Mikä on markkinahinnan hinnoittelu ilman ennalta määrättyä mittaria?

Tiettyjen taloudellisten instrumenttien, kuten johdannaiskauppojen, hinnoittelu perustuu moniin tekijöihin, ja usein käytetään arvoituksellista käsitettä "martingaali". Tämä käsite, vaikka se onkin tekninen, on olennainen ymmärtää, kun tarkastellaan, miten markkinahinnat saadaan oikeaksi ja miten hinnoittelumallit voivat olla vapaasti määriteltyjä ilman erityistä todennäköisyysjakaumaa.

Tässä yhteydessä voidaan tarkastella teoreettista tulosta, joka osoittaa, että on olemassa todennäköisyysmittareita, jotka täyttävät edellä mainitut ehdot ja mahdollistavat markkinahintojen oikean hinnoittelun. Näin ollen hinnanmuodostus voidaan suorittaa ilman erityistä ennaltamäärättyä mittaria, mikä on merkittävä askel kohti "fundamentaalista omaisuuserän hinnoitteluteoreemaa", joka ei ole riippuvainen tietyn mittarin valinnasta.

Teoreettinen tausta

Oletetaan, että olemassa on joukko todennäköisyysmittareita $P^*$, jotka täyttävät ehdot, joissa tietyt johdannaiset voivat olla hinnoiteltavissa tietyn hinnoittelusäännön, kuten $\Phi$, avulla. Tällöin määritellään joukko mittareita $P_{\Phi}$, jotka ovat martingaaleja, eli niiden odotusarvot säilyvät ajan myötä vakaina markkinoilla. Tällöin saamme aikaiseksi mallin, jossa ei tarvita ennalta määriteltyä todennäköisyysjakaumaa. Tämä mahdollistaa hinnoittelun suorittamisen ilman, että se olisi riippuvainen aiemmista oletuksista.

Superhedging ja digitaalinen optio

Yksi esimerkki, jonka avulla voimme tarkastella tätä mallia, on digitaalinen optio. Digitaalinen optio maksaa tietyn määrän, jos tietty markkinahintaraja, kuten $B$, ylitetään ennen tiettyä ajankohtaa. Tässä tapauksessa voimme tarkastella digitaalisia optioita ja niiden hinnoittelua markkinoilla, joissa hinnoittelu tapahtuu ilman ennalta määrättyä mittaria. Tällöin digitaalisen option hinta voidaan määrittää arvioimalla, milloin hinnan saavuttaa tietyn rajan ja vertaamalla tätä ennakoituihin markkinahintoihin.

Tämän tyyppisten johdannaisten hinnoittelussa voimme käyttää superhedging-strategioita. Tämä tarkoittaa strategiaa, jossa voidaan suojautua mahdollisilta markkinahäiriöiltä luomalla salkku, joka suojaa digitaalisen option riskiltä. Tämä voidaan saavuttaa ostopainotteisilla optioilla, joiden avulla pyritään estämään häviöt, kun taas toisaalta odotetaan hinnan nousevan tietyn rajan yli. Tällöin saadaan aikaiseksi arvonmääritys, joka perustuu markkinahintojen ja johdannaisten hinnoittelun tasapainottamiseen.

Jatkuvuus ja rajoitukset

On tärkeää huomata, että vaikkakin tämä lähestymistapa voi olla hyödyllinen, se ei ole rajoittamaton. Markkinoilla voi olla tilanteita, joissa tämä martingaali-hinnoittelumalli ei ole täysin sovellettavissa. Esimerkiksi tilanteet, joissa likviditeetti on rajallista tai markkinat ovat epäjohdonmukaisia, voivat aiheuttaa poikkeamia perinteisestä martingaali-teoriasta. Tällöin voidaan joutua turvautumaan muihin hinnoittelumalleihin tai tarkempaan riskienhallintaan.

Miten minimoidaan lyhyen aikavälin riskit tehokkaassa suojauksessa?

Suojauksen tavoitteena on minimoida riskit, jotka liittyvät tuleviin satunnaisiin maksuihin. Tässä yhteydessä tarkastellaan erityisesti tilanteita, joissa sijoittaja haluaa suojautua tietyn aikarajan sisällä, mutta ei ole valmis maksamaan täyttä hintaa riskin täydelliseen poistamiseen. Tämä tarkoittaa, että sijoittaja hyväksyy osittaisen riskin, jossa suojauksen alkuperäinen investointi on rajoitettu tietylle määrälle, mutta tuottaa kuitenkin ei-nollaisen vajauksen (lyhyen aikavälin riskin) satunnaisesti maksujen ja suojauksen välillä.

Kun tarkastellaan riskin minimointia, päähuomio on suojauksen onnistumisen todennäköisyyksissä. On olemassa kaksi tärkeää tekijää, jotka voivat auttaa ymmärtämään tätä problematiikkaa: ensimmäinen on strategian onnistumisen suhteen osuus, ja toinen on se, kuinka paljon sijoittaja on valmis investoimaan suojauksen täyttämiseksi. Sijoittaja, jonka alkuperäinen pääoma on rajoitettu, saattaa silti valita strategian, joka minimoi todennäköisyyden sille, että suojauksen arvo jää liian pieneksi.

Täyden suojauksen saavuttaminen on kallista ja sen kustannus määritellään usein maksimisuojauksen arvolla, joka saadaan laskemalla kaikkien mahdollisten skenaarioiden odotusarvot. Tässä yhteydessä kyseessä on strategia, jonka arvo prosessi V täyttää V0 ≤ υ -rajan. Tämän rajatulla summalla suojautuva sijoittaja voi hyväksyä riskin ja näin minimoida lyhyen aikavälin vajauksen todennäköisyyksiä.

Kun tarkastellaan sellaista suojastrategiaa, joka minimoi vajauksen riskin (kuten P[VT < H]), voimme käyttää käsiteitä kuten "suojauksen onnistumisen suhde" tai "riskin mittarit", jotka auttavat arvioimaan, kuinka hyvin tietty strategia pystyy suoriutumaan tietyissä olosuhteissa. Tässä vaiheessa voidaan ottaa huomioon myös tappiota mittaavat funktiot, kuten kasvavat funktiot ℓ, jotka mittaavat tuottojen tai tappioiden asteittaisia muutoksia. Näillä funktioilla voidaan tarkastella, kuinka suuri on eron ja suojauksen välinen ero eri strategioilla.

Kun tarkastellaan erilaisten suojastrategioiden tehokkuutta, voidaan myös ottaa huomioon riskin mittaaminen hyväksymisjoukon A avulla. Tämä joukko määrittelee suojautuvan aseman, joka täyttää tietyt ehtoja ja voi tarjota rajoitettuja riskimahdollisuuksia. Esimerkiksi A-joukon määrittäminen voi perustua siihen, kuinka suuri on maksimivajauksen mittaaminen tietyllä kontekstilla, joka määritellään riskin ja tuottojen suhteena.

Optimaalisen suojauksen strategian rakentaminen tapahtuu usein kahdessa vaiheessa. Ensimmäinen vaihe on ratkaista staattinen ongelma, jossa etsitään arvoa Y satunnaisille muuttujille, jotka täyttävät kaikki ehdot. Tämän jälkeen voidaan valita paras strategia Y∗ ja käyttää sitä suojauksen parantamiseksi.

Lisäksi on tärkeää huomioida, että vaikka riskin minimointi on keskiössä, suojauksen tehokkuus voi olla yhteydessä myös sijoittajan riskinottohalukkuuteen. Sijoittajat, jotka eivät ole valmiita maksamaan suuria summia suojauksista, voivat löytää strategioita, jotka tasapainottavat kustannuksia ja riskejä tehokkaasti. Tällöin on usein tarpeen tarkastella strategioiden vuorovaikutusta ja kuinka ne voivat vaikuttaa suojauksen onnistumiseen eri markkinaolosuhteissa.

Miten määritellään paikallisesti riskinsäätelystrategiat epätäydellisissä markkinoissa?

Paikallisesti riskinsäätelystrategian olemassaolon voidaan osoittaa olevan suoraan yhteydessä johdannaisten $H$ hajotelmaan. Täsmällisemmin sanottuna paikallisesti riskinsäätelystrategia on olemassa, jos ja vain jos johdannainen $H$ voidaan hajottaa muotoon $T H = c + \sum \xi_t \cdot (X_t - X_{t-1}) + L_t$, jossa $c$ on vakio, $\xi_t$ on ennakoitava prosessi ja $L_t$ on neliöintegroitu martingaaliprosessi, joka on voimakkaasti ortogonaalinen $X$:n kanssa. Tällöin paikallisesti riskinsäätelystrategian $(\hat{\xi}_0, \hat{\xi})$ määrittelee $\hat{\xi} = \xi$ ja mukautettu prosessi $\hat{\xi}_0$, joka on määritelty $\hat{\xi}_{0} = c$ ja $\hat{\xi}_{0t} = c + \sum \xi_s \cdot (X_s - X_{s-1}) + L_t - \xi_t \cdot X_t$.

Kun tarkastellaan martingaleja, kuten esitetään seuraavassa lemmassa, voidaan osoittaa, että kaksi neliöintegroitu martingaaliprosessia $M$ ja $N$ ovat voimakkaasti ortogonaalisia, jos ja vain jos niiden tulo $MN$ on martingaali. Tämä ominaisuus on tärkeä, koska se mahdollistaa eri martingaleiden erottelun ja niiden käytön strategioiden muodostamisessa. Esimerkiksi, jos $M$ on martingaali, niin sille voidaan löytää ennakoitava prosessi $\xi$, joka voi edustaa sen voittojen prosessia.

Tämän lisäksi on tärkeää huomata, että paikallisesti riskinsäätelystrategiat ovat välttämättömiä, kun markkinoilla on epävarmuutta ja epätäydellisyyksiä. Tällöin tavanomaiset, täydellisiin markkinoihin perustuvat strategiat eivät enää ole riittäviä, vaan tarvitaan hienostuneempia malleja, jotka pystyvät ottamaan huomioon markkinoiden dynaamiset ja epätäydelliset piirteet. Paikallisesti riskinsäätelystrategiat, jotka perustuvat martingaleihin ja niiden hajotelmiin, voivat tarjota tehokkaita ratkaisuja tällaisessa ympäristössä.

Martingaalien rooli ei rajoitu vain riskien minimointiin. Ne voivat myös tarjota syvällisempää ymmärrystä markkinoiden dynamiikasta ja auttavat mallintamaan, miten rahoitusinstrumenttien arvot käyttäytyvät ajan myötä. Tämä on erityisen tärkeää silloin, kun markkinoiden malli ei ole täydellinen ja johdannaiset voivat käyttäytyä epätavanomaisella tavalla.

Miten arvioida riskin suuruutta ja hyväksyttäviä sijoituksia monilla riskimittareilla?

Riskin arvioiminen on monimutkainen ja tärkeä osa taloudellista päätöksentekoa. Tämä artikkeli käsittelee erilaisia riskimittareita, jotka auttavat määrittämään, mitkä sijoitukset ovat hyväksyttäviä tietyissä olosuhteissa ja miten niitä voidaan mitata.

Yksi keskeinen riskimittari on ρmax, joka on koherentti riskimittari. Se on kaikkein konservatiivisin riskimittari, sillä se täyttää ehdon, että minkä tahansa normalisoidun rahamääräisen riskimittarin ρ(X) on aina pienempi tai yhtä suuri kuin ρmax(X). Tämä tarkoittaa, että ρmax on äärimmäisen varovainen mittari, joka huomioi jopa kaikkein epäsuotuisimmat mahdollisuudet.

Tässä yhteydessä on myös tärkeää huomata, että ρmax voidaan esittää muotoon ρmax(X) = sup EQ[ −X ], missä Q on joukko kaikista todennäköisyysmittareista (Ω, F). Tämä antaa meille käsityksen siitä, miten riskit voidaan arvioida eri todennäköisyysjakautumilla.

Toinen esimerkki, 4.10, tutkii riskimittaria, joka perustuu tietyn rajatason täyttymiseen. Tässä tapauksessa sijoitus X on hyväksyttävä, jos sen odotettu hyöty, EQ[u(X)], ylittää tietyn kynnysarvon u(c). Tämä riskimittari on myös konveksi ja se tunnetaan nimellä utility-based shortfall risk measure. Tämä malli on hyödyllinen, kun arvioidaan sijoituksia, joiden tuotto perustuu johonkin tiettyyn hyödyllisyysfunktion perusteella tehtyyn arvioon.

Erityisesti, jos halutaan ottaa huomioon useita mahdollisia todennäköisyysjakautumia, voidaan käyttää laajempaa joukkoa todennäköisyysmittareita, eli joukkoa Q. Tällöin sijoituksen hyväksyttävyys määritellään niin, että sen odotettu hyöty ylittää kyseisen mittarin mukaisen kynnysarvon.

Esimerkki 4.11 esittelee riskimittarin, joka liittyy todennäköisyyksien jakautumiin. Tässä tarkastellaan tilannetta, jossa riskimittari V@Rλ määritellään niin, että sijoituksen X todennäköisyys jäädä negatiiviseksi tietyllä todennäköisyyksien tasolla λ on pienempi tai yhtä suuri kuin λ. Tämä riskimittari on yleisesti tunnettu nimellä Value at Risk (VaR). Vaikka V@Rλ on positiivisesti homogeeninen, se ei ole konveksi. Tämä tarkoittaa, että sen käyttö saattaa olla rajoitettua tietyissä olosuhteissa, mutta se on silti tärkeä työkalu riskin arvioinnissa.

Esimerkki 4.12 tuo esiin, kuinka Sharpen kerroin voidaan käyttää riskimittarina, kun tarkastellaan sijoitusten tuottoja ja variansseja. Jos Sharpen kerroin on riittävän suuri, sijoitus voidaan pitää hyväksyttävänä. Tällöin riskimittari ρc voidaan esittää muotoon ρc(X) = E[ −X ] + c ⋅ σ(X), mikä yhdistää odotetun tuoton ja volatiliteetin. Tämä riskimittari ei kuitenkaan ole monotoni, mikä tekee siitä epätavallisen verrattuna muihin riskimittareihin.

Viimeinen esimerkki, 4.13, esittelee riskimittarin, joka perustuu varmuusasteen (certainty equivalent) laskemiseen. Jos u on tiukasti kasvava jatkuva funktio, voidaan määritellä riskimittari ρ(X) = −c(X), jossa c(X) on X:n varmuusaste. Tämä riskimittari on monotooninen, mutta ei ole rahamääräinen riskimittari, koska se ei ole kassavirraltaan invariantti.

Lopuksi on tärkeää ymmärtää, että riskimittarit eivät ole vain teoreettisia välineitä. Ne vaikuttavat suoraan sijoittajien päätöksentekoon ja voivat vaikuttaa esimerkiksi pääoman allokointiin, vakuutussuunnitteluun ja johdannaisten hinnoitteluun. Riskimittareiden oikea valinta voi siis olla ratkaisevan tärkeää taloudellisen menestyksen kannalta.