Vortiksiteetti (kiertoliike) ja sen pienet ja suuret mittakaavat ovat keskeisiä käsitteitä, kun tarkastellaan nesteiden liikehdintää erityisesti monimutkaisissa virtausolosuhteissa. Suurten ja pienten mittakaavojen erottelu on olennainen osa niin kutsuttuja suurten pyörteiden (Large Eddy Simulation, LES) malleja, joita käytetään simuloimaan turbulenssia ja sen vaikutuksia suurilla skaalilla. Tämän jakamisen avulla pyritään yksinkertaistamaan monimutkaisia virtausilmiöitä, jotka eivät ole suoraan havaittavissa tai laskettavissa tavanomaisilla menetelmillä.

Vortiksiteetin tasoittaminen ja jakaminen suuriin ja pieniin komponentteihin on luonnollinen lähestymistapa turbulenssin mallintamiseen. Suurten mittakaavojen (ωε) ja pienten mittakaavojen (ω′ε) erottelu voidaan tehdä yksinkertaisella suodattimella (filter), joka erottaa suuret ja pienet osat alkuperäisestä vektori kentästä. Tämän jakamisen taustalla on ajatus siitä, että suurilla skaalalla olevat pyörteet käyttäytyvät suhteellisen yksinkertaisella tavalla, kun taas pienet pyörteet, jotka voivat olla monimutkaisempia ja epävakaampia, saavat aikaan tarkempia vaikutuksia virtausprosessissa. Näiden mittakaavojen välillä oleva vuorovaikutus voi olla hämmentävää, sillä suurten pyörteiden osuus voi pienentyä ajan myötä, ja pienet pyörteet voivat kasvaa suuremmiksi epävakaisuudesta johtuen.

Matemaattisesti tämä voidaan ilmaista seuraavasti:

∂tωϵ+uϵ⋅∇ωϵ−ωϵ⋅∇uϵ−ν∇2ωϵ=rϵ\partial_t \omega_{\epsilon} + u_{\epsilon} \cdot \nabla \omega_{\epsilon} - \omega_{\epsilon} \cdot \nabla u_{\epsilon} - \nu \nabla^2 \omega_{\epsilon} = r_{\epsilon}
∂tωϵ′+uϵ′⋅∇ωϵ′−ωϵ′⋅∇uϵ′−ν∇2ωϵ′=rϵ′\partial_t \omega'_{\epsilon} + u'_{\epsilon} \cdot \nabla \omega'_{\epsilon} - \omega'_{\epsilon} \cdot \nabla u'_{\epsilon} - \nu \nabla^2 \omega'_{\epsilon} = r'_{\epsilon}

Näissä yhtälöissä rϵr_{\epsilon} ja rϵ′r'_{\epsilon} edustavat jäännöksiä, jotka syntyvät suurten ja pienten mittakaavojen vuorovaikutuksesta. Nämä jäännökset ovat usein vaikeasti käsiteltäviä, ja niitä voidaan yrittää sulkea erilaisten mallien avulla. Esimerkiksi voidaan käyttää Reynolds'n jännitystensorin lähestymistapaa tai ottaa käyttöön kommutatorit, mutta ongelma on siinä, että jäännösten käsittely on monimutkaista ja vaatii lisäkehittelyä.

Erityisesti LES-mallissa suuret mittakaavat (ωε) pyritään sulkemaan yksinkertaistamalla jäännöksen muotoa, joka voidaan ilmaista funktiona suuremmista mittakaavoista. Tällöin voidaan postuloida yksinkertaisia malleja pienten mittakaavojen uϵ′u'_{\epsilon} käyttäytymiselle. Tämä lähestymistapa on paikallinen ajassa ja eroaa klassisesta globaalista lähestymistavasta, jossa jäännökset otetaan huomioon kokonaisuudessaan. LES-malli on hyödyllinen, jos sen ratkaisu ωϵ\omega_{\epsilon} on riittävän lähellä alkuperäistä suuremmista mittakaavoista saatua ratkaisua.

