Comment déterminer la nature de l'horizon apparent dans les modèles de Lemaître–Tolman ?

L'étude des horizons apparents (AH) dans les modèles de Lemaître–Tolman (L–T) permet de mieux comprendre la géométrie et la dynamique des univers en expansion ou en effondrement, notamment dans le contexte de la formation des trous noirs et des singularités gravitationnelles. La question centrale porte sur la nature de l'horizon apparent : est-il de type temps, espace ou lumière (nul) ?

Pour caractériser l'AH, on examine la dérivée dt/dr le long de celui-ci, en différenciant l'expression R = 2M, où R est le rayon de surface et M la masse intégrée. En combinant la variation temporelle et radiale de R, on obtient une relation essentielle reliant dt/dr à la variation spatiale de la masse M,r et des autres paramètres du modèle. En particulier, lorsque M,r = 0 localement, l'horizon est dit « nul », ce qui signifie qu'il coïncide avec une trajectoire de lumière, autrement dit l'AH est une surface que la lumière suit.

Pour déterminer si l'AH est temps, espace ou nul, on compare la pente de l'AH+ avec celle des rayons lumineux sortants (ou l'AH− avec les rayons entrants). Ce rapport dépend de la fonction B qui exprime le rapport entre M,r et R,r, et permet de classifier l'AH selon plusieurs cas : nul (lorsque B = ±1), espace (−1 < B < 1), ou temps (lorsque |B| > 1). La condition d'absence de croisements de couches impose des contraintes sur ces dérivées, influençant la nature possible de l'horizon. Un AH+ sortant ne peut être de type temps, ce qui implique que les rayons lumineux qui atteignent l'AH+ y restent enfermés, sauf dans la région où M,r = 0 où ils peuvent se déplacer sur l'AH.

Pour les modèles paraboliques ou hyperboliques en expansion ou en effondrement, les comportements qualitatifs de l’AH sont similaires, bien que certaines limites (comme l'absence de maximum d'expansion en hyperbolique) modifient les détails. La possibilité d’avoir plusieurs horizons dans un même espace-temps illustre la complexité des phénomènes gravitationnels dans des univers non homogènes.

L'analyse des horizons apparents dans les modèles L–T illustre la richesse de la relativité générale appliquée à des situations réalistes où la symétrie est partielle. La complexité des comportements possibles, notamment la coexistence d’horizons passés et futurs dans certaines régions, ou la formation de « cols » spatiaux entre horizons, ouvre la voie à une compréhension approfondie des phénomènes astrophysiques et cosmologiques non stationnaires.

Au-delà des calculs techniques, il est fondamental de saisir que la nature temporelle, spatiale ou nulle de l’horizon apparent influe directement sur le comportement causal de la lumière et de la matière proche, modifiant la façon dont l’information peut circuler ou être piégée. Cette compréhension est essentielle pour interpréter correctement les observations astrophysiques et modéliser la dynamique des objets compacts et des univers en évolution.

Quelles sont les propriétés des solutions quasi-sphériques de Szekeres et comment elles façonnent notre compréhension de la cosmologie relativiste ?

Les géométries de Szekeres quasi-sphériques représentent une classe importante de solutions dans la cosmologie relativiste, notamment dans le cadre de la cosmologie des modèles anisotropes et inhomogènes. Cette approche permet de décrire un univers localement homogène à grande échelle mais manifestant des irrégularités à plus petite échelle, telles que des régions de densité variable, de courbure distincte, ou de topologie non triviale. Dans cet article, nous nous concentrerons principalement sur l'examen des solutions quasi-sphériques de Szekeres, avec un paramétrage spécifique introduit dans l'équation (20.53), et analyserons les propriétés physiques qui en découlent, ainsi que leur signification pour l'évolution de l'univers.

Les restrictions physiques fondamentales imposées par la métrique de Szekeres sont cruciales pour garantir la cohérence du modèle. D'abord, la condition $M(z) \geq 0$ garantit que la masse extérieure au vide reste toujours positive, assurant ainsi un comportement physique stable. Par ailleurs, la métrique doit être non dégénérée et non singulière, sauf au niveau du "big bang" ou du "big crunch". La fonction $S(r)$, liée à la géométrie de l'espace, doit être strictement positive, ce qui est essentiel pour un mappage spatial sensé et une description géométrique valide. De même, l'évolution de la courbure et de la densité d'énergie dans les régions quasi-sphériques et quasi-plans doit satisfaire à des conditions de positivité et de finitude, garantissant ainsi une évolution physique bien définie dans le cadre de ces solutions.

En ce qui concerne la variation de $\mathcal{E}(z, x, y)$ autour des sphères de coordonnées constantes, les propriétés géométriques deviennent encore plus apparentes. L'expression de $\mathcal{E}$ en fonction de $S$, $P$ et $Q$ dans les équations (20.86) à (20.89) montre comment les changements dans la courbure et la géométrie locale affectent les différentes régions de l'univers. Par exemple, lorsque la courbure $S,z$ est positive, les régions où $\mathcal{E},z$ est négatif sont contenues à l'intérieur d'un cercle, avec $\mathcal{E},z = 0$ situé sur le périmètre de ce cercle. Cette relation géométrique joue un rôle crucial dans la définition des structures locales, comme les puits de gravité ou les zones de densité élevée, qui peuvent avoir des implications sur l'évolution de l'univers à petite échelle.

Il est important de souligner que, bien que ces solutions puissent décrire un certain nombre de phénomènes intéressants à petite échelle, elles ne sont pas exemptes de singularités et de comportements atypiques dans certaines configurations particulières. La possibilité d'interpréter ces solutions en fonction de la structure locale de l'univers est un aspect fondamental pour la cosmologie relativiste moderne. L'émergence de singularités et de points où la densité devient infinie ou où les trajectoires des particules sont modifiées de manière complexe témoigne des défis que ces modèles posent pour une description complète et cohérente de l'univers.

Les singularités et la structure de la métrique de Kerr : Analyse approfondie

La métrique de Kerr, qui décrit le champ gravitationnel autour d'un trou noir rotatif, présente une structure singulière qui mérite une attention particulière. Dans un premier temps, il est nécessaire de comprendre le comportement des coordonnées et la géométrie associée à ce type de métrique. Une caractéristique importante de cette métrique est la relation entre les coordonnées B-L et le temps propre d'un observateur à l'infini, ainsi que l'apparition de surfaces de décalage infinies. Le décalage vers le rouge, en particulier, joue un rôle essentiel dans la description des phénomènes gravitationnels associés à ces objets célestes.

Les coordonnées B-L (Boyer-Lindquist) ont été conçues pour décrire les propriétés spécifiques des trous noirs rotatifs. Là où g00 = 0, le temps propre d'un observateur au repos dans cette région devient infini par rapport à celui d’un observateur à l’infini. Cela indique que la lumière émise dans cette zone arrive à un observateur distant avec un décalage vers le rouge infini. Cette situation rappelle celle du trou noir de Schwarzschild, mais avec des nuances importantes dues à la rotation.

Il est crucial de noter qu’en métrique de Kerr, l'ensemble grr = ∞ ne coïncide pas avec g00 = 0, ce qui conduit à une singularité apparente, éliminable par une transformation de coordonnées. Lorsque a² ≤ m², la singularité apparente prend la forme de deux ensembles disjoints, r = r± = m ± √(m² - a²), définissant une surface à décalage vers le rouge infini. Cependant, cette dénomination peut prêter à confusion. Carter (1973) souligne que ce nom est trompeur. En effet, pour un observateur au repos dans les coordonnées B-L, les coordonnées r, ϑ et φ demeurent constantes. Toutefois, sur la surface g00 = 0 et à l'intérieur de cette surface (où g00 < 0), l’intervalle ds² devient négatif, ce qui implique que cet observateur devrait se déplacer à la vitesse de la lumière, voire plus rapidement, pour maintenir une position constante. Cette analyse montre que la notion de repos à l’infini est impossible dans cette région.

Dès lors, il devient clair que cette surface g00 = 0 est également appelée la surface de limite stationnaire. Là où g00 ≤ 0, aucun objet matériel ne peut rester immobile. C'est une caractéristique propre aux régions où Δr < 0, où la coordonnée r devient temporelle, rendant toute tentative de maintenir une position constante dans cette zone impraticable. L’examen des propriétés géométriques de cette surface devient essentiel pour comprendre la dynamique des objets dans ces zones extrêmes.

Il est également important de considérer le phénomène de "traînage du référentiel" (frame dragging) qui apparaît dans le champ gravitationnel des corps en rotation. Ce phénomène implique que les lignes de géodésiques fermées peuvent se former dans des régions proches de l'horizon, créant des courbes temporelles qui peuvent mener à l’existence de courbes spatio-temporelles fermées. Les propriétés de ces courbes sont visibles dans la métrique étendue de Kerr, particulièrement dans les zones où ϑ est proche de π/2 et r < 0, où la composante de φ devient une coordonnée temporelle.

Les singularités de la métrique de Kerr deviennent plus apparentes lorsque l’on examine les composantes de la courbure de Riemann dans le cadre d’un tetrad orthonormal. En calculant les composantes du tenseur de Weyl (qui est égal au tenseur de Riemann dans ce contexte), on peut observer une singularité localisée sur l’anneau {r = 0, ϑ = π/2}, où Σ = 0. Cela implique que l’intérieur de cet anneau, malgré la singularité apparente, peut être traversé, et la métrique peut être étendue à des valeurs négatives de r.

En outre, la métrique de Kerr fait partie du type de Petrov D, une classification qui reflète la symétrie et la structure particulière de la courbure dans cet espace-temps. Cela indique la présence de structures géométriques distinctes associées à la rotation et aux propriétés intrinsèques du trou noir, comme les effets d’anisotropie dans la distribution de la matière et les distorsions du champ gravitationnel à grande échelle.

