Quels sont les facteurs invariants et les diviseurs élémentaires des modules finis générés sur un PID ?

Supposons que $(1) \neq \text{ann} \, z_1 \supseteq \text{ann} \, z_2 \supseteq \cdots \supseteq \text{ann} \, z_s \neq (1)$, et que $(0) \neq \text{ann} \, w_1 \supseteq \text{ann} \, w_2 \supseteq \cdots \supseteq \text{ann} \, w_t \neq (0)$. Dans ce cas, on peut conclure que $s = t$ et que $\text{ann} \, z_i = \text{ann} \, w_i$ pour tout $i$. Cette observation est cruciale dans le cadre des décompositions primaires des modules sur un PID.

Prenons un exemple pratique pour mieux comprendre : considérons $M = \mathbb{Z}_{12} \oplus \mathbb{Z}_{20} \oplus \mathbb{Z}_2$ comme un module sur $\mathbb{Z}$. Le sous-module de torsion de $M$, noté $\text{tor}(M)$, est $\mathbb{Z}_{12} \oplus \mathbb{Z}_{20}$, et le rang libre de $M$ est de 2. En appliquant le théorème chinois des restes (CRT), on peut exprimer le sous-module de torsion de $M$ sous forme directe d’un module libre sur $\mathbb{Z}$. En décomposant à l’aide du CRT, on obtient que les diviseurs élémentaires de $M$ sont 4, 4, 3, et 60, tandis que les facteurs invariants de $M$ sont 4 et 60.

Dans un autre contexte, si l’on considère le module $M$ sur un anneau $D = R[\lambda]$, où $R$ est un corps, et où $M$ est une somme directe de modules cycliques, chaque idéal d’ordre est généré par des polynômes de degrés spécifiques, comme $(\lambda - 1)^3$, $(\lambda - 1)(\lambda^2 + 1)^4$, et ainsi de suite. En appliquant à nouveau le CRT, on peut déterminer les diviseurs élémentaires de $M$ et en déduire les facteurs invariants. Il est important de noter que dans ce cas, les facteurs invariants et les diviseurs élémentaires sont indépendants du corps $R$, ce qui est démontré par la version complexe de cet exemple, où $D$ est changé en $C[\lambda]$.

Le théorème de l'invariance joue un rôle clé en prouvant que les facteurs invariants d’un module fini généré sur un PID sont uniques, et leur décomposition est indépendante de la décomposition choisie. En d'autres termes, deux modules finis générés sur un PID sont isomorphes si et seulement si ils ont le même rang libre et les mêmes idéaux de facteurs invariants, ou les mêmes idéaux de diviseurs élémentaires. Cela peut être vu comme une généralisation des théorèmes classiques sur les groupes abéliens finis.

Il est également important de comprendre que cette approche se généralise à tout module fini sur un anneau principal intégral différentiel (PID). Les modules finis sur un PID sont en effet des objets qui peuvent être décomposés en une somme directe de sous-modules, et cette décomposition peut toujours être exprimée de manière unique en termes de diviseurs élémentaires ou de facteurs invariants, ce qui permet de résoudre des problèmes complexes de classification des modules, notamment dans le cadre des groupes abéliens finis.

La compréhension de ces théorèmes ouvre également la voie à des applications dans des domaines variés, comme la théorie des nombres, où des résultats similaires peuvent être appliqués à la structure des groupes abéliens finis et à leurs décompositions en facteurs premiers. Il est également essentiel de remarquer que les invariants dans ces décompositions sont uniques et permettent de caractériser complètement la structure d’un module, ce qui est un point crucial pour l’étude des groupes abéliens et des modules finis générés.

Qu'est-ce que la forme canonique rationnelle et comment elle structure les modules ?

Considérons un endomorphisme linéaire $T : V \to V$ agissant sur un espace vectoriel $V$ de dimension finie. En associant à cet endomorphisme une matrice $A$ dans $M_n(F)$, où $n$ est la dimension de $V$, on peut obtenir des informations profondes sur la structure de $V$ à travers les propriétés du polynôme caractéristique de $A$ et du polynôme minimal de $T$.

La décomposition en sous-espaces invariants

Un des résultats importants est que chaque sous-espace invariant de $V$ est aussi un sous-module de $F[\lambda]$, le module associé à $T$. Cela découle du fait que si $W$ est invariant sous $T$, alors $T(w) = \lambda w$ pour tout vecteur $w \in W$, ce qui signifie que $W$ est un sous-espace $F[\lambda]$-module.

Forme canonique rationnelle et module cyclique

Ainsi, la structure de l'espace $V$ peut être vue comme une somme directe de ces modules cycliques, ce qui permet de mieux comprendre l'action de $T$. Chaque module cyclique est associé à une matrice appelée matrice compagnon du polynôme minimal $d(\lambda)$, qui joue un rôle central dans la représentation de $T$.

La forme canonique rationnelle d'un endomorphisme

Le théorème de Cayley-Hamilton, qui stipule que le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique, est crucial pour comprendre les relations entre les polynômes caractéristiques et minimaux dans ce contexte. En particulier, il montre que le polynôme minimal est toujours un diviseur du polynôme caractéristique, et que les deux partagent les mêmes facteurs premiers.

Conclusion

La forme canonique rationnelle est un outil puissant pour comprendre la structure des espaces vectoriels et des endomorphismes linéaires. Elle permet de simplifier l'étude de ces objets en décomposant l'espace en sous-espaces invariants, chacun étant associé à un module cyclique. En analysant la matrice compagnon associée à chaque module cyclique, on obtient une description claire de l'action de l'endomorphisme sur l'espace.

Il est essentiel de noter que cette analyse ne dépend pas du choix de la base, mais seulement de la structure de l'endomorphisme. La capacité à décomposer un espace vectoriel en sous-espaces invariants et à utiliser les matrices compagnons pour chaque composant permet de comprendre l'endomorphisme de manière plus simple et plus intuitive. La forme canonique rationnelle offre ainsi un cadre pour l'étude des modules et des endomorphismes linéaires sur des espaces vectoriels de dimension finie.