Comment la représentation de von Neumann-Morgenstern s'applique-t-elle aux préférences sur les mesures de probabilité ?

Une manière d’obtenir une représentation de von Neumann-Morgenstern est d’assumer des propriétés supplémentaires de continuité sur $\succ$, où la continuité est entendue dans le sens de la Définition 2.8. Comme cela a été souligné précédemment, l’axiome d’Archimède est automatiquement satisfait si la prise de combinaisons convexes est continue par rapport à la topologie sur $M$. C’est le cas pour la topologie faible sur l’ensemble $M_1(S,S)$ des mesures de probabilité sur un espace métrique séparable $S$, muni de la $\sigma$-algbra $S$ des ensembles de Borel. Nous considérerons l’espace $S$ comme étant fixé et écrirons simplement $M_1(S) = M_1(S,S)$ pour le reste de cette section.

La démonstration repose sur le fait que si $\succ$ est continue, alors l'axiome d'Archimède est satisfait, ce qui permet d’appliquer le Corollaire 2.22 pour que la relation de préférence restreinte à $M_s$, l’ensemble des distributions de probabilité simples sur $S$, possède une représentation de von Neumann-Morgenstern. Cela nous amène à considérer des fonctions $u$ bornées. Par exemple, si $u$ n’est pas bornée, alors il existe une séquence $x_0, x_1, \dots$ dans $S$ telle que $u(x_0) < u(x_1)$ et $u(x_n) > n$. Cette situation conduit à une contradiction avec la continuité de $\succ$. Si, en revanche, $u$ est continue, cela permet à la fonction $U(\mu)$ de définir une représentation numérique de $\succ$ sur l’ensemble $M$, et $U$ devient continue par rapport à la topologie faible sur $M$.

Dans un premier approche, nous fixons un point $x_0 \in S$ et notons par $B_r(x_0)$ la boule métrique fermée de rayon $r$ autour de $x_0$. L’espace des mesures à support borné sur $S$ est donné par $M_b(S) := \bigcup_{r>0} M_1(B_r(x_0))$, soit l'ensemble des mesures $\mu \in M_1(S)$ telles que $\mu(B_r(x_0)) = 1$ pour un certain $r \geq 0$. Cette définition ne dépend pas du choix particulier de $x_0$. Le Corollaire 2.28 affirme que si $\succ$ est une relation de préférence sur $M_b(S)$, dont la restriction à chaque sous-espace $M_1(B_r(x_0))$ est continue par rapport à la topologie faible, alors il existe une représentation de von Neumann-Morgenstern $U(\mu) = \int u(x) \mu(dx)$ avec une fonction $u : S \rightarrow \mathbb{R}$ continue. De plus, $U$ et $u$ sont uniques à une transformation affine près.

Le théorème 2.29 étend ainsi la représentation de von Neumann-Morgenstern à un cadre où $\psi$ est une fonction non bornée. Il affirme que si $\succ$ est une relation de préférence continue dans cette topologie $\psi$-faible et satisfait l’axiome d’indépendance, alors il existe une représentation numérique de von Neumann-Morgenstern sous la forme $U(\mu) = \int u(x) \mu(dx)$ avec une fonction $u \in C_\psi(S)$. Encore une fois, $U$ et $u$ sont uniques à une transformation affine près.

La démonstration repose sur le fait que, pour chaque point $\mu_{\psi} \in U \cap M_1(S)$, il existe un voisinage $U_{\epsilon}(\mu; f_1, \dots, f_n) \subset U$, et que $U_{\epsilon}(\mu; f_1, \dots, f_n) \cap M_1(S)$ est un voisinage ouvert de $\mu$ dans la topologie ψ-faible. Cela montre que les ensembles ouverts dans la topologie relative $\sigma(E, C_{\psi}(S))$ sont également ouverts dans la topologie ψ-faible et vice versa, ce qui conclut l'égalité des topologies.

Dans un contexte plus général, le théorème de séparation de Hahn-Banach peut être appliqué dans ce cadre, ce qui permet de caractériser des sous-espaces fermés et convexes dans les espaces produits $E_2$, en montrant par exemple que les ensembles convexes fermés de type $H_{\Lambda}$ dans $E_2$ peuvent être décrits par des projections sur $M_1(S)$.

Un point essentiel à retenir est que ces constructions ne se limitent pas à des dimensions spécifiques ou à des espaces de probabilité simples. Les outils comme les topologies ψ-faibles et les projections jouent un rôle crucial dans l’analyse de la convergence de suites de mesures et dans la construction de modèles probabilistes en dimension quelconque. Ces théories sont à la base de nombreuses applications en économie, statistique, et théorie des probabilités, où la stabilité des distributions marginales et les relations entre elles sont essentielles pour les modèles de décisions et d'incertitude.

Comment optimiser l'utilité espérée dans des modèles financiers sous contraintes de dominance stochastique

L'optimisation de l'utilité espérée est un concept fondamental dans la théorie financière moderne, particulièrement dans les modèles où l'incertitude joue un rôle majeur. Dans le cadre d'un portefeuille d'actifs, on cherche à déterminer un profil d'investissement qui maximise l'utilité espérée d'un investisseur. Le modèle de base repose sur une fonction d'utilité, souvent choisie pour refléter les préférences de l'investisseur face au risque. L'idée est d'optimiser cette fonction sous diverses contraintes et formes de dominance stochastique, en tenant compte des caractéristiques spécifiques des actifs.

Prenons une fonction d'utilité $u(X)$ qui représente la satisfaction d'un investisseur en fonction de son portefeuille $X$. Si $X^*$ est une solution optimale, cela signifie que la fonction d'utilité est maximisée pour ce portefeuille parmi tous les portefeuilles $X$ appartenant à un certain ensemble $B$, c'est-à-dire $E[u(X^*)] \geq E[u(X)]$ pour tout $X \in B$. Un tel portefeuille est optimal en termes d'utilité espérée, sous l'hypothèse que les préférences de l'investisseur sont décrites par une fonction d'utilité bien définie. L'optimisation de l'utilité implique aussi souvent une maximisation sous des contraintes supplémentaires, telles que celles relatives à la dominance stochastique.

Ce même cadre théorique s'étend aux fonctions d'utilité HARA (Hyperbolic Absolute Risk Aversion), qui sont couramment utilisées dans les applications pratiques. Si $u(x) = x^{\gamma - 1}$, alors on observe que le profil optimal $X^*$ peut être obtenu de manière similaire en prenant en compte la distribution des actifs sous la mesure $P^*$. L'utilité maximale dépendra alors de l'espérance de la fonction d'utilité et du comportement de la fonction dans des contextes spécifiques.

L'extension de ce modèle vers la dominance stochastique implique de considérer des positions financières sous des contraintes supplémentaires, comme la dominance stochastique de second ordre (≽icv). Ce type de dominance impose qu'un actif $X$ soit au moins aussi attractif qu'un autre $X_0$ en termes d'utilité, c'est-à-dire que pour tout $u$, $E[u(X)] \geq E[u(X_0)]$. Cette relation, qui est une forme d'ordre partiel, peut être utilisée pour établir des stratégies d'investissement plus robustes, notamment dans les modèles de portefeuille où le but est de minimiser les coûts tout en respectant ces contraintes de dominance.

Les travaux sur ce sujet montrent aussi que l'optimisation de l'utilité espérée peut, dans certains cas, conduire à une demande pour des produits dérivés complexes, tels que des options sur paniers d'actifs, ce qui permet de mieux gérer les risques associés à l'incertitude des marchés financiers. Ainsi, la recherche sur les profils optimaux sous contraintes de dominance stochastique ouvre la voie à des stratégies plus fines et adaptées à des préférences d'investisseurs divers, tout en mettant en lumière l'importance de la gestion des risques dans la construction de portefeuilles.

En conclusion, l'optimisation de l'utilité dans un environnement incertain, avec des préférences stochastiques et sous des contraintes de dominance, nécessite une approche approfondie et souvent théorique pour modéliser et résoudre les problèmes financiers. Cela implique non seulement de comprendre les fonctions d'utilité et les distributions des actifs, mais aussi de savoir comment gérer les risques de manière optimale pour atteindre l'objectif d'utilité maximale.