Comment construit-on un système de coordonnées de Fermi pour annuler les symboles de Christoffel le long d’une géodésique temporelle ?

La construction des coordonnées de Fermi repose sur le transport parallèle d’une base le long d’une géodésique temporelle $G$ dans un espace-temps courbe, où les symboles de Christoffel s’annulent exactement sur $G$. Cette procédure nécessite que le segment géodésique $G'_{p}$, perpendiculaire à $G$ en un point $p$, soit exempt de points singuliers et que $p$ soit suffisamment proche de $G$, afin d’éviter l’intersection des géodésiques orthogonales issues de $G$.

Dans ces coordonnées de Fermi, le tenseur métrique local présente une forme particulière, telle que les composantes des symboles de Christoffel s’annulent sur la géodésique $G$, révélant ainsi un repère inertiel local. L’invariance de la base le long de $G$ implique que, dans un voisinage suffisamment petit, les géodésiques émanant de $p' \in G$ sont approximées par des droites au premier ordre. Cela souligne que la notion de trajectoires géodésiques comme mouvement libre est intrinsèque à la relativité générale.

En élargissant cette réflexion, la relativité générale doit également posséder une limite Newtonienne cohérente lorsque la vitesse de la lumière devient infinie tout en conservant un champ gravitationnel présent. Cette condition conduit naturellement à la reproduction de l’équation de Poisson $\Delta \varphi = 4\pi G \rho$ pour le potentiel gravitationnel $\varphi$, reliant ainsi la théorie géométrique moderne aux lois classiques de la gravitation newtonienne.

La conservation de l’énergie et de la quantité de mouvement est exprimée par $T^{\alpha\beta}{}_{;\beta} = 0$, et les équations du champ gravitationnel doivent être compatibles avec cette conservation locale. Ainsi, le champ gravitationnel, représenté par la courbure de l’espace-temps, est intimement lié aux variations du tenseur énergie-impulsion, incarnant la célèbre idée d’Einstein selon laquelle la matière et l’énergie dictent la géométrie de l’univers.

Il est essentiel de comprendre que ces concepts soulignent une profonde unification entre la géométrie différentielle et la physique : le libre mouvement d’un corps dans un champ gravitationnel est équivalent à suivre une géodésique dans un espace-temps courbe. Cette perspective impose une lecture géométrique et tensorielle des forces gravitationnelles, éloignant la gravitation de la notion traditionnelle de force agissant à distance, pour la replacer dans une dynamique intrinsèque à la structure de l’espace-temps.

Comment la géométrie de Lemaître-Tolman modélise l’évolution cosmologique ?

La géométrie de Lemaître-Tolman repose sur l'introduction des coordonnées comobiles-synchrones, où le déplacement dans l'espace-temps est décrit par la métrique :

Dans ce cadre, la fonction $R(t, r)$ est directement liée à l'aire $S$ de la surface à $t$ et $r$ constants, par la relation euclidienne $S = 4\pi R^2$, ce qui conduit à l'appelation de $R$ comme étant le rayon areal. Cette distance représente une mesure de l’espace entre un observateur et le centre de la distribution de matière, à $R = 0$.

et

L'une des principales conclusions de cette approche est la possibilité d'introduire une masse effective $m(r)$ qui dépend de la densité $\epsilon$, et qui permet de relier la géométrie de l'espace-temps à la distribution de matière dans le modèle. Ce terme de masse peut être exprimé par une équation d’énergie, qui dans un cas particulier de $p = 0$ (c'est-à-dire absence de pression, ou évolution purement gravitationnelle), devient :

Cette masse $m(r)$ est interprétée comme la masse active générant le champ gravitationnel dans la région $r$. De manière intéressante, dans ce modèle, la masse totale d’un système (comme une étoile) plongée dans le vide demeure constante, même si des modifications de sa configuration interne peuvent se produire.

Il est aussi possible d’assumer une équation d'état reliant la densité de matière $\epsilon$ à la pression $p$, comme dans le modèle de Lemaître-Tolman, où l’équation de l’état de pression nulle (p = 0) représente le cas le plus simple, évoluant uniquement sous l'influence de la gravitation. Cependant, lorsque la pression est non nulle, cette relation mène à une évolution plus complexe de la structure spatiotemporelle de l'univers.

Il est essentiel de noter que ce modèle est basé sur l'hypothèse que la densité de matière ne dépend que de la variable radiale $r$, ce qui permet de réduire la complexité de l’espace-temps en ne considérant qu’une seule dimension radiale et une métrique sphérique. Cette simplification est utile pour résoudre certains problèmes cosmologiques, mais elle ne représente pas tous les aspects de la réalité cosmologique, notamment dans les régions fortement courbées ou au voisinage de singularités.