Kun tarkastellaan tätä prosessia yksityiskohtaisemmin, voidaan miettiä jäännösten käytön roolia ja niiden vaikutusta mallin tarkkuuteen. Perinteisessä lähestymistavassa jäännöksiä käsitellään globaalisti, mutta toinen malli, jossa suodatin käytetään alkuperäisten ehtojen määrittämiseen, esittelee yksinkertaisemman rakenteen jäännöksille, jotka ovat helpommin hallittavissa ja ymmärrettävissä. Tämä on erityisen tärkeää, koska pienet pyörteet voivat vuorovaikuttaa suurten kanssa, mutta niitä ei voida yksinkertaisesti jäljitellä perinteisillä menetelmillä.

Kun tarkastellaan pienien mittakaavojen pyörteitä, voimme ottaa käyttöön partikkelijärjestelmän näkökulman, joka auttaa selittämään, kuinka pienet pyörteet kehittyvät ajan myötä. Ajatellaan, että pienet pyörteet ovat erillisiä, epäjatkuvia alueita, kuten delta-funktioita tai pilkkomattomia vorteeriblokkeja. Tämä lähestymistapa voi auttaa ymmärtämään pienten pyörteiden vaikutusta kokonaisvirtaustilanteeseen ja antaa intuitiivisen käsityksen niiden käytöstä suuremmassa kontekstissa.

Näin ollen on tärkeää ymmärtää, että vaikka näitä lähestymistapoja voidaan soveltaa yksinkertaisiin tilanteisiin, niiden tarkkuus ja luotettavuus voivat vaihdella riippuen siitä, kuinka hyvin jäännösten vaikutus on suljettu. Pienten mittakaavojen pyörteiden ja suurten mittakaavojen vuorovaikutus voi johtaa mielenkiintoisiin ilmiöihin, joita ei voida helposti selittää yksinkertaisilla malleilla, mutta jotka voivat kuitenkin olla olennaisia virtausilmiöiden kokonaisymmärrykselle.

Miten geometrinen fluidi-dynamiikka ja Euler-Poincaré-lähestymistapa vaikuttavat liikemallien käsittelyyn?

Geometrisessa fluididynamiikassa käsitellään jatkuvia ja ei-loppuväärisiä järjestelmiä, joissa funktioiden avaruus on äärettömän ulottuva. Tällöin on tärkeää ymmärtää, kuinka vuorovaikutukset ja energia jakautuvat avaruudessa, erityisesti silloin, kun mukana on esimerkiksi pyörimisliikettä ja painovoimaa. Geometrinen lähestymistapa, joka pohjautuu L2-pareihin, antaa välineet tutkia tätä vuorovaikutusta matemaattisesti täsmällisellä tavalla. Kun tarkastellaan energian säilymistä ja liikemalleja, huomio on erityisesti siinä, kuinka symmetriat ja ryhmät liittyvät toisiinsa.

Tässä kontekstissa liikkeen kenttä nähdään momentin vastaparina, joka on koordinoitu geometristen välineiden avulla, erityisesti koverkorelaatioiden avulla. Koska työskentelemme litteissä koordinaatistoissa, kuten euklidisessa avaruudessa, vuorovaikutukset voidaan laskea tavallisella sisävektorioperaatiolla ilman, että tarvitsemme Riemann- metriikkaa, joka on tavallisesti tarpeen monimutkaisemmissa geometristen rakenteiden kentissä. Jos ympäristö pyörii tasaisesti, voidaan yksinkertaisesti lisätä pyörimisliikkeen indusoima vektorikenttä liikemäärän kenttään. Planeetta-asteikolla sentrifugaalivoima on kuitenkin niin pieni, että sitä voidaan usein jättää huomiotta.

