Miten riskinottoaversion osalta määritellään S-muotoisessa hyötyfunktiossa?

S-muotoisen hyötyfunktion riskinottoaversion määrittäminen on olennainen osa taloudellista päätöksentekoa, erityisesti silloin, kun tarkastellaan taloudellista käyttäytymistä epävarmuuden alla. Hyötyfunktioiden riskinottoaversion tutkimus liittyy läheisesti siihen, kuinka yksilöt arvioivat ja reagoivat epävarmuuden ja riskin tilanteissa. Tämän kappaleen tarkoituksena on tarkastella riskinottoaversion laskemista ja sen yhteyksiä hyötyfunktioiden muotoihin, erityisesti S-muotoisten funktioiden yhteydessä.

1. $\alpha(x) \geq \tilde{\alpha}(x)$ kaikille $x \in S$,

2. $u = F \circ \tilde{u}$ jollekin tiukasti kasvavalle, kuperalle funktiolle $F$,

3. vastaavat riskilisät $\rho$ ja $\tilde{\rho}$ täyttävät ehdon $\rho(\mu) \geq \tilde{\rho}(\mu)$ kaikille $\mu \in M$.

Ehdosta (b) saamme johtopäätöksen (c), jossa käytetään Jensenin epätasa-arvoa. Tämä epätasa-arvo osoittaa, että vakio-odotukset $c(\mu)$ ja $\tilde{c}(\mu)$ täyttävät ehdon $u(c(\mu)) = \int u d\mu = \int F \circ \tilde{u} d\mu$, mikä puolestaan johtaa siihen, että $\rho(\mu) = m(\mu) - c(\mu) \geq m(\mu) - \tilde{c}(\mu) = \tilde{\rho}(\mu)$.

Erityisesti, jos tarkastellaan jatkuvia ja tiukasti kasvavia funktioita $u$, joiden vastaavat varmuuskorvaukset noudattavat seuraavaa siirtotason ominaisuutta $c(\mu_t) = c(\mu) + t$, voidaan osoittaa, että tällöin $u$ kuuluu $C^\infty(\mathbb{R})$-luokkaan, eli se on äärettömän monta kertaa derivoituva. Tämä johtaa siihen, että siirtotason hyötyfunktiot saavat erityisluonteen, kuten eksponentiaaliset funktiot.

Tärkeä huomio on, että mikäli oletetaan, että tietty suotuisa vedonlyönti hylätään kaikilla varallisuustasoilla, voidaan johtaa epätodennäköinen johtopäätös: korkean varallisuuden tasoilla yksilö saattaa hylätä vedon, jolla on suuri mahdollinen voitto, vaikka mahdollinen tappio olisi vain pieni osa alkuperäisestä varallisuudesta. Tämä voi aiheuttaa epärealistisia päätöksiä taloudellisessa käytöksessä, erityisesti silloin, kun riskinottoaversion aste on erittäin suuri.

Hyötyfunktion muodolla ja riskinottoaversion määrittelyllä on siis merkittävä rooli taloudellisessa päätöksenteossa. Erityisesti, kun tarkastellaan taloudellisia toimijoita, joiden varallisuus on huomattavan suuri, on tärkeää ymmärtää, miten eri tyyppiset hyötyfunktiot vaikuttavat heidän riskinottokäyttäytymiseensä ja mihin johtopäätöksiin tämä voi johtaa käytännön päätöksenteossa.

Miten stokastinen järjestys vaikuttaa todennäköisyyksien vertailuun ja valintaan?

Määritelmän mukaan, jos μ ≽icv μ̃, niin μ:n ja μ̃:n välillä on jollakin tavalla jokin järjestys, joka perustuu niiden kumulatiivisiin jakaumiin ja kvantiileihin. Tämä järjestys voidaan ilmaista matemaattisesti siten, että integraali tietyllä funktiolla f suhteessa μ on suurempi tai yhtä suuri kuin vastaava integraali μ̃:n suhteen, mikä tarkoittaa, että μ:n jakauma on ”korkeammalla” kuin μ̃:n. Tämä on tärkeä käsite erityisesti, kun tarkastellaan päätöksentekoa epävarmuuden ja satunnaisten tekijöiden yhteydessä.

Kun tarkastellaan stokastista dominanssia, tämä käsite antaa meille tavan vertailla satunnaismuuttujien jakaumia. Esimerkiksi jos μ ≽i ν, niin tämä tarkoittaa sitä, että μ:n kumulatiivinen jakaumafunktio Fμ(x) on aina pienempi tai yhtä suuri kuin ν:n vastaava Fν(x). Tämä puolestaan tarkoittaa, että μ:n kvantiilit ovat suurempia kuin ν:n kvantiilit lähes kaikilla t:llä (0, 1), mikä kertoo siitä, että μ:n jakauma on suotuisampi kuin ν:n.

Edellä mainittujen ominaisuuksien perusteella voidaan todeta, että jos μ ≽icv μ̃, niin μ:n ja μ̃:n välillä on selkeä järjestys, mutta tämä ei aina päde toisin päin. Esimerkiksi jos oletetaan, että α ≥ α̃ ja σ̃² > 2(α − α̃) + σ², niin vaikka ν ≽icv ν̃, ei voida suoraan päätellä, että μ ≽icv μ̃. Tämä ilmiö havainnollistaa stokastisen järjestyksen rajoituksia ja sitä, kuinka tärkeää on tarkastella eri muuttujien välistä suhdetta.

Matemaattisesti voidaan osoittaa, että jos μ ja ν ovat todennäköisyysjakaumia, niin jos μ ≽i ν, niin myös μ ≽icv ν pätee. Tämä johtuu siitä, että stokastinen dominanssi ensimmäisessä järjestyksessä (≽i) tarkoittaa sitä, että μ:n ja ν:n kumulatiiviset jakaumat eivät koskaan leikkaa, ja tämä puolestaan implikoi, että niiden väliset integraalit tietyllä määritellyllä funktiolla täyttävät tarvittavat ehdot. Tämän seurauksena voidaan todeta, että jos μ ≽i ν, niin μ:n jakauma on systemaattisesti ”parempi” kuin ν:n.

On kuitenkin tärkeää ymmärtää, että stokastinen dominanssi ei ole ainoa tapa vertailla todennäköisyysjakaumia. Esimerkiksi toisen asteen stokastinen dominanssi, joka liittyy todennäköisyysjakaumien vertailuun ja preferenssien analysointiin, tarjoaa laajemman näkökulman ja voi tuoda esiin lisätekijöitä, jotka eivät näy yksinomaan ensimmäisen asteen dominanssin kautta. Tällainen laajennus voi olla hyödyllinen, kun tarkastellaan monimutkaisempia päätöksentekotilanteita, joissa on useita vaihtoehtoja ja monia epävarmuustekijöitä.

Erityisesti, kun käsitellään taloudellisia päätöksiä, on tärkeää huomioida, että stokastinen dominanssi voi olla vain yksi monista työkaluista, joita käytetään optimaalisen valinnan tekemiseen. On huomioitava myös mallit, joissa epävarmuus on keskeinen tekijä. Tässä yhteydessä pohdinta siitä, miten preferenssit muuttuvat mallin epävarmuuden kasvaessa, on avainasemassa, ja tämä kysymys nousee esiin seuraavassa osiossa.

Miten määritellään riskimittarit ja optimointiongelmat epävarmuuden alla?

Corollary 4.129 esittää ongelman, jossa pyritään minimoimaan entropia: annetulle todennäköisyysjakaumalle $Q$ ja joukolle mahdollisia todennäköisyysmittareita $Q$, tavoitteena on löytää infimaali $H(Q|P)$, missä $P$ kuuluu joukkoon $Q$. Tämä ongelma eroaa perinteisestä entropian minimoinnista siinä, että kyseessä ei ole vain $Q$:n minimointi verrattuna johonkin referenssijakaumaan, kuten osassa 3.2 ja liitteessä C.

Harjoituksessa 4.11.4 käsitellään malliriskin mittaamista, jossa epävarmuus on mallin parametrin $\theta$ alla, ja riskin mittaamisessa käytetään Bayesin lähestymistapaa. Kun malliriskin neutraalius on valittu, riskimittari voidaan esittää funktiona $U(X) = \int E_\theta[u(X)] \mu(d\theta)$, missä $\mu$ on priorijakauma. Tämä on esimerkki siitä, kuinka epävarmuus voidaan mallintaa ja miten päätöksentekijä voi valita strategioita, jotka maksimoivat odotetun hyödyn. Malliriskin havaitsemiseksi voidaan valita toinen hyödykefunktio $\hat{u}(x)$, ja tarkastella funktion $\hat{U}(X) = \int \hat{u}(E_\theta[u(X)]) \mu(d\theta)$ ominaisuuksia.

Seuraavaksi tarkastelemme funktioiden $\ell$ ja $\ell^*$ joitakin keskeisiä ominaisuuksia. Ensinnäkin, $\ell^*$ on konkreettinen konveksi funktio, mikä tarkoittaa, että se täyttää Fenchelin–Legendre-muunnoksen vaatimukset ja tarjoaa sen avulla tehokkaita työkaluja riskin määrittämiseen. Lemma 4.132 osoittaa, että jos funktio $\ell_n$ lähestyy funktiota $\ell$, niin vastaavat konjugaatit $\ell_n^*$ lähestyvät myös $\ell^*$:a.

Lemmat 4.133 ja 4.134 keskittyvät erityisesti siihen, kuinka $\ell$ ja $\ell^*$ -funktiot voivat käyttäytyä äärettömyyksiin suuntautuvissa rajoissa ja miten nämä rajoitukset vaikuttavat riskimittarien määrittämiseen. Esimerkiksi jos $\ell^*$ on rajallinen tietyllä alueella, niin tämä voi määrittää sen, millaisia päätöksiä voidaan tehdä ja kuinka suuria riskejä voidaan hyväksyä.

Lopuksi on syytä huomioida, että riskimittareiden ja epävarmuuden hallinnan ymmärtäminen ei ole pelkästään matemaattinen harjoitus, vaan se on elintärkeää, kun pyritään tekemään perusteltuja ja kestäviä taloudellisia päätöksiä. Käytännön sovelluksissa riskimittareiden oikea määrittäminen ja ymmärtäminen voivat vaikuttaa merkittävästi siihen, kuinka organisaatiot reagoivat markkinamuutoksiin ja epävarmuuteen, sekä siihen, kuinka ne voivat suojautua tulevaisuuden riskeiltä.

Miten Amerikkalaiset Optiot ja Hedging-strategiat Toimivat Täydellisissä Markkinoissa?

Amerikkalaiset optiot ja niihin liittyvät strategiat ovat monimutkainen mutta keskeinen osa rahoitusmarkkinoita, erityisesti tilanteissa, joissa markkinat ovat täydellisiä. Amerikkalainen optio, eli ehdollinen väline, on sopimus, jonka ostaja voi aktivoida haluamallaan hetkellä ennen eräpäivää, mutta ei ole velvollinen käyttämään sitä. Tämä tekee amerikkalaisista optioista joustavia verrattuna eurooppalaisiin optioihin, jotka voidaan käyttää vain eräpäivänä.

Amerikkalainen optio voidaan määritellä prosessiksi, joka on ei-negatiivinen ja mukautettu tietyllä suodatetulla todennäköisyystilassa. Tämä prosessi, nimeltään ehdollinen vaatimus C = (Ct)t=0,...,T, määrittelee mahdolliset maksut, jotka saadaan, kun optio käytetään tietyllä hetkellä t. Tämän lisäksi ostaja voi valita milloin tahansa haluamansa ajan τ, jolloin hän käyttää optiotaan. Koska optio voidaan käyttää vain kerran, sen arvo määräytyy sen hetkisen markkinahinnan mukaan.

Erityinen mielenkiinto keskittyy myös Bermudan optioon, joka on eräänlainen hybridi amerikkalaisesta ja eurooppalaisesta optiosta. Tämä optio voidaan käyttää vain tietyinä ajankohtina, jotka määritellään etukäteen. Bermudan optio yhdistää siis amerikkalaisen option joustavuuden ja eurooppalaisen option tiukemman aikarajoituksen. Se onkin nimetty niin, että se muistuttaa maantieteellisesti "Bermudan kolmion" kaltaista välimuotoa.

Rahoitusinstrumenttien hinnoittelussa ja suojaamisessa (hedging) amerikkalaisia optioita käsitellään usein täydellisissä markkinamalleissa. Täydellisellä markkinalla tarkoitetaan tilannetta, jossa kaikki riskit voidaan kattaa ja hinnoitella tarkasti. Tällöin myyjä voi suojautua optioiden tuottamia maksusuorituksia vastaan käyttämällä sopivaa suojastrategiaa.

Hedging-strategia amerikkalaisen optioiden myyjälle rakentuu usein sen varaan, että myyjä tarvitsee tietyllä hetkellä tietyn määrän pääomaa, jota kutsutaan minimimääräksi. Tämän pääoman on katettava kaikki mahdolliset maksusuoritukset, joita myyjä joutuu suorittamaan, riippuen siitä, milloin ostaja päättää käyttää optiotaan. Pääoman määrää arvioitaessa otetaan huomioon myös mahdolliset tulevat maksut, jotka voivat ilmetä markkinan kehittyessä. Näin ollen pääoman määrä tietyllä hetkellä määräytyy sen hetkisen maksusuorituksen ja tulevien maksujen odotusten perusteella.

Jatkuva tarkastelu ja laskentamallit, kuten Snellin vaipan määritelmä, auttavat myyjää arvioimaan kuinka paljon pääomaa tarvitaan tulevien maksujen katteeksi. Tämä prosessi perustuu ennakoivaan laskentaan ja se mahdollistaa riskin kattamisen täydellisessä markkinamallissa. Snellin vaippa, joka määritellään rekursiivisesti, auttaa myyjää arvioimaan minimimäärän, jota tarvitaan kustannusten kattamiseen kaikilla mahdollisilla ajankohdilla.

On myös huomattava, että tämä teoreettinen malli toimii parhaiten täydellisillä markkinoilla, joissa ei ole hintavapautta tai markkinahäiriöitä. Todellisuudessa markkinat voivat olla epätäydellisiä, ja silloin tarvitaan lisästrategioita riskin kattamiseen.