L'axiome de compréhension, qui assure l'existence de l'ensemble M:={x∣x est un ensemble∧x∉x}M := \{ x \mid x \text{ est un ensemble} \land x \notin x \}, conduit directement à une contradiction manifeste : M∈M  ⟺  M∉MM \in M \iff M \notin M. Ce paradoxe, dit de Russell, a profondément ébranlé les fondements de la théorie des ensembles. Une analyse plus approfondie a révélé que ces contradictions ne surviennent que lorsqu'on manipule des collections « trop grandes ». Pour éviter ce type d’antinomie, il convient de distinguer deux types d’ensembles : les classes et les ensembles propres. Les ensembles sont des classes « petites » qui peuvent être décrites par un système d’axiomes. Ainsi, l’axiome de compréhension s’exprime dorénavant : pour chaque propriété EE définie sur des ensembles, la classe ME:={x∣x est un ensemble∧E(x)}M_E := \{ x \mid x \text{ est un ensemble} \land E(x) \} existe. En particulier, M={x∣x est un ensemble∧x∉x}M = \{ x \mid x \text{ est un ensemble} \land x \notin x \} est une classe, mais non un ensemble, ce qui évite la contradiction. Pour que cela fonctionne, un axiome supplémentaire garantit que pour tout ensemble XX et propriété EE, l’ensemble {x∈X∣E(x)}\{ x \in X \mid E(x) \} est bien un ensemble. Cette distinction s’incarne notamment dans le système d’axiomes von Neumann-Bernays-Gödel (NBG), où le concept de classe est central, mais elle peut aussi être contournée dans d’autres systèmes, comme la théorie de Zermelo-Fraenkel avec l’axiome du choix (ZFC), équivalents en puissance démonstrative.

La construction des nombres naturels dans ce cadre axiomatique repose sur l’axiome d’infinité, qui garantit l’existence d’un ensemble inductif : un ensemble NN contenant le vide ∅\emptyset et stable par l’application ν(z):=z∪{z}\nu(z) := z \cup \{ z \}. L’ensemble N:={m∣m est inductif}N := \{ m \mid m \text{ est inductif} \} lui-même est inductif et muni de 0:=∅0 := \emptyset et de la fonction ν\nu, satisfait les axiomes de Peano. Cela confère aux nombres naturels une structure unique à isomorphisme près, c’est-à-dire qu’il existe un unique modèle fondé sur ces axiomes, ce qui légitime pleinement l’usage des nombres naturels comme objets mathématiques fondamentaux.

À partir de ces axiomes, on peut définir rigoureusement les opérations arithmétiques usuelles sur NN : addition, multiplication, ainsi qu’un ordre total partiel. L’addition est définie par récurrence en posant n+0=nn + 0 = n et n+ν(m)=ν(n+m)n + \nu(m) = \nu(n + m), et satisfait naturellement les propriétés d’associativité, de commutativité et d’existence d’un élément neutre 00. De même, la multiplication est associative, commutative, possède un élément neutre 1:=ν(0)1 := \nu(0), et vérifie la distributivité par rapport à l’addition. L’ordre total ≤\leq sur NN est compatible avec ces opérations et permet de définir rigoureusement les notions d’inégalité et de différence. La preuve de ces propriétés repose sur l’application systématique de l’axiome de récurrence, tout en évitant d’utiliser a priori les résultats arithmétiques familiers, assurant ainsi une fondation rigoureuse et autonome.

Cette construction explicite des opérations arithmétiques dans NN est essentielle non seulement pour la cohérence interne de la théorie des ensembles mais aussi pour fonder toute la mathématique sur une base solide, débarrassée de paradoxes. Elle illustre la nécessité de définir les concepts à partir d’axiomes simples et précis, permettant d’éviter les contradictions.