Potentiaalienergia puolestaan kuvaa niitä energiamuotoja, jotka vaikuttavat fysikaalisiin prosesseihin systeemissä. Yleisesti ottaen potentiaalienergia on seurausta gravitaatiosta. Tässä tapauksessa on tarpeen laajentaa vektoriavaruuden kenttiä niin sanotuksi puolivälituotteeksi, jotta voidaan ottaa huomioon potentiaalienergian vaikutus. Tämä puolivälituote, eli semidirect-product Lie-algebrat, syntyy, koska potentiaalienergian ottaminen huomioon rikkoo aiempia symmetrioita. Tästä seuraa, että partikkelien uudelleenmerkitsemiselle tarkoitetun symmetriaryhmän rakenne on pienempi, ja se on huomioitava myöhemmässä vaiheessa.

Kun tarkastellaan liikeyhtälöiden johtamista Lagrange-formulasta, huomio on tärkeää antaa myös partikkelien uudelleenmerkitsemissymmetriassa. Tämä symmetria mahdollistaa vähennetyn variatiivisen periaatteen soveltamisen, joka on alun perin kehitetty Marsdenin ja Weinsteinin toimesta, ja myöhemmin analysoitu Holm et al. työssä. Tässä tapauksessa symmetria ei ole enää vapaasti vaihteleva, vaan sen soveltaminen on sidottu tietyille diffeomorfismiryhmille, mikä rajoittaa sen sovellettavuutta ja käyttöä.

Eulero-Poincaré-lähestymistapa, joka on laajennus perinteiselle Euler-Lagrange-kaavalle, ottaa huomioon sen, että symmetrian ryhmä voi olla rajoitettu ja erityisesti partikkelien uudelleenmerkitsemiselle asetetut rajoitukset vaikuttavat liikeyhtälöiden saamiseen. Tämä lähestymistapa mahdollistaa monimutkaisempien dynaamisten systeemeiden tarkastelun, joissa perinteiset menetelmät eivät riitä. Eulero-Poincaré-periaatetta sovelletaan erityisesti, kun halutaan vähentää symmetrian vaikutuksia liikeyhtälöihin ja löytää yksinkertaisempia ja tehokkaampia ratkaisuja.

Tässä kontekstissa on tärkeää ymmärtää, kuinka Lagrangen ja Hamiltonin lähestymistavat yhdistyvät, ja miten niiden avulla voidaan löytää ratkaisumalleja, jotka eivät ole pelkästään teoreettisia vaan myös käytännöllisesti sovellettavissa. Kun tarkastellaan advetoituja määriä, kuten lämpötilaa, magneettikenttää tai tiheyttä, ne ovat tietyntyyppisiä tensorikenttiä, jotka seuraavat tiettyjä sääntöjä ja lakeja. Nämä kentät voivat olla nollamuotoja (kuten lämpötila), kaksi-muotoja (kuten magneettikenttä) tai top-muotoja (kuten tiheys kolmiulotteisessa avaruudessa). Kenttien dynamiikka voidaan kuvata semidirect-product-ryhmän kautta, joka huomioi diffeomorfismien ja vektoriavaruuden välisten vuorovaikutusten kompleksisuuden.

Muutaman tärkeän käsitteen huomioiminen on tarpeen tässä yhteydessä. Ensinnäkin, vaikka tämä lähestymistapa tarjoaa välineet monimutkaisten systeemien mallintamiseen ja analysoimiseen, on tärkeää muistaa, että symmetriat ja rajoitukset voivat vaikuttaa huomattavasti järjestelmän käyttäytymiseen. Toiseksi, fysikaaliset ja matemaattiset käsitteet, kuten advetointi, Lie-derivaatat ja symmetriat, saattavat olla haastavia ymmärtää ilman perusteellista taustatietoa, joten näiden käsitteiden syvällinen ymmärtäminen on välttämätöntä täydellisen kuvan saamiseksi systeemin dynamiikasta.

Miten tuulet, sedimentit ja geologiset prosessit muokkaavat planeettojen pinnanmuotoja?
Miten lantion ja yläraajan lihaksisto ja anatomiset rakenteet vaikuttavat kehon toimintaan?
Miksi pistetulo on niin keskeinen yhteys matematiikan ja todellisen maailman välillä?
Miten teknologia ja inhimillinen kokemus kietoutuvat toisiinsa
Miten haponkaivoksen valumat vaikuttavat ympäristöön ja talouteen?