Miten geometristen ominaisuuksien avulla voidaan luonnehtia arbitraasin vapaiden mallien joukkoja?

Oletetaan, että $\mu$ on Borel-ennustetodennäköisyysmitta $\mathbb{R}^d$ :ssä, ja tutkitaan sen tukijoukon $\text{supp}(\mu)$ ja sen konveksin kuoren $\Gamma(\mu)$ geometrista merkitystä. Tämä käsite auttaa määrittämään arbitraasin vapaiden mallien määritelmiä ja niiden ominaisuuksia. Arbitraasi tarkoittaa käytännössä mahdollisuutta hyödyntää hinnoittelun epäjohdonmukaisuuksia voiton saamiseksi ilman riskiä. Seuraavassa tarkastelemme, kuinka geometristen välineiden avulla voidaan tunnistaa, milloin malli on arbitraasin vapaa ja kuinka se liittyy mittausten tukijoukkoihin ja konvekseihin joukkoihin.

Tukijoukon ja konvekseiden joukkojen merkitys

Propositio 1.47 osoittaa, että jokaiselle Borel-ennustetodennäköisyysmittalle $\nu$ olemassa on pienin suljettu joukko $S \subset \mathbb{R}^d$ , joka täyttää ehdon $\nu(S^c) = 0$ , jossa $S^c$ on joukon $S$ komplementti. Tätä joukkoa kutsutaan mitta $\nu$ tukijoukoksi, joka voidaan karakterisoida seuraavasti: $\text{supp}(\nu)$ on yksikäsitteinen suljettu joukko, joka täyttää nämä ehdot, ja se täyttää myös ominaisuuden, että $\nu(G \cap S) > 0$ kaikille avoimille joukoille $G \subset \mathbb{R}^d$ , joissa $G \cap S \neq \emptyset$ . Tämä tarkoittaa, että tukijoukko on se pienin suljettu alue, johon mitta on "keskittynyt" ja jolle mitta ei anna nollaa.

Tämä pohjimmiltaan tarkoittaa, että tukijoukko $\text{supp}(\nu)$ antaa meille käsityksen siitä, missä alueilla todennäköisyysmitta on merkittävä, ja se on hyödyllinen erityisesti, kun tarkastellaan arbitraasin vapauden kysymyksiä. Jos jollain alueella mitta $\nu$ ei ole "tukena", se voi tarjota tietoa siitä, miten markkinoiden hinnoittelu voisi olla epäjohdonmukainen.

Konvekseiden joukkojen geometristen ominaisuuksien hyödyntäminen

Kun tarkastellaan mittaa $\mu$ , sen konveksi kuori $\Gamma(\mu)$ on pienin konveksi alue, joka sisältää $\text{supp}(\mu)$ . Tätä geometrista käsitettä voidaan käyttää myös arbitraasiin liittyvissä kysymyksissä, koska se auttaa määrittämään mahdollisten "realististen" hinnoittelumallien rajoja. Esimerkki 1.48 havainnollistaa, kuinka konveksi kuori voi olla ratkaiseva arbitraasin tunnistamisessa: kun mitta $\mu_1$ on $\frac{1}{2} (\delta_{ -1} + \delta_{1})$ , sen tuki on $\{ -1, 1\}$ , ja sen konveksi kuori on $[-1, 1]$ . Tämä esimerkki auttaa ymmärtämään, että arbitraasin vapaus voidaan havaita, kun mukana on konveksi kuori, joka kattaa mahdolliset arvot.

Barysentroidien rooli arbitraasin vapauden määrittämisessä

Teoreema 1.51 antaa tarkan geometristen ominaisuuksien kuvauksen arbitraasin vapaista malleista. Teoreeman mukaan todennäköisyysmitta $\nu$ , joka on ekvivalentti $\mu$ :n kanssa, on barysentroidi, jos ja vain jos se kuuluu konveksi kuoren $\Gamma(\mu)$ suhteelliseen sisäpuoleen $\text{ri}(\Gamma(\mu))$ . Tämä tarkoittaa sitä, että arbitraasin vapaiden mallien joukko $M_b(\mu)$ ja $M(\mu)$ ovat tarkalleen ottaen yhtä kuin $\text{ri}(\Gamma(\mu))$ .

Tämä tulos voi tuntua abstraktilta, mutta se tuo esiin tärkeän ominaisuuden: arbitraasin vapaan mallin määrittäminen ei ole pelkästään matemaattista manipulointia, vaan se voidaan tarkastella geometristen joukkojen avulla, jotka kertovat meille, millä alueilla ei ole mahdollisuutta hyödyntää markkinoiden hinnoittelun epäjohdonmukaisuuksia. Kun mallin hinta ei osu tälle geometristen rajojen alueelle, voidaan sanoa, että se ei sisällä arbitraasia.

No-arbitraasi ehto ja sen merkitys

Tärkeä osa arbitraasin vapauden geometrista määrittelyä on myös niin kutsuttu "no-arbitrage" -ehto, joka liittyy suoraan geometristen joukkojen rakenteeseen. Kun $0 \in \text{ri}(\Gamma(\mu))$ , se tarkoittaa, että markkinoilla ei ole mahdollisuuksia tehdä arbitraasia. Tämä ehto voidaan esittää matemaattisesti muodossa:

\xi \cdot y \geq 0 \text{ lähes varmasti } y:lle \Rightarrow \xi \cdot y = 0 \text{ lähes varmasti } y:lle

Tämä ehto on keskeinen, koska se varmistaa, että ei ole olemassa sellaista suuntaa $\xi$ , jonka mukaan olisi mahdollista hyödyntää hintaeroja markkinoilla ilman riskiä.

Geometristen käsitteiden rooli arbitraasin vapaiden mallien analysoinnissa

Näiden geometristen käsitteiden, kuten tukijoukon ja konvekseiden kuorien, avulla voidaan tarkasti määrittää, milloin markkinat ovat arbitraasin vapaita. Tämän ymmärtäminen on olennaista sekä teoreettisten että käytännön sovellusten kannalta, sillä se antaa meille välineet arvioida markkinoiden hinnoittelun johdonmukaisuutta ja ennustaa mahdolliset epäjohdonmukaisuudet. Arbitraasi vapauden ja geometristen joukkojen välinen yhteys avaa uusia näkökulmia sekä rahoitusteoriaan että markkinan dynamiikan ymmärtämiseen.

Heikosti sekventiaalisesti kompakti L1-tilassa

Kokoelma $D$ on ilmiselvästi konveksi ja suljettu L1-tilassa. Tämän seurauksena $D$ on myös heikosti suljettu L1:ssä H.7 lauseen mukaan. Seuraavaksi osoitamme, että funktio $F$ on heikosti alasementtinen $D$ :ssä. Tätä varten huomaamme ensin, että jos $Z \in L^\infty$ , niin kartta $L_1 \ni X \mapsto \mathbb{E}[ZX]$ on (heikosti) jatkuva lineaarinen funktionaali L1:ssä H.5 lauseen mukaan. Lisäksi C.5 lauseen mukaan, jos $\varphi \in D$ , niin $F(\varphi) = \mathbb{E}[\varphi \log \varphi] = \sup_{Z \in L^\infty} (\mathbb{E}[Z \varphi] - \log \mathbb{E}[e^Z])$ . Tämän seurauksena $F$ on heikosti alasementtinen, koska se on heikosti jatkuvien funktionaalien supremumi.

Funktion $F$ heikko alasementtisyyttä seuraa, että tasonjoukko $\{\varphi \in D \mid F(\varphi) \leq \alpha \}$ on heikosti suljettu L1:ssä kaikille $\alpha \geq 0$ . Lisäksi de la Vallée-Poussin -kriteeri, joka on esitetty H.16 lauseessa, osoittaa, että tasonjoukko on myös yhtenäisesti integroitu. Eberlein–Šmulianin ja Dunford–Pettisin lauseiden soveltaminen H.13 ja H.19 lauseiden mukaan vie todisteeseen loppuun.

Exponentialinen hyötyfunktio ja suhteellinen entropia ovat keskeisiä elementtejä optimaalisten päätösten teossa stokastisessa ympäristössä. Tässä yhteydessä voidaan tarkastella myös eräitä keskeisiä lauseita, kuten Teoreema 3.24, joka perustuu huomiin, jotka on esitetty Huomautuksessa 3.23. Väite pitää paikkansa kaikille $m \in \text{ri} \Gamma(\mu)$ , missä $\mu = P \circ Y^{ -1}$ . Lausekkeiden (3.13) ja (3.12) mukaan jää todistettavaksi, että

\inf H(Q|P) \leq \sup_{\lambda \in \mathbb{R}^d} \left( \lambda \cdot m - \log Z(\lambda) \right)

tällöin $\mathbb{E}_Q[Y] = m$ . Oikean puoleinen lauseke on Fenchelin–Legendre-muunnos konveksista funktiosta $\log Z$ kohdassa $m$ , jota merkitsemme $(\log Z)^*(m)$ .

Kun $m$ ei kuulu $\Gamma(\mu)$ :n sulkeumaan, Proposition 1.52:n mukaan ei ole olemassa $Q \ll P$ siten, että $\mathbb{E}_Q[Y] = m$ , jolloin vasemmanpuoleinen lauseke on äärettömän suuri. Näytämme myös, että oikeanpuoleinen lauseke on myös äärettömän suuri. Tämä saavutetaan soveltamalla erotteluhyperpinnan lauseketta Proposition A.5:n muodossa, mikä tuottaa jonkin $\xi \in \mathbb{R}^d$ , joka täyttää $\xi \cdot m > \sup_{x \in \Gamma(\mu)} \xi \cdot x \geq \sup_{x \in \text{supp} \mu} \xi \cdot x$ .

Jos taas $m \in \Gamma(\mu) \setminus \text{ri} \Gamma(\mu)$ ja $(\log Z)^*(m) < \infty$ , voidaan todistaa, että

\limsup_{n \to \infty} H(P_{\lambda_n}|P) = \limsup_{n \to \infty} (\log Z)^*(m_n) \leq (\log Z)^*(m).

Tämä puolestaan tarkoittaa, että $H(P_{\lambda_n}|P)$ on ykkösellä rajoitettu ja Lemma 3.25:n mukaan, jos tarpeen, voidaan valita sopiva alijono, jonka jälkeen tiheyksien $\frac{dP_{\lambda_n}}{dP}$ heikko konvergenssi L1:ssä vie lopputulokseen, jossa $\frac{dP_{\infty}}{dP}$ konvergoi heikosti L1:ssä ja $H(P_{\infty}|P) \leq (\log Z)^*(m)$ .

Tämän teoreeman osoