Aksioomien (NM1)–(NM3) täyttyessä (ℓ∞(N), dN∞) on metriikkatila. Tässä, dN∞ (x, y) määritellään sup-arvona:

dN∞(x,y)=sup⁡k∈N0∣xk−yk∣NdN∞(x, y) = \sup_{k∈N_0} |x_k − y_k|_N

Tätä voidaan jatkaa seuraavasti:

dN∞(x,y)=sup⁡k∈N0∣xk−zk+zk−yk∣N≤sup⁡k∈N0∣xk−zk∣N+sup⁡k∈N0∣yk−zk∣N=dN∞(x,z)+dN∞(z,y)dN∞(x, y) = \sup_{k∈N_0} |x_k − z_k + z_k − y_k|_N \leq \sup_{k∈N_0} |x_k − z_k|_N + \sup_{k∈N_0} |y_k − z_k|_N = dN∞(x, z) + dN∞(z, y)

Tästä seuraa, että aksiooma (NM3) on voimassa. Tällöin ℓ∞(N) on metriikkatila, joka täyttää kaikki tarvittavat aksioomat. Seuraavaksi tutkitaan ℓ∞(N)-avaruuden täydellisyyttä.

Oletetaan, että (xm) on Cauchy-jono ℓ∞(N)-avaruudessa, jossa:

dN∞(xm,xn)=sup⁡k∈N0∣xmk−xnk∣N<ϵdN∞(x_m, x_n) = \sup_{k∈N_0} |x_{m_k} − x_{n_k}|_N < \epsilon

on voimassa kaikilla m, n > n0, missä n0 on riittävä suurempi arvo. Tällöin voidaan osoittaa, että jokaiselle kiinteälle k ∈ N0 ja kaikille m, n > n0 pätee:

∣xmk−xnk∣N<ϵ|x_{m_k} − x_{n_k}|_N < \epsilon

Tämä tarkoittaa, että (xm) on Cauchy-jono ei-Newtonilaisille reaaliluvuille kullekin kiinteälle k ∈ N0. Koska R(N) on täydellinen metriikkatila, niin jokainen tällaisten sekvenssien raja-arvo on olemassa ja konvergoituu. Tämä johtaa siihen, että sekvenssi (xm) konvergoi jonkin x = (x1, x2, ..., xk, ...) arvoon ja x kuuluu ℓ∞(N)-avaruuteen.

Sekvenssin täydellisyys voidaan todeta seuraavasti. Oletetaan, että jono (xm) on Cauchy-jono ja jokaiselle k ∈ N0 saamme seuraavan raja-arvon:

∣xk−xmk∣N≤ϵ|x_k − x_{m_k}|_N \leq \epsilon

Tämä osoittaa, että (xm) konvergoituu kohti raja-arvoa x, ja koska (xm) oli mielivaltainen Cauchy-jono, ℓ∞(N) on täydellinen metriikkatila. Tämän vuoksi ℓ∞(N), c(N) ja c0(N) ovat Banach-tiloja.

Tämä tulos laajentaa käsitystämme siitä, miten ei-Newtonilaiset tilat, kuten ℓ∞(N) ja sen alaryhmät c(N) ja c0(N), voivat olla täydellisiä metriikkatiloja. Näiden tilojen täydellisyys on tärkeää, sillä se antaa mahdollisuuden käsitellä monimutkaisempia ei-Newtonilaisia analyyseja, kuten konvergenssia ja raja-arvoja.

Seuraavaksi voidaan tutkia ℓp(N)-avaruuden täydellisyyttä, jossa p ≥ 1. Tällöin määritellään metriikka dNp seuraavasti:

dNp(x,y)=(∑k∣xk−yk∣Np)1/pdNp(x, y) = \left( \sum_{k} |x_k − y_k|^p_N \right)^{1/p}

Tämä metriikka johtaa siihen, että ℓp(N) on täydellinen metriikkatila, kun p ≥ 1. Tällöin voidaan osoittaa, että ℓp(N)-avaruus on myös Banach-tila.

Lopuksi, voidaan siirtyä tutkimaan erikoistuneempia ei-Newtonilaisia sekvenssivälejä, kuten ω∗, ℓ∗∞, c∗ ja c∗0, ja niiden vastaavia tuloksia. Tällöin tarkastellaan, kuinka nämä tilat muodostuvat ja miten niiden ominaisuudet eroavat klassisista ei-Newtonilaisista tiloista, kuten ℓ∞, c ja c0. Tässä yhteydessä voidaan tutkia, miten ∗-laskennan avulla voidaan laajentaa perinteisiä käsitteitä ja käyttää niitä analyyttisissä sovelluksissa, kuten derivoitumisessa ja integraalilaskennassa.

Yksi tärkeä lisätarkastelu liittyy siihen, että vaikka ei-Newtonilaiset tilat tarjoavat syvemmän käsityksen sekvenssien konvergenssista ja raja-arvoista, niiden soveltaminen vaatii huolellista ymmärrystä perusperiaatteista, kuten ei-Newtonilaisista operaattoreista, joita käytetään aritmeettisten toimien määrittämiseen. Näiden tilojen käsittelyssä on oleellista osata hyödyntää niin sanottuja generaattoreita, jotka luovat aritmeettisia operaatioita, kuten α-lisäyksiä, α-vähennyksiä, α-kerroinlaskuja ja α-jakoja.

Miten ∗-funktiosequenssit ja niiden raja-arvot määritellään ei-Newtonilaisessa laskennassa?

∗-laskenta, joka poikkeaa perinteisestä Newtonilaisesta laskennasta, tuo esiin mielenkiintoisia käsitteitä ja teoreemoja, kuten ∗-konvergenssi ja ∗-raja-arvot. Tämä lähestymistapa, joka perustuu β-konvergenssiin ja α-partitiota käyttäviin funktiosequensseihin, on omiaan avaamaan uusia mahdollisuuksia erityisesti sellaisille alueille, joissa perinteinen laskenta ei riitä tai ei ole täysin sovellettavissa.

Kun tarkastellaan ∗-funktiosequenssia, joka määritellään α-partitiolla, on tärkeää ymmärtää, että tämä laskentamenetelmä käyttää keskiarvoja, jotka ovat jonkinlaisten osajoukkojen yhdistelmiä. Tällöin voidaan määritellä myös ∗-raja-arvo tälle sekvenssille. Esimerkiksi, jos funktiosequenssi {fk(x)} määritellään alueella S ⊆ R(N)α ja on β-konvergoiva tietyllä x0 ∈ S, niin funktiosequenssin raja-arvo on yksikäsitteinen ja sitä voidaan käsitellä β-lähestymistapana.

Yksi keskeinen teoreema, joka liittyy tähän käsitteeseen, on ∗-laskennan ensimmäinen ja toinen peruslause, jotka voidaan esittää ilman tarkempaa todistusta, mutta niiden merkitys on syvällinen. Ensimmäinen peruslause sanoo, että jos f on ∗-jatkuva tietyllä alueella [r, s], ja jos g(x) määritellään ∗-integraalin avulla, niin sen derivaatta on sama kuin alkuperäinen funktio f. Toisen peruslauseen mukaan, jos h on ∗-jatkuva ja sen derivaatta on olemassa, niin ∗-integraali h(x):n osalta antaa tuloksen h(s) - h(r).

∗-laskennassa esiintyy myös se, että kun funktiosequenssi konvergoi tietyllä alueella, tämä konvergenssi ei aina ole yhtenäinen. Tämä tarkoittaa, että vaikka funktiosequenssi konvergoi tietyssä pisteessä, se ei välttämättä konvergoi yhtä nopeasti koko alueella. Tämä on erityisen tärkeää, kun tarkastellaan ∗-funktiosequenssia, joka voi olla epätasapainossa ja sen rajakäyttäytyminen voi poiketa perinteisistä funktiosequensseista.

Esimerkiksi, jos funktiosequenssi {fk(x)} on määritelty tietyllä alueella, mutta sen raja-arvo ei ole ∗-jatkuva, tämä voi tarkoittaa, että vaikka yksittäiset funktiot ovat jatkuvia, itse raja-arvo ei välttämättä ole jatkuva. Tämä ilmiö on erityisen tärkeä, kun käsitellään erikoistapauksia, joissa tarvitaan tarkempaa analyysia ja syvällisempää ymmärrystä siitä, kuinka sekvenssit käyttäytyvät tietyissä rajoissa.

Toinen tärkeä huomio on, että ∗-konvergenssi voi olla joko pistekohtaisesti konvergoivaa tai yhtenäisesti konvergoivaa. Pistekohtainen konvergenssi tarkoittaa sitä, että funktiosequenssi konvergoi raja-arvoon yksittäisissä pisteissä, mutta tämä ei takaa, että konvergenssi olisi samankaltainen koko alueella. Yhtenäinen konvergenssi puolestaan varmistaa, että funktiosequenssin konvergenssi tapahtuu tasaisesti kaikilla alueen pisteillä, mikä on olennainen ero verrattuna perinteiseen konvergenssiin.

Matemaattisessa mallinnuksessa, erityisesti silloin kun käsitellään ei-Newtonilaisia alueita ja sekvenssejä, nämä käsitteet tarjoavat tarkempaa ja monivivahteisempaa analyysia. Esimerkiksi funktiosequenssi {fk(x)} voidaan määritellä niin, että sen raja-arvo f(x) voi olla hyvin erilainen kuin yksittäisten funktioiden käyttäytyminen. Tämä on erityisen hyödyllistä sovelluksissa, joissa tarvitaan dynaamisia laskelmia ja joidenkin osatekijöiden on muutosrajan lähellä oltava tarkempia.

Tärkeää on myös ymmärtää, että vaikka ∗-konvergenssi on hyödyllinen työkalu monissa tapauksissa, se ei ole aina riittävä. On olemassa erityistapauksia, joissa ∗-konvergenssi ei takaa halutun tuloksen saavuttamista. Esimerkiksi, vaikka funktiosequenssi {fk(x)} olisi ∗-konvergoiva tietyssä pisteessä, sen raja-arvo saattaa olla epäjatkuva. Tämä saattaa aiheuttaa ongelmia, erityisesti silloin, kun pyritään tekemään tarkkoja ja luotettavia laskelmia tietyllä alueella, kuten fysiikassa tai taloustieteessä.

Tämän vuoksi on tärkeää, että matemaattisia malleja ja laskentateorioita käyttäessä otetaan huomioon myös ∗-laskennan rajoitteet ja varmistetaan, että konvergenssiin liittyvät käsitteet ovat oikein ymmärrettyjä ja sovellettuja.

Kuinka tekoäly ja etäaistinta mullistavat tarkkuusmaatalouden?
Miten käsitellä seksuaalisia ongelmia vammautumisen jälkeen?
Miten yhteiskunnallinen konteksti vaikuttaa ohjelmistoprojekteihin ja miten sitä voidaan mallintaa?
Miksi meitä huolestuttaa tekoälyn kehittyminen kohti yleistä tekoälyä ja sen jälkeen keinoälyä, joka ylittää ihmisen kyvyt?