passage de la solution chargée à la solution déchargée $Q = 0$ est une transition discontinue, marquée par une disparition des traversées de coques. Ce phénomène s'apparente à la transition entre les solutions de Reissner–Nordström et Schwarzschild. Le modèle Ruban déchargé présente ainsi une évolution cosmologique intéressante, bien que limitée par la nature de sa singularité temporelle.

Quelles sont les caractéristiques de la représentation de Goode–Wainwright des solutions de Szekeres ?

Les solutions de Szekeres représentent des configurations spatio-temporelles extrêmement complexes, souvent utilisées pour décrire l'univers dans des modèles cosmologiques non homogènes. L'un des aspects les plus intéressants de ces solutions est leur capacité à se modéliser à l'aide de diverses coordonnées, ce qui permet de capturer des comportements très spécifiques du champ gravitationnel. L’introduction de la représentation Goode–Wainwright (G–W) permet de simplifier la description de ces solutions tout en préservant leur richesse géométrique.

Le point de départ de cette représentation est l’expression de la métrique générale donnée par :

ds^2 = dt^2 - S^2 e^{2\nu} dx^2 + dy^2 + H^2 W^2 dz^2,

où $S(t, z)$ est une fonction définie par l’équation

S_{,t} = -k + \frac{2\mathcal{M}}{S},

avec $k = 0, \pm 1$ et $\mathcal{M}(z)$ étant une fonction arbitraire, et $H$ étant défini comme

H = A(x, y, z) - \beta_+ f_+ - \beta_- f_-.

Les fonctions $f_+(t, z)$ et $f_-(t, z)$ sont les solutions linéaires indépendantes de l’équation différentiale qui découle de la dynamique du modèle. L'équation pour $f$ se trouve être :

F_{,tt} + 2 \left( \frac{S_{,t}}{S} \right) F_{,t} - \frac{3\mathcal{M}}{S^3} F = 0.

Les solutions de cette équation dépendent du paramètre $k$ , qui prend les valeurs 0, 1 ou -1. Le rôle de ce paramètre est crucial pour déterminer la géométrie de l’univers dans les différentes sous-familles du modèle. Lorsqu’on considère $k = \pm 1$ , les solutions $f_+(t, z)$ et $f_-(t, z)$ ont des comportements distincts, l’un croissant avec le temps et l’autre décroissant, ce qui est lié aux propriétés dynamiques de la matière et de l’énergie dans le modèle cosmologique.

Dans la représentation de Goode–Wainwright, il existe deux sous-familles principales, distinguées par les conditions sur $\beta_z$ . Lorsque $\beta_z \neq 0$ , la dynamique du modèle est affectée par une interaction supplémentaire qui modifie le champ gravitationnel, tandis que pour $\beta_z = 0$ , le modèle se réduit à un cas plus simple, proche des modèles de Friedmann, mais représenté dans des coordonnées non usuelles. Ces solutions de Friedmann modifiées sont en réalité des transformations de coordonnées de la solution de Friedmann classique.

La représentation de Goode–Wainwright se distingue par sa capacité à traiter de manière uniforme différentes configurations de la métrique et du champ de matière. Elle utilise des variables auxiliaires telles que $a(z), b(z), c(z), d(z)$ , qui sont des fonctions de $z$ , et qui respectent des relations telles que

ad - b^2 - c^2 = \frac{\epsilon}{4},

où $\epsilon = 0, \pm 1$ dépendent du type de courbure spatiale.

Un autre aspect fascinant est la manière dont les solutions aux équations de la dynamique du modèle, à savoir $f_+(t, z)$ et $f_-(t, z)$ , sont liées aux propriétés de la densité de matière $\rho$ dans l'univers modélisé. La densité de matière est donnée par une relation du type :

\kappa \epsilon = \frac{6\mathcal{M}(1 + F/H)}{S^3} \equiv \frac{6\mathcal{M}A}{H S^3}.

Cela montre que la densité de matière peut être influencée par les perturbations dues à la géométrie non homogène de l’espace, et que ces perturbations peuvent avoir un impact sur l’évolution de l’univers, que ce soit dans le cadre de la relativité générale ou de la théorie newtonienne des perturbations.

Enfin, bien que la représentation Goode–Wainwright soit très puissante et permette d'étudier des solutions cosmologiques complexes, elle présente certaines similitudes formelles avec les modèles linéarisés des perturbations de densité dans un cadre de Friedmann. Cependant, ces similitudes sont avant tout formelles, et plusieurs différences essentielles doivent être prises en compte, notamment en ce qui concerne les dynamiques non linéaires et les effets des variations de la courbure de l'espace-temps.

La clé de cette représentation réside donc dans sa capacité à capturer la variété des configurations possibles pour un univers en expansion ou contractant, tout en offrant une vue d'ensemble cohérente des différentes solutions possibles à partir des équations de champ d'Einstein.

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