Au-delà de ces constructions, il est important de saisir que l’apparente évidence des nombres naturels et de leurs propriétés masque une profondeur conceptuelle considérable. La théorie des ensembles montre que ce que nous appelons « nombres » est en fait une structure formelle construite par des règles strictes, et non une intuition immédiate. Comprendre cette formalisation permet d’apprécier la puissance et la rigueur des mathématiques modernes, ainsi que les limites et précautions nécessaires face aux notions d’infini et d’ensemble.

Comment comprendre la convergence et la divergence des suites dans R\mathbb{R} et R∞\mathbb{R}^\infty

Lorsque l'on étudie les suites dans les espaces de nombres réels, une question cruciale est celle de la convergence et de la divergence de ces suites. Une suite (xn)(x_n) est dite convergente si ses termes tendent vers une valeur fixe au fur et à mesure que nn devient grand. Cependant, cette notion de convergence doit être étendue lorsqu'il s'agit de suites qui ne convergent pas vers un réel, mais qui tendent plutôt vers +∞+\infty ou −∞-\infty, ou même dans des espaces topologiques plus larges comme R∞\mathbb{R}^\infty.

La première étape de cette étude consiste à définir ce que l'on entend par "limite infinie" dans un espace élargi comme R∞\mathbb{R}^\infty, qui inclut les points +∞+\infty et −∞-\infty. Plus précisément, pour une suite (xn)(x_n) dans R\mathbb{R}, on dit que xn→+∞x_n \to +\infty si, pour chaque K>0K > 0, il existe un entier NN tel que xn>Kx_n > K pour tous les n≥Nn \geq N. De manière similaire, on dit que xn→−∞x_n \to -\infty si, pour chaque K>0K > 0, il existe un NN tel que xn<−Kx_n < -K pour tous les n≥Nn \geq N. Ces concepts se généralisent à l'ensemble R∞\mathbb{R}^\infty, où les suites peuvent tendre vers +∞+\infty ou −∞-\infty dans un sens "improper" de la convergence.

Il est également important de distinguer la convergence propre de la convergence impropre. Une suite qui converge normalement dans R\mathbb{R} vers un réel xx est dite convergente proprement. En revanche, si une suite diverge vers +∞+\infty ou −∞-\infty, mais peut être vue comme convergeant vers un "point" à l'infini dans R∞\mathbb{R}^\infty, on parle alors de convergence impropre. Cela présente un intérêt particulier dans les études de métriques et de topologies plus complexes, où la compréhension des suites divergent est nécessaire.

Un autre aspect fondamental de l'étude des suites dans R∞\mathbb{R}^\infty est la notion de points d'accumulation ou de "points-cluster" (cluster points). Si une suite (xn)(x_n) dans R\mathbb{R} a une accumulation infinie de ses termes dans une région particulière, on dit que la suite a un point-cluster. Un point-cluster est défini comme une valeur vers laquelle la suite se rapproche de manière répétée, mais sans nécessairement converger. Ainsi, si une suite (xn)(x_n) tend vers +∞+\infty, alors +∞+\infty est un point-cluster, tout comme −∞-\infty l'est si la suite tend vers −∞-\infty.

L'un des résultats les plus importants dans ce contexte est le théorème de Bolzano-Weierstrass, qui stipule qu'une suite bornée dans R\mathbb{R} possède toujours une sous-suite convergente. Ce théorème est crucial car il permet de garantir qu'une suite bornée, même si elle est trop complexe pour converger directement, aura toujours une sous-suite qui converge vers un point-cluster. Ce résultat peut être généralisé à des espaces de dimension supérieure, comme Rm\mathbb{R}^m, où il garantit l'existence d'une sous-suite convergente même lorsque la suite entière n'est pas convergente.

La relation entre les limites supérieures et inférieures joue également un rôle central dans la caractérisation de la convergence des suites. La limite supérieure (lim sup) d'une suite est le plus grand point-cluster auquel la suite peut converger, tandis que la limite inférieure (lim inf) représente le plus petit point-cluster. Ces deux limites sont particulièrement utiles pour déterminer la nature de la divergence d'une suite, car elles permettent de décrire les comportements asymptotiques de la suite, qu'ils soient vers l'infini ou vers une valeur particulière.

En conclusion, la compréhension des suites qui convergent dans R∞\mathbb{R}^\infty, ou qui tendent vers +∞+\infty ou −∞-\infty, nécessite une distinction claire entre convergence propre et impropre, ainsi qu'une utilisation des concepts de points-cluster, de limites supérieures et inférieures. Ce sont des outils fondamentaux pour étudier les comportements asymptotiques dans des espaces plus larges que R\mathbb{R}, ce qui ouvre la voie à une analyse plus fine des suites et de leurs limites dans des contextes topologiques étendus.

La continuité des fonctions : Exemples et propriétés

La continuité des fonctions est une notion fondamentale dans le domaine de l'analyse mathématique, mais elle possède également des subtilités qui méritent d'être explorées. Parfois, des comportements inattendus émergent lorsqu'on examine des compositions de fonctions, ce qui peut déconcerter même les plus aguerris des mathématiciens. Ce texte présente plusieurs propriétés, exemples et propositions importants liés à cette notion.

Le premier exemple à considérer est celui de deux fonctions ff et gg définies sur des ensembles disjoints. Soit Z=[−3/2,−1/2]∪(1/2,3/2]Z = [-3/2, -1/2] \cup (1/2, 3/2] et I=[−1,1]I = [-1, 1], et les fonctions f:Z→Rf : Z \to \mathbb{R} et g:I→Rg : I \to \mathbb{R} définies par :

f(x)={x+1/2,si x∈[−3/2,−1/2],x−1/2,si x∈(1/2,3/2],f(x) = \begin{cases} x + 1/2, & \text{si } x \in [-3/2, -1/2], \\ x - 1/2, & \text{si } x \in (1/2, 3/2],
\end{cases}
g(y)={y−1/2,si y∈[−1,0],y+1/2,si y∈(0,1].g(y) = \begin{cases} y - 1/2, & \text{si } y \in [-1, 0], \\ y + 1/2, & \text{si } y \in (0, 1].
\end{cases}

Il est facile de vérifier que la fonction ff est continue, mais gg présente une discontinuité en 0. Pourtant, les compositions f∘g=idIf \circ g = \text{id}_I et g∘f=idZg \circ f = \text{id}_Z sont toutes deux continues. Cet exemple démontre que la continuité d'une composition de fonctions ne garantit pas la continuité des fonctions composées individuellement.

Prenons maintenant l'exemple d'une fonction plus simple : f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=11+x2f(x) = \frac{1}{1 + x^2}. Il est évident que cette fonction est continue sur l'ensemble des réels, puisque f(x)=11+x2f(x) = \frac{1}{1 + x^2} est une fraction dont le dénominateur ne s'annule jamais. Ce comportement est une conséquence de propriétés bien connues des fonctions rationnelles.

L'exemple suivant concerne la fonction exponentielle exp⁡:C→C\exp : \mathbb{C} \to \mathbb{C}, qui est continue. Cela découle des propriétés des fonctions holomorphes, car l'exponentielle est une fonction de ce type et donc continue.

Une autre propriété importante de la continuité est l'additivité des fonctions vectorielles. Si XX est un espace métrique, alors une fonction f=(f1,…,fm):X→Kmf = (f_1, \dots, f_m) : X \to \mathbb{K}^m est continue en x0x_0 si et seulement si chaque composante fk:X→Kf_k : X \to \mathbb{K} est continue en x0x_0, où K\mathbb{K} est un corps quelconque. Cette propriété, qui est un corollaire direct de la continuité des fonctions scalaires, a des applications dans des domaines variés, notamment en analyse vectorielle et en géométrie différentielle.

Une autre notion liée à la continuité est celle de la continuité unilatérale. Soit X⊂RX \subset \mathbb{R} et x0∈Xx_0 \in X, il est possible de définir la continuité à gauche et à droite d'une fonction f:X→Rf : X \to \mathbb{R} en termes de voisinages unilatéraux. Si pour chaque voisinage VV de f(x0)f(x_0) dans R\mathbb{R}, il existe un δ>0\delta > 0 tel que f(X∩[x0,x0+δ))⊆Vf(X \cap [x_0, x_0 + \delta)) \subseteq V (pour la continuité à droite) ou f(X∩(x0−δ,x0])⊆Vf(X \cap (x_0 - \delta, x_0]) \subseteq V (pour la continuité à gauche), alors ff est continue d’un côté. Il est à noter que la continuité à gauche ou à droite ne garantit pas la continuité bilatérale.

Prenons l'exemple de la fonction plancher ⌊x⌋:R→R\lfloor x \rfloor : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, qui est continue à droite mais pas à gauche en tout entier x∈Zx \in \mathbb{Z}. À chaque entier xx, la fonction saute d’une unité, ce qui constitue une discontinuité à gauche, mais reste continue à droite.

Un autre exemple illustrant cette idée est la fonction signe sign(x)\text{sign}(x), définie par :

sign(x)={−1,si x<0,0,si x=0,1,si x>0.\text{sign}(x) =
\begin{cases} -1, & \text{si } x < 0, \\ 0, & \text{si } x = 0, \\ 1, & \text{si } x > 0. \end{cases}

Cette fonction n’est continue ni à gauche ni à droite en x=0x = 0, car elle subit une rupture nette à ce point. Cela démontre que la continuité à gauche ou à droite n'implique pas nécessairement la continuité globale.

Enfin, on trouve dans les propositions une généralisation importante de la condition de Cauchy pour la continuité d'une fonction. La proposition 1.13 affirme que si une fonction f:X→Yf : X \to Y est continue à gauche et à droite en un point x0x_0, alors elle est également continue en x0x_0. Cette conclusion repose sur le fait qu'il existe des δ−\delta^- et δ+\delta^+ pour les voisins à gauche et à droite, respectivement, assurant ainsi une continuité bilatérale.

Dans tous ces exemples et propositions, il devient évident que la continuité peut se manifester de manières subtiles et variées, que ce soit dans le contexte de fonctions réelles ou complexes, ou encore dans les espaces vectoriels. La notion de continuité est essentielle pour comprendre les comportements des fonctions dans des contextes plus larges, notamment en topologie et en analyse.

Les lecteurs doivent garder à l'esprit que bien que la continuité des compositions de fonctions soit un résultat attendu dans de nombreux cas, cela ne garantit pas toujours la continuité des fonctions individuelles. De plus, l’étude des continuités unilatérales offre des outils puissants pour comprendre des phénomènes de rupture ou de transition dans les fonctions, mais nécessite une attention particulière aux détails locaux du comportement des fonctions en certains points.

Qu'est-ce qu’un ensemble compact et pourquoi cette notion est centrale en analyse ?

La notion de compacité, bien que technique à première vue, joue un rôle fondamental dans l'analyse des espaces métriques, notamment par ses implications profondes sur la convergence, la continuité, et la structure des fonctions définies sur ces espaces. Un ensemble compact peut être envisagé comme un espace dans lequel toute "fuite à l’infini" est empêchée – un lieu mathématiquement clos, à la fois dans son étendue et dans sa structure.

Supposons que l’on nie l’existence d’un sous-recouvrement fini d’un certain recouvrement ouvert {Oα}α∈A\{O_\alpha\}_{\alpha \in A} de KK, avec KK totalement borné. Pour chaque entier k≥1k ≥ 1, la totalité bornée de KK garantit l’existence d’une famille finie de boules ouvertes de rayon 1/k1/k et de centre dans KK, couvrant KK. Soit Bk\mathcal{B}_k une telle famille pour un certain kk, et BkB_k l'une de ces boules telle qu’aucun sous-ensemble fini de {Oα}\{O_\alpha\} ne couvre K∩BkK \cap B_k. Désignons par xkx_k le centre de BkB_k. Alors la suite (xk)(x_k) possède un point d'accumulation xx dans KK.

