Comment les cartes simpliciales entre graphes peuvent-elles être approximées par des plongements dans des surfaces orientées ?

Lorsqu'on étudie les cartes simpliciales entre graphes, il est essentiel de comprendre comment ces cartes peuvent être approchées par des plongements. Une carte simpliciale $f : G \to H$ entre deux graphes $G$ et $H$ peut être vue comme une transformation de $G$ dans $H$, respectant les structures de connectivité des graphes. Mais l'intérêt ne réside pas uniquement dans la carte elle-même : il s'agit aussi de savoir si cette carte peut être approximée par un plongement dans une surface orientée, et sous quelles conditions cela est possible.

Une carte simpliciale peut être qualifiée de Z2-approximable si, pour chaque paire d'arêtes non adjacentes $e$ et $g$ dans $G$, l'intersection de leurs images sous l'approximation $j$ est finie et contient un nombre pair de points. Cette notion d'approximation $Z2$-approchable est cruciale pour déterminer si une carte peut être approximée par un plongement dans une surface orientée. En effet, une carte qui est $Z2$-approchable peut, sous certaines conditions, être représentée par un plongement dans un espace plus large, comme une surface orientée.

Il existe une version spécifique de ce théorème pour les cartes simpliciales provenant des arbres vers des segments. Ce cas particulier, lorsqu'on applique l'approximation $Z2$, permet de relier la stabilité des cartes aux plongements. La stabilité, dans ce contexte, renvoie à la capacité de la carte à conserver une structure similaire lorsqu'elle est approximée ou transformée sous des conditions géométriques strictes. Une carte stable, par exemple, reste valide dans son approximation, ce qui la rend plus facile à analyser par rapport à des cartes non stables.

Dans la pratique, cela implique une série d'étapes complexes. Tout d'abord, il faut définir un complexe bidimensionnel à partir du graphe $G$, puis appliquer des transformations géométriques pour simuler les approximations de $f$. Ensuite, en étudiant les intersections des images des arêtes de $G$ sous l'approximation $j$, on peut déterminer si un plongement est possible. Cette analyse est facilitée par la définition de certaines classes de cohomologie, comme la classe $v_f$, qui donne une mesure de l'existence de l'obstruction à un lifting.

En fin de compte, le processus de détermination de la possibilité d'un lifting ou d'une approximation par plongement repose sur une interaction complexe entre la topologie, la géométrie des graphes, et les propriétés algébriques de ces graphes. Les théorèmes étudiés ici montrent qu'une bonne compréhension de ces outils peut conduire à des résultats puissants sur les cartes simpliciales entre graphes, en particulier lorsque les graphes sont liés à des structures géométriques comme les surfaces orientées.

Comment les liens Brunniens hyperboliques et leur volume sont liés aux polyèdres idéalement à angles droits

Les liens Brunniens ont une propriété remarquable : bien que non triviaux, chaque sous-lien propre d'un lien Brunnien est trivial. Cette caractéristique fascinante a attiré l'attention de nombreux chercheurs, dont Milnor, qui les a appelés "presque triviaux", et Debrunner, qui a donné leur nom en hommage à Hermann Brunn, un pionnier de la théorie des nœuds. Un exemple emblématique de lien Brunnien est le lien à trois composants, mieux connu sous le nom d'anneaux Borroméens. Ce lien, ainsi que d'autres plus complexes, présente des propriétés hyperboliques intéressantes et joue un rôle important dans l'étude de la géométrie des 3-variétés.

Dans cette étude, nous nous intéressons à une famille infinie de liens Brunniens à n composants, où chaque lien est défini par des paramètres entiers positifs $Br(k_1, \dots, k_n)$. Cette famille généralise les constructions de Debrunner de 1964, et nous analysons les invariants hyperboliques associés à leurs compléments. L'idée est de comprendre comment la géométrie hyperbolique de ces 3-variétés, qui résultent des compléments de ces liens Brunniens, peut être utilisée pour obtenir des bornes supérieures pour leurs volumes.

Dans cette approche, les décompositions des compléments de liens pleinement augmentés en paires de polyèdres idéaux à angles droits sont essentielles. Grâce à la méthode de remplissage de Dehn sur des manifolds à bords cuspidaux, il est possible de calculer des bornes supérieures pour le volume des liens Brunniens hyperboliques. Les liens de type $Br(k_1, \dots, k_n)$, obtenus par ces remplissages, jouent un rôle crucial dans cette analyse.

Enfin, il est important de noter que la géométrie hyperbolique des liens Brunniens et de leurs compléments offre une fenêtre fascinante sur les propriétés géométriques et topologiques des 3-variétés. L'utilisation des invariants de type Casson-Walker, des torsions de Reidemeister, et des techniques de chirurgie géométrique permet d'approfondir la compréhension des liens hyperboliques et d'enrichir le cadre théorique de la topologie des nœuds et des liens.

La géométrie hyperbolique des liens Brunnien et leurs volumes

Le lien $S^3 \setminus K = 3H/G$ est hyperbolique, où $3H$ est l'espace hyperbolique tridimensionnel et $G$ est un groupe discret sans torsion d'isométries, isomorphe à $\pi_1(S^3 \setminus K)$. Pour $n \geq 2$, on note un lien avec $3n + 2$ composants par $L_n$, où chaque composant est un cercle et les composants sont entrelacés de la même manière que montré dans la figure 21.1 pour le cas $n = 3$. L’utilisation du programme informatique SnapPy permet de montrer que le lien à 8 composants, $L_2$, est hyperbolique et a un volume $\text{vol}(S^3 \setminus L_2) = 24.092184$, arrondi à six chiffres. Afin de démontrer l'hyperbolicité de $L_n$ pour tout $n \geq 2$, et de trouver la formule de volume pour $S^3 \setminus L_n$, nous utiliserons l'approche de Lackenby, qui a été reprise par Futer et Purcell.

Le polyèdre $P_n$ est un polyèdre idéal à angles droits avec $6n$ sommets, dont $2n$ sommets rouges correspondent aux nœuds papillons et $4n$ sommets noirs apparaissent après la compression des arêtes noires. De plus, $P_n$ possède deux faces $2n$-gones en haut et en bas, $2n$ triangles incident au sommet, $2n$ triangles incident à la base, et $4n$ quadrilatères au niveau intermédiaire. En coupant $P_n$ le long de la ligne médiane passant par les quadrilatères, nous pouvons décomposer $P_n$ en deux antiprismes idéaux à angles droits $A_{2n}$. L'anticisme $A_n$ possède $2n + 2$ faces, dont deux faces $n$-gones peuvent être considérées comme le sommet et la base, et $2n$ faces triangulaires sur la surface latérale, comme l'illustre la figure 21.4 pour l'anticisme $A_4$.

Les théorèmes de Lackenby et Adams permettent ensuite de démontrer que pour chaque $n \geq 2$, le volume du complémentaire $S^3 \setminus L_n$ peut être calculé à partir des volumes des antiprismes idéaux, ce qui mène à la formule suivante :

L'Adams move permet de remplacer une partie de la projection d'un lien hyperbolique et de prouver que le lien modifié $L'_n$ avec $3n$ composants a le même volume. Ce résultat est également appliqué à la famille de liens Brunnien, pour lesquels la vérification de leur hyperbolicité a été effectuée par Bai. Les liens de type Brunnien, par définition, possèdent une topologie complexe qui empêche leur décomposition en liens simples, et leur volume est calculé à l’aide de la formule de volume adaptée.

Comment résoudre les configurations de singularités dans la théorie des difféomorphismes

Dans le cadre des difféomorphismes de la sphère 3, une des configurations les plus complexes que l'on rencontre est celle des points de contact de type "selle-centre-selle" et "min-selle-min", qui jouent un rôle crucial dans l'analyse des singularités. Cette étude, influencée par la théorie de Morse et les méthodes d'isotopies, nous permet de comprendre la structure de ces singularités et leur évolution dans des espaces tridimensionnels.

En commençant par la configuration "selle-centre-selle", la structure de base implique trois points de contact sur la même feuille L d'une foliation. Le centre, qui peut être un minimum, est entouré de deux selles, sL et s′L. La relation entre ces points est régie par une ligne de gradient de la fonction f qui connecte le minimum à chaque selle. Le comportement de ces points de contact dépend de la manière dont les feuilles de la foliation croisent les arcs de contact en des points spécifiques, ce qui permet de définir des isotopies locales autour de chaque configuration. Ces transitions, qui se font dans l’espace des paramètres de déformation, sont au cœur des concepts de bifurcation et d’évolution des singularités.

