Comment résoudre les problèmes de conditions aux limites pour les équations dynamiques fractionnaires de Caputo sur les échelles de temps ?

Les équations dynamiques fractionnaires de Caputo, en particulier dans le contexte des échelles de temps, représentent un domaine d'étude complexe mais essentiel pour modéliser des phénomènes avec mémoire et effets retardés. Elles se distinguent des équations classiques par l'introduction d'un opérateur de dérivée fractionnaire, qui permet de mieux capturer des dynamiques non linéaires, souvent observées dans des systèmes réels. Dans cette section, nous nous concentrerons sur la résolution de problèmes de conditions aux limites pour les équations dynamiques fractionnaires de Caputo, en particulier en utilisant des espaces fonctionnels adaptés aux échelles de temps.

Considérons une échelle de temps TT avec un opérateur de saut avant σ\sigma et un opérateur de différenciation delta Δ\Delta. Supposons que nous avons deux points aa et b∈Tb \in T, avec a<ba < b, et une suite de points a=c0<c1<⋯<cm<cm+1=σ(b)a = c_0 < c_1 < \dots < c_m < c_{m+1} = \sigma(b). L'objectif est de résoudre une équation dynamique fractionnaire sur l'intervalle [a,σ(b)][a, \sigma(b)], soumise à des conditions aux limites de type Caputo.

L'équation de départ est la suivante :

CDΔ,aαy(t)=f(t,y(t)),t∈[a,σ(b)],C D^\alpha_{\Delta, a} y(t) = f(t, y(t)), \quad t \in [a, \sigma(b)],

avec des conditions aux limites de la forme :

a1y(a)+a2y(σ(b))=0,a_1 y(a) + a_2 y(\sigma(b)) = 0,

où f:[a,σ(b)]×R→Rf : [a, \sigma(b)] \times \mathbb{R} \to \mathbb{R} est une fonction continue et f(⋅,y)∈ACΔ([a,σ(b)])f(\cdot, y) \in AC_\Delta([a, \sigma(b)]) pour chaque y∈Ry \in \mathbb{R}. Ici, ACΔ([a,σ(b)])AC_\Delta([a, \sigma(b)]) désigne l'ensemble des fonctions absolument continues à droite sur l'intervalle [a,σ(b)][a, \sigma(b)].

Pour résoudre ce problème, nous cherchons une représentation intégrale de la solution. Supposons que y∈ACΔ1([a,σ(b)])y \in AC^1_\Delta([a, \sigma(b)]). La solution à l'équation dynamique fractionnaire (3.1) avec les conditions aux limites (3.2) est équivalente à l'équation intégrale suivante :

y(t)=−∫aσ(b)hα−1(t,σ(s))f(s,y(s))Δs+∫athα−1(t,σ(s))f(s,y(s))Δs,y(t) = - \int_a^{\sigma(b)} h_{\alpha-1}(t, \sigma(s)) f(s, y(s)) \Delta s + \int_a^t h_{\alpha-1}(t, \sigma(s)) f(s, y(s)) \Delta s,

où hα−1(t,σ(s))h_{\alpha-1}(t, \sigma(s)) représente une fonction liée à la dérivée fractionnaire Caputo de y(t)y(t). Cette représentation fournit une méthode explicite pour calculer la solution du problème de conditions aux limites en termes d'intégrales.

L'analytique des solutions à ce type de problème devient complexe mais offre une richesse particulière dans la résolution de modèles dynamiques complexes. Une condition essentielle pour la garantie de l'existence et de l'unicité de la solution est la condition de Lipschitzianité sur ff, ce qui est formulé comme suit :

∣f(t,z1)−f(t,z2)∣≤A1∣z1−z2∣,t∈[a,σ(b)],z1,z2∈R,|f(t, z_1) - f(t, z_2)| \leq A_1 |z_1 - z_2|, \quad t \in [a, \sigma(b)], \quad z_1, z_2 \in \mathbb{R},

avec A1A_1 un constant positif. Cette condition, combinée avec une contrainte supplémentaire sur la fonction ff, garantit que le problème admet une solution unique.

Un aspect essentiel de la résolution de ce type de problème est la convergence de la méthode d'itération de la suite de solutions approximatives. En définissant une suite de solutions approximatives {yl}l∈N\{y_l\}_{l \in \mathbb{N}}, on montre que cette suite converge uniformément vers la solution exacte du problème. De plus, la convergence uniforme peut être démontrée en utilisant des estimations sur la différence entre les termes successifs de la suite, permettant ainsi de valider la solution obtenue.

Il est également pertinent de noter que des applications spécifiques de cette théorie peuvent être faites à des problèmes pratiques où les effets de mémoire ou de retard sont présents. Cela inclut des modèles de population, des modèles financiers ou encore des systèmes mécaniques où les comportements passés influencent le comportement futur. L'utilisation d'échelles de temps et des dérivées fractionnaires Caputo permet d'obtenir des modèles plus précis que ceux décrits par les équations différentielles classiques, en particulier lorsque le système étudié est gouverné par des processus non linéaires et complexes.

La résolution des problèmes de conditions aux limites sur les échelles de temps reste un domaine d'une grande richesse théorique et pratique. L'extension des résultats à d'autres types d'opérateurs fractionnaires, comme les opérateurs de Riemann-Liouville ou d'autres formulations sur les échelles de temps, est une direction de recherche active, avec des applications potentielles dans de nombreux domaines scientifiques.

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