Miten orbits ja energia käyttäytyvät Kerrin metrikassa ja mitä niiden ymmärtämiseksi on tärkeää tietää?

Kerrin metrikassa, jos $a^2 < m^2$, niin $\Delta r > 0$ tietyissä alueissa $r < r^-$ ja $r > r^+$, joissa $r^\pm$ määritellään (21.58). Välin $r^-$ ja $r^+$ välillä diskreminantti (21.140) on negatiivinen, mikä tarkoittaa, että funktio $R(r)$ ei voi saavuttaa nollaa tällä alueella. Tämä puolestaan tarkoittaa sitä, että $\frac{dr}{ds} \neq 0$, eli pyörivää ratoja ei ole tällä alueella. Tällöin ei myöskään ole käännepisteitä muille radan tyypeille. Keho, joka saapuu alueelle $(r^-, r^+)$ alueelta $r > r^+$, on pakotettu kulkemaan kohti pienempää $r$:tä ja ylittämään $r^-$. Toisin kuin Schwarzschildin tapauksessa, sen ei tarvitse osua singulariteettiin, koska voi olla olemassa käännepiste $r < r^-$. Vastoin tätä, keho, joka saapuu alueelle $(r^-, r^+)$ alueelta $r < r^-$, kulkee kohti suurempaa $r$:tä ja ylittää $r^+$.

Tärkeä käsite on $E_{\text{min}}(r) = E^+(r)$, joka riippuu $aL_z$ -termistä. Kun $aL_z > 0$, kehon radan kulmanmomentti ja gravitaatiokentän lähteen sisäinen kulmanmomentti ovat samansuuntaisia. Tällöin radat ovat suoraviivaisia (direct). Kun taas $aL_z < 0$, nämä kulmanmomentit ovat vastakkaissuuntaisia, ja radat ovat taaksepäin kääntyviä (retrograde). Tämä ero on suhteellisuuden ilmiö, jota Newtonin teoriassa ei ilmene. Newtonin gravitaatiokenttä ei ota huomioon sitä, mihin suuntaan keskikappale pyörii, vaan vain sen, kuinka suuri keskipakoisvoima aiheuttaa epäympäristön muodonmuutoksia. Relaatioteoriassa tämä ero on huomattavasti ilmeisempi.

Seuraavassa tarkastellaan enemmän tietoa radan ominaisuuksista funktion $E_{\text{min}}(r) = E^+(r)$ graafin avulla, kuten kuvassa 21.7. Olemme rajoittuneet tapauskohtaan, jossa $a^2 < m^2$ ja alueeseen $r > r^+$. Jokaiselle radalle on olemassa vakio $E \geq E_{\text{min}}(r)$, joten liikkuvalle keholle sallittu alue on aina $E_{\text{min}}(r)$:n yläpuolella. Tämä tarkoittaa, että energian arvo määrittää sallitun etäisyyden $r$:stä radalla. Erityisesti, kun $L_z = 0$, niin $\frac{d}{dr} \left( \frac{E_{\text{min}}}{\mu_0} \right) > 0$, joten $E_{\text{min}} / \mu_0 < 1$ kaikille $r \geq r^+$. Kuitenkin, kun $|L_z|$ on tarpeeksi suuri, löytyy alue $(r_1, r_2)$, jossa $E_{\text{min}} / \mu_0 \geq 1$ välillä $r^+ \leq r_1 < r_2$ ja $E_{\text{min}} / \mu_0 < 1$ $r > r_2$. Tämä ero käy ilmi erityisesti retrograde-radoilla.

Kun tarkastellaan negatiivisen energian ratoja, on tärkeää muistaa, että liikkuvan hiukkasen momenttivektori on ajallisesti rajallinen, eli $g_{\alpha \beta} p^\alpha p^\beta > 0$. Tämä rajoittaa liikkeen käyttäytymistä Kerrin metrikassa ja vaikuttaa siihen, että negatiivisen energian radat voivat esiintyä vain alueilla, jotka ovat lähellä stationaarista rajapintaa. Tämä asettaa tietyt ehdot negatiivisen energian ratojen olemassaololle.

Mitä tapahtuu, kun geodeettiset käyrät jatkavat matkaansa äärettömyyksiin Kerr-metriikassa?

Kerr-metriikka on yksi tärkeimmistä avaruusaikojen geometrian esimerkeistä, jota käytetään kuvaamaan pyörivää mustaa aukkoa. Sen laajennettu malli tuo esiin monimutkaisia ilmiöitä, jotka liittyvät geodeettisten käyrien, eli avaruusaikateiden, käyttäytymiseen äärettömyyksissä ja horisonteilla. Kerr-metriikassa on erityinen ominaisuus, että geodeettiset käyrät voivat jatkua äärettömyyksiin ilman, että ne kohtaisivat epämääräistä singulariteettia, paitsi siinä tapauksessa, että ne osuvat rengas-singulariteettiin, joka sijaitsee tietyssä pisteessä avaruusaikaa.

Maksimaalinen analyyttinen laajennus, kuten Fig. 21.14:ssä kuvataan, tuo esiin, kuinka geodeettiset käyrät voivat liikkua pitkin horisonteilla, jotka ovat tilassa, jossa r = r±, ja kuinka ne voivat olla jatkuvia äärettömyyksiin saakka. Tämä on mahdollista koordinaatimuutosten avulla, jotka sovitetaan erityisesti sisäänpäin ja ulospäin kulkeville geodeeteille. Geodeettien liikkeet voidaan jakaa eri luokkiin: ne voivat olla aikakoordinaateilla, null-geodeeteilla tai tilakoordinaateilla, ja kaikkia näitä geodeetteja voidaan jatkaa äärettömiin, kunhan ne eivät törmää rengas-singulariteettiin.

Geodeettinen täydellisyys saavutetaan, kun kaikki geodeettiset käyrät voidaan jatkaa äärettömyyksiin ilman esteitä. Tämä voi tapahtua, vaikka Kerr-metriikka itsessään ei ole geodeettisesti täydellinen tiukassa mielessä, sillä tietyt geodeettiset käyrät voivat iskeytyä singulariteettiin rajallisessa affine-parametrissa, mutta toisaalta niitä voidaan käsitellä tietyillä muunnoksilla, jotka mahdollistavat käyrän jatkuvuuden.

Erityisesti null-geodeettien tutkiminen, jotka kulkevat horisonteilla, on merkittävää, sillä nämä geodeetit kulkevat tilassa, jossa r = r± ja Δr = 0, eli eivät muutu avaruusaikahorisontin läpi. Tällaiset geodeettiset käyrät voivat kuitenkin jatkua äärettömyyksiin, kun ne otetaan huomioon koordinaatimuutosten avulla. Tärkeää on huomata, että rajoitteet, jotka liittyvät geodeettien jatkumiseen äärettömyyksiin, voivat liittyä siihen, kuinka nämä käyrät käyttäytyvät horisonteilla ja kuinka ne pääsevät mahdollisesti lähemmäs singulariteettiä, joka saattaa olla esteenä jatkuvuudelle.

Kaiken kaikkiaan geodeettien täydellinen jatkuminen Kerr-metriikassa edellyttää huolellista koordinaattien valintaa ja huomioon ottamista siitä, kuinka geodeettien liikkeet saadaan sovitettua avaruusaikaan ilman, että ne törmäävät singulariteettiin. Tällöin geodeetit voivat edetä äärettömyyksiin ilman esteitä, ja koko avaruusaika saadaan kuvattua jatkuvasti ja täydellisesti.

Miten Einsteinin kenttäyhtälöiden ratkaisut eroavat vaihtoehtoteorioissa?

Yleisellä suhteellisuusteorialla on pitkä historia ja se on edelleen yksi tärkeimmistä fysiikan teorioista. Kuitenkin, kuten monet tutkijat ovat huomanneet, on olemassa useita vaihtoehtoisia gravitaatioteorioita, jotka tarjoavat erilaista lähestymistapaa avaruuden ja ajan luonteeseen sekä gravitaation käyttäytymiseen. Näissä vaihtoehtoteorioissa hyödynnetään peruslähtökohtia, jotka laajentavat tai muuttavat Einsteinin kenttäyhtälöiden rakennetta.

Aluksi tarkastellaan tilannetta, jossa metrisen jännitteen komponentit muuttuvat tietyllä ajankohdalla t = t0. Tällöin voidaan suorittaa matriisimuunnoksia, kuten orthogonaalisia transformaatiota, jotka säilyttävät yksinkertaistettua metrisen kentän komponenttia $g_{KM}(t0)$, mutta samalla myös diagonaalimuotoistavat alkuperäiset matriisit $A_{KL}$. Tämä voi olla tärkeä askel, sillä mahdollisuus diagonaalistaa metriset tensorit riippuu suuresti kenttäyhtälöistä ja alkuperäisistä ehtojen asettamista rajoituksista. Näin ollen, kun $g_{LM}(t)$ on diagonaalinen jollain tietyllä hetkellä, tämä diagonaalisuus säilyy kaikissa myöhemmissä aikapisteissä.

Alternatiiviset gravitaatioteoriat

Vaikka yleinen suhteellisuusteoria on laajasti hyväksytty, on olemassa useita teorioita, jotka tarjoavat vaihtoehtoisia näkökulmia gravitaation ilmiöihin. Brans-Dicken teoria, joka julkaistiin vuonna 1961, on yksi näistä vaihtoehdoista ja se esittää gravitaatiovakion sijaan skaalakentän $\phi$, joka voi vaihdella ajan ja avaruuden suhteen. Tämä poikkeaa merkittävästi yleisestä suhteellisuusteoriasta, jossa gravitaatiovakio on vakio.

Toinen vaihtoehtoteoria on Bergmann-Wagoner teoria, joka on Brans-Dicken teorian laajennus. Siinä on otettu huomioon kaksi muuttujaa, $\lambda(\phi)$ ja $\omega(\phi)$, jotka voivat vaihdella kenttäteorioiden mukaan. Tämä teoria mahdollistaa laajempia variaatioita kuin perinteinen Brans-Dicken malli, mutta se on saanut osakseen vähemmän huomiota johtuen tietyistä rakenteellisista heikkouksista, kuten funktion $\lambda(\phi)$ ja $\omega(\phi)$ määrittelemättömyydestä.

Einstein-Cartan teoria, joka erottuu tavallisista kenttäteorioista, poikkeaa siinä, että se sallii yhteyksien epäsymmetrisyyden. Tällöin Riemannin tensorin laskeminen ei ole tavanomaista, vaan se perustuu täydellisiin epäsymmetrisiin yhteyksiin. Tällöin saadaan erillinen "kiertotensorin" käsite, joka voi selittää pyörimisen ja spinon liittyvät ilmiöt aineessa. Tämä teoria tarjoaa mahdollisuuden singulariteetti-vapaaseen maailmankaikkeuden malliin, joka on yksi sen merkittävistä etuuksista suhteessa tavalliseen yleiseen suhteellisuusteoriaan.

Tärkeää ymmärtää

Erityisesti vaihtoehtoteoriat muistuttavat meitä siitä, että gravitaation luonteen ymmärtäminen ei ole yksiselitteistä. Yleisellä suhteellisuusteorialla on vahva kokeellinen tuki, mutta vaihtoehtoteoriat tarjoavat mahdollisuuden tutkia gravitaation ilmiöitä eri näkökulmista. Tärkeää on ymmärtää, että vaikka useimmat näistä teorioista voivat palautua yleiseen suhteellisuusteoriaan tietyissä rajoissa (kuten Brans-Dicken ja Bergmann-Wagoner teoriat), ne saattavat tarjota myös uusia havaintoja, joita yleinen suhteellisuusteoria ei voi selittää.

Vain kokeelliset havainnot ja testit voivat todentaa, mitkä teorioista ovat kelvollisia. Täten teorioiden testaaminen, kuten valon taivutus auringon gravitaatiokentässä tai Shapiro-aikaviiveen mittaaminen, on olennainen osa gravitaatioteorioiden kehitystä.

Mikä rooli kosmologisilla malleilla on maailmankaikkeuden laajentumisessa ja kiihtyvässä laajentumisessa?

Kosmologisessa tarkastelussa laajentuminen ja sen kiihtyminen muodostavat keskeisiä teemoja, jotka liittyvät universumin rakenteeseen ja käyttäytymiseen ajan kuluessa. Yksi tärkeimmistä teorioista, joka käsittelee maailmankaikkeuden laajenemista, on Friedmannin malli, joka pohjautuu yleiseen suhteellisuusteoriaan ja erityisesti Robertson-Walkerin geometrian käsitteisiin. Nämä mallit, jotka perustuvat alun perin Friedmannin (1922 ja 1924) esittämiin ratkaisuihin, kuvaavat erilaisia universumin evoluutiotapoja riippuen tietyistä tekijöistä, kuten avaruuden kaarevuudesta (k) ja kosmologisesta vakioista (λ).

Ensinnäkin, jos avaruuden kaarevuus on positiivinen (k > 0) ja skaalakerroin R ylittää kriittisen arvon RE, voidaan havaita kaksi mahdollisuutta: joko maailmankaikkeus laajenee asymptottisesti tilasta, jossa R → RE ajassa t → −∞, kohti äärettömän suurta R:ää ajassa t → ∞, tai sitten universumi romahtaa, lähestyen RE:tä ajassa t → ∞. Toisaalta, jos R = RE, saamme staattisen ratkaisun, jota kutsutaan "Einsteinin maailmankaikkeudeksi" (Einstein Universe). Tämä on epästabiili tila, koska pienenkin häiriön seurauksena universumi joko laajenee tai romahtaa.

Jos λ > λE, olipa k:n arvo mikä tahansa, on olemassa malleja, joissa universumi laajenee tai romahtaa monotonisesti. Tällöin laajentuminen tapahtuu kiihtyvällä tahdilla suurilla R-arvoilla, kuten mallissa (5c). Tämä ilmenee graafeista, kuten kuvista 17.3–17.5, joissa kuvataan erilaisia laajenevia ja romahtavia malleja.

ΛCDM-mallissa kosmologinen vakio λ on positiivinen, ja siihen liittyy kylmä tumman aineen (CDM) käsite. Tämä malli ennustaa, että maailmankaikkeus ei ainoastaan laajene, vaan se laajenee kiihtyvällä nopeudella, ja avaruus on tasainen (k = 0). Tämä tarkoittaa, että vaikka universumi laajenee yhä nopeammin, sen geometrian kaarevuus ei muutu. Tämän mallin taustalla on havainnot, kuten tyypin Ia supernovien tutkimukset, jotka osoittivat maailmankaikkeuden laajentumisen kiihtyvän.

ΛCDM-mallin mukaan maailmankaikkeuden laajeneminen on eräänlainen "tasapainotila", jossa universumin laajenemisen kiihtyminen on yhteydessä tumman energian vaikutukseen. Tumman energian rooli on edelleen osittain mysteeri, mutta se voidaan yhdistää kosmologiseen vakioon, joka johtaa kiihtyvään laajenemiseen. Tämä on tärkeää ymmärtää, koska tumman energian vaikutus on keskeinen tekijä nykyisin tunnetussa maailmankaikkeuden käyttäytymisessä.

Friedmannin alkuperäisessä tarkastelussa ei otettu huomioon λ:n merkitystä, eikä hän tarkastellut tilannetta, jossa kaarevuus olisi nolla (k = 0). Tämän vuoksi nykyiset kosmologiset mallit, kuten ΛCDM, tarjoavat paljon laajemman ja tarkemman kuvan universumin kehityksestä, ottaen huomioon kosmologisen vakion ja tumman energian vaikutukset. Universumin laajeneminen kiihtyy, eikä se enää ole pelkästään yksinkertainen laajeneminen tai romahtaminen.

Universumin laajenemisen ennustaminen ei ole yksinkertaista, koska siihen vaikuttavat monet tekijät, kuten avaruuden kaarevuus, kosmologinen vakio ja tumman aineen ominaisuudet. Nämä tekijät yhdessä luovat monimutkaisia malleja, jotka voivat ennustaa universumin tulevaisuutta. Erityisesti tumman energian rooli tekee maailmankaikkeuden tulevaisuudesta ennustamattomamman ja monimutkaisemman. Tämä on keskeinen seikka, joka on otettava huomioon nykyaikaisessa kosmologiassa, ja sitä tutkitaan jatkuvasti uusilla havainnoilla ja teoreettisilla malleilla.