L’introduction de l’idée de "suspension", qui consiste à ajouter une variable supplémentaire à la fonction f pour garantir que certaines configurations restent régulières, est essentielle. Cette extension permet de manipuler les singularités en ajoutant une composante quadratique dans les cas où des points de contact sont proches, et de garantir ainsi l’existence d’une isotopie qui préserve la structure de la foliation tout en résolvant les points de contact problématiques. Dans le cas de la configuration "selle-centre-selle", un ajustement par suspension offre une solution systématique pour modifier le lieu de contact en l’adaptant aux nouvelles conditions imposées par les gradients de f.

Dans le cadre de l’étude des difféomorphismes de la sphère 3, il est crucial de comprendre que ces transformations ne sont pas simplement des manipulations abstraites, mais ont des implications profondes sur la dynamique des systèmes étudiés. La manière dont les singularités interagissent, se fusionnent ou se séparent influence la structure globale de l’espace et les propriétés des solutions aux équations différentielles associées.

Ainsi, l’analyse des isotopies et des transformations de singularités n’est pas seulement une question de manipulation géométrique, mais une exploration des mécanismes sous-jacents qui régissent le comportement des systèmes dynamiques. Ces concepts trouvent leur application dans des domaines aussi variés que la topologie des variétés, la théorie des singularités et la mécanique des fluides, où la compréhension de la structure des singularités est essentielle pour prédire le comportement à grande échelle des systèmes étudiés.

Les processus de déformation et d'isotopie abordés dans ce contexte sont des outils puissants pour l’analyse des systèmes dynamiques. Ils permettent non seulement de simplifier des configurations complexes, mais aussi d’obtenir des informations cruciales sur la structure topologique et géométrique des espaces concernés. Ces méthodes sont d’une grande utilité dans la résolution de problèmes liés aux flux et aux variétés de dimension supérieure, où les interactions entre les singularités déterminent souvent le comportement à long terme du système.

Comment les Lagrangiens Monotones en Haute Dimension Déterminent-ils la Topologie des Variétés Symplectiques ?

Un sous-variété lagrangienne $L_n$ dans une variété symplectique $(X, \omega)$ est un sous-ensemble de dimension maximale sur lequel la forme symplectique $\omega$ s'annule. Cela signifie qu'il existe une relation profonde entre la géométrie symplectique et la topologie des sous-variétés lagrangiennes. Les résultats de la présente étude se concentrent sur les propriétés topologiques des lagrangiens fermés, en particulier dans les dimensions élevées et sous certaines hypothèses géométriques et topologiques.

Un cas particulièrement intéressant est celui des lagrangiens dits "monotones". Un lagrangien est dit monotone si la forme symplectique sur son espace ambient induit une relation linéaire entre les classes d'homotopie des courbes fermées et la masse de l'homotopie, impliquant une structure spécifique sur les homologies de Floer. Ces sous-variétés possèdent des propriétés topologiques remarquables qui permettent de formuler des conjectures sur leur classification et leur structure.

Un lagrangien est dit "déplaçable" si l'on peut le déplacer à travers une isotopie hamiltonienne, c'est-à-dire une transformation continue dans l'espace symplectique qui préserve la structure symplectique tout en déplaçant progressivement $L$ jusqu'à ce qu'il n'intersecte plus lui-même. Un exemple classique de ce phénomène se trouve dans les variétés de type $\mathbb{C} \times T^*M$, où les variations de $L$ permettent de satisfaire cette condition de déplaçabilité.

Cependant, pour aller plus loin, il faut considérer des variétés lagrangiennes dans des dimensions supérieures et en particulier dans $\mathbb{C}^n$, où la conjecture postulant qu'elles seraient les fibres totales de fibrations sur le cercle doit être étendue à des situations plus générales. Cette conjecture implique que tout lagrangien monotone fermé et orientable dans $\mathbb{C}^n$, sous des conditions de non-torsion sur l'homologie de son premier groupe $H_1(L, \mathbb{Z})$, peut être représenté comme une fibration au-dessus du cercle.

L'un des principaux résultats ici est que le nombre de Maslov $N_L$ est déterminé par la classe de Chern $c_1$ de l'objet. Ce lien étroit entre les propriétés topologiques et géométriques offre un cadre puissant pour classer et étudier la topologie des lagrangiens monotones, en particulier pour des dimensions plus élevées. Ainsi, les conjectures formulées dans ce travail permettent d'approfondir la compréhension des lagrangiens fermés et de leurs propriétés en symplectique, tout en ouvrant la voie à des résultats potentiellement plus généraux pour des variétés symplectiques complexes.