Comme xx appartient à un certain Oα0O_{\alpha_0}, ouvert, il existe ε>0\varepsilon > 0 tel que B(x,ε)⊆Oα0B(x, \varepsilon) \subseteq O_{\alpha_0}. Puisque xk→xx_k \to x, il existe MM tel que d(xM,x)<ε/2d(x_M, x) < \varepsilon/2. Par inégalité triangulaire, tout point de BMB_M est à distance strictement inférieure à ε\varepsilon de xx, donc BM⊆Oα0B_M \subseteq O_{\alpha_0}. Mais cela contredit la définition de BMB_M, puisque Oα0O_{\alpha_0} appartient au recouvrement. On est donc conduit à conclure que tout recouvrement ouvert de KK possède un sous-recouvrement fini, ce qui est la définition de la compacité.

L’intérêt de cette propriété devient plus clair à travers la compacité séquentielle : dans un espace métrique, un ensemble est compact si et seulement s’il est séquentiellement compact, c’est-à-dire que toute suite à valeurs dans cet ensemble admet une sous-suite convergente. Cette équivalence, certes non valable dans des contextes topologiques plus généraux, est capitale en analyse réelle et fonctionnelle.

Le théorème de Heine-Borel vient renforcer cette compréhension dans l’espace usuel Kn\mathbb{K}^n : un sous-ensemble de Kn\mathbb{K}^n est compact si et seulement s’il est fermé et borné. Cela fournit une caractérisation concrète et puissante, reliant les propriétés topologiques abstraites aux notions plus intuitives de clôture et de bornitude.

Les fonctions continues préservent la compacité : si f:X→Yf : X \to Y est continue et XX est compact, alors f(X)f(X) est compact dans YY. Il en découle immédiatement que l’image est bornée, et si la codomaine est R\mathbb{R}, alors ff atteint ses valeurs extrêmes. C’est le contenu du théorème des bornes extrémales, qui garantit l’existence de points où ff atteint son minimum et son maximum. Cette propriété est à la base de nombreux résultats en optimisation, analyse variationnelle et théorie des équations différentielles.

Un exemple immédiat en est la preuve de l’équivalence des normes dans Kn\mathbb{K}^n. Soit ∥⋅∥\|\cdot\| une norme arbitraire sur Kn\mathbb{K}^n, et ∣⋅∣|\cdot| la norme euclidienne. Sur la sphère unité S:={x∈Kn:∣x∣=1}S := \{x \in \mathbb{K}^n : |x| = 1\}, compacte par Heine-Borel, la fonction x↦∥x∥x \mapsto \|x\| est continue. Elle atteint donc son minimum et son maximum sur SS, disons mm et C0C_0, ce qui implique m∣x∣≤∥x∥≤C0∣x∣m|x| \leq \|x\| \leq C_0 |x| pour tout xx, d’où l’équivalence des normes.

Autre illustration majeure : le théorème fondamental de l’algèbre. L’argument repose sur le fait que, pour un polynôme complexe non constant pp, la fonction z↦∣p(z)∣z \mapsto |p(z)| atteint un minimum strictement positif sur un disque fermé assez grand. Si ce minimum n’était pas nul, une contradiction est obtenue en construisant un polynôme sans racine mais de module strictement inférieur à un sur un segment partant de ce minimum, ce qui contredit l’inégalité initiale. La compacité du disque fermé est donc cruciale pour garantir que la fonction atteigne son infimum, et ainsi que ce dernier soit effectivement une valeur prise par le polynôme, c’est-à-dire qu’il possède une racine.

Il importe également de comprendre que dans ces arguments, le rôle des ensembles fermés et bornés n’est pas purement esthétique : sans clôture, une limite de suite convergente pourrait "s’échapper" de l’ensemble, violant la compacité séquentielle ; sans bornitude, des suites pourraient "diverger" vers l’infini sans point d’accumulation. Enfin, la continuité agit comme un pont entre ces propriétés, transmettant les vertus de la compacité de l’espace source vers l’image.

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