Comment la compacité faible séquentielle en L¹ assure-t-elle l’existence d’optimaux en théorie de l’utilité exponentielle et de l’entropie relative ?

Le problème d’analyse fonctionnelle posé ici s’inscrit dans le cadre de la théorie de l’utilité exponentielle et de l’entropie relative, où la compacité faible séquentielle joue un rôle fondamental. Le point de départ est l’étude d’un ensemble $D \subset L^1$, convexe et fermé, qui par le théorème H.7 se révèle également faiblement fermé dans $L^1$. La fonctionnelle $F$, définie par $F(\varphi) = \mathbb{E}[\varphi \log \varphi]$, est caractérisée par une structure de type dual via le théorème C.5 : elle se présente comme un supremum de fonctionnelles linéaires continues faibles, ce qui implique sa semi-continuité inférieure faible sur $D$.

Sur le plan probabiliste, ce cadre s’applique à l’étude des mesures $Q$ absolument continues par rapport à une mesure de référence $P$, avec une contrainte sur l’espérance de la variable aléatoire $Y$. L’inégalité fondamentale

où $H(Q|P)$ est l’entropie relative, se connecte à la transformée de Fenchel–Legendre de la fonction convexe $\log Z$. Lorsque $m$ n’appartient pas à la fermeture convexe du support de la mesure image $\mu = P \circ Y^{ -1}$, l’entropie minimale est infinie, ce qui s’explique par l’absence d’une mesure $Q$ réalisant cette contrainte. La théorie des hyperplans séparateurs permet alors de montrer que le supremum Fenchel–Legendre diverge également vers l’infini.

L’application à la théorie de l’utilité repose sur le choix de fonctions utilité $u$ strictement concaves, souvent différentiables, pour lesquelles l’optimisation attendue correspond à la résolution d’un problème convexe dual. Le candidat optimal $X^*$ pour la maximisation de l’espérance d’utilité sous contrainte budgétaire se caractérise alors par une relation entre la dérivée $u'$ et la densité $\varphi$ :

où $c$ est une constante d’ajustement. L’inverse de la dérivée $u'$ fournit alors explicitement la forme optimale $X^* = I(c \varphi)$.

Enfin, dans un cadre appliqué, la connexion entre l’entropie relative et l’utilité exponentielle offre un cadre robuste pour la modélisation des comportements sous incertitude, permettant de décrire les mesures optimales en termes de principes variationnels. Cette approche met en lumière comment la théorie de l’utilité peut s’appuyer sur des constructions fonctionnelles rigoureuses pour définir des stratégies optimales dans des contextes financiers ou statistiques complexes.

Comment représenter les mesures de risque convexes dans un contexte d'incertitude ?

Le concept de mesure de risque, lorsqu'il est appliqué aux fonctions mesurables et aux intégrales non linéaires, se révèle essentiel pour caractériser et évaluer l'acceptabilité du risque en présence de différentes informations. En particulier, l'intégrale de Choquet, utilisée pour mesurer les risques monétaires, fournit une méthode puissante, bien que non linéaire, d'évaluation des pertes. Elle est définie par l'intégrale suivante :

Les mesures de risque cohérentes et convexes, comme dans le cas de l'intégrale de Choquet, sont cruciales dans des contextes où les informations sont incertaines ou incomplètes. Ce type de mesure trouve une application particulièrement utile dans les situations d'incertitude de Knight, où la probabilité d'événements n'est pas nécessairement définie à priori, ce qui rend difficile l'utilisation de mesures probabilistes classiques.

L'approche de la mesure de risque convexes repose sur l'idée de maximiser un certain fonctionnel sur un sous-ensemble $Q$ d'un espace de mesures de probabilité. Plus précisément, une mesure de risque cohérente $\rho$ peut être représentée comme suit :

où $Q$ est un sous-ensemble d'une famille de mesures de probabilité finiment additives. Cette représentation permet de saisir l'idée selon laquelle les risques peuvent être évalués à travers un ensemble de mesures de probabilité, chaque mesure prenant en compte différentes perceptions de l'incertitude.

Lorsque $\rho$ est une mesure de risque convexes, cette représentation peut être généralisée à des fonctionnels convexes qui incluent des pénalités. Ainsi, une mesure de risque convexes peut être formulée de la manière suivante :

où $\alpha$ est une fonction de pénalité, appelée fonction de pénalité minimale. Cette formulation montre qu'une mesure de risque convexes peut être vue comme une version généralisée de la mesure de risque cohérente, intégrant des ajustements selon la mesure de probabilité utilisée.

En termes plus pratiques, cela signifie que pour une fonction de perte $X$, nous pouvons choisir une mesure $Q_X$ dans cet ensemble de mesures additives, de manière à ce que l'évaluation du risque $\rho(X)$ soit compatible avec les observations faites dans des contextes incertains. L'approche par la pénalité permet de mieux gérer cette incertitude en fournissant une estimation plus robuste du risque.

Le fait que la fonction $\alpha(Q)$ soit une fonction de pénalité minimale implique qu'elle définit un seuil au-dessous duquel la mesure de risque ne peut être améliorée, ce qui a des implications profondes dans les théories financières, notamment en ce qui concerne la régulation des risques et la gestion des portefeuilles dans des conditions d'incertitude.

En fin de compte, la compréhension de ces mesures de risque convexes et de leurs représentations robustes offre une nouvelle perspective pour évaluer et gérer les risques dans des environnements d'incertitude. Il est crucial de comprendre que ces approches ne se limitent pas à des simples évaluations probabilistes ; elles permettent d’adopter une approche plus flexible et plus réaliste face à des incertitudes économiques et financières complexes.

Quelle est l'importance de la compacité des ensembles de probabilités dans les mesures de risque convexes ?

Une mesure de risque convexes $\rho$ est dite serrée (tight) si, pour chaque fonction $X$ dans l'espace des variables aléatoires, il existe une suite croissante $K_1 \subseteq K_2 \subseteq \cdots$ de sous-ensembles compacts de $\Omega$ tel que $\rho(\lambda_1 K_n) \to \rho(\lambda)$ lorsque $\lambda \geq 1$. Cela implique que les valeurs de la mesure de risque $\rho$ sont bien contrôlées sur ces ensembles compacts, garantissant ainsi la stabilité des estimations de risque dans des conditions d'incertitude.

Lorsque la mesure de risque est serrée, elle permet une meilleure gestion des incertitudes. Prenons l'exemple où l’on suppose que $X_n$ est une suite croissante de fonctions dans $C_b(\Omega)$, l’espace des fonctions bornées et continues sur $\Omega$, telle que $X_n \to \lambda > 0$. L'idée est d'exploiter la compacité de la mesure de risque pour démontrer que $\rho(X_n) \leq \rho(\lambda) + 2\varepsilon$ à un certain point, où $\varepsilon$ est une petite quantité positive. Cela montre que même dans des contextes complexes, la valeur de la mesure de risque reste contrôlée et stable.

Un autre aspect important est l’étude de la compacité relative des ensembles de probabilités $\Lambda_c$ dans l’espace des mesures de probabilité. Il est possible de démontrer que pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un ensemble compact $K_\varepsilon \subseteq \Omega$ tel que pour tout $c > 0$, l'infimum de $Q[K_\varepsilon]$ est proche de 1 moins un petit terme d’erreur. Ce résultat repose sur des outils de topologie et de convergence des suites, qui permettent d’assurer que les mesures de risque restent fiables même lorsque l'on travaille avec des ensembles de probabilités complexes et non complètement définis.

Ce cadre théorique offre une description complète des propriétés fondamentales des mesures de risque convexes serrées, tout en soulignant leur stabilité dans des espaces complexes. Il est ainsi possible d'identifier les conditions sous lesquelles une mesure de risque peut être représentée de manière précise à l’aide de fonctions de pénalité, et de garantir que les processus de gestion des risques restent fiables, même dans des contextes de grande complexité.

En pratique, ces théories permettent de concevoir des instruments financiers plus robustes et des stratégies de gestion du risque plus efficaces, particulièrement dans des environnements incertains où les ensembles de probabilités peuvent être très vastes et hétérogènes. Les décideurs doivent donc être conscients que, au-delà de la normalisation et de la convexité des mesures de risque, la compacité relative des ensembles de probabilités et la stabilité des mesures jouent un rôle crucial dans la prévision des pertes potentielles et l’évaluation des risques associés.

Comment le principe de réflexion éclaire-t-il la distribution des marches aléatoires et le prix des options exotiques ?

Le principe de réflexion joue un rôle fondamental dans l’analyse des marches aléatoires simples, notamment dans le contexte des modèles binomiaux en finance. Considérons un processus aléatoire $Z_T$ représentant la position finale d’une marche simple après $T$ étapes, et $M_T$ son maximum atteint jusqu’au temps $T$. L’ensemble $A_{k,l}$, formé des trajectoires $\omega$ telles que $Z_T(\omega) = k - l$ avec un maximum $M_T \geq k$, est mis en bijection par une application $\varphi$ avec l’ensemble $\{ M_T \geq k, Z_T = k + l \}$, lequel, sous l’hypothèse $l \geq 0$, coïncide avec $\{ Z_T = k + l \}$. Cette bijection induit l’égalité des probabilités attribuées à ces deux ensembles par la mesure uniforme, et conduit ainsi à une première formule essentielle.

exprime la distribution du maximum en fonction de celle de la position finale. De même,

relie la probabilité d’atteindre un maximum exact $k$ aux probabilités des positions finales $k$ et $k+1$.

Cette extension est appliquée dans le calcul des prix d’options exotiques telles que les options à barrière. Par exemple, le prix d’une option « up-and-in call » dépend non seulement de la distribution terminale du sous-jacent mais aussi du passage du prix au-dessus d’une barrière $B$. Le principe de réflexion, adapté à la mesure martingale $P^*$, permet d’exprimer explicitement ce prix comme une combinaison d’espérances conditionnelles sur des événements liés à la marche $Z_T$ et à son maximum $M_T$. De même, les options « up-and-out » s’obtiennent par complémentarité en soustrayant le prix de l’option « up-and-in » du prix de l’option vanille correspondante.

Au-delà des résultats techniques, il est essentiel de saisir que le principe de réflexion établit un lien profond entre le comportement extrême d’un processus stochastique (comme le maximum atteint) et sa position finale, sous diverses mesures probabilistes. Cette dualité est au cœur de nombreuses méthodes d’évaluation en finance quantitative. La possibilité d’adapter ce principe à des mesures déformées (martingale) garantit la pertinence des calculs dans un cadre économique réaliste, intégrant la notion de prix neutre au risque.

Enfin, la compréhension de ce principe éclaire aussi la manière dont les options à barrière et lookback capturent des informations sur le chemin du prix, et non seulement sur sa valeur terminale. Cela souligne l’importance d’une approche path-dependent dans la modélisation des dérivés exotiques, renforçant la nécessité d’outils probabilistes sophistiqués tels que le principe de réflexion et ses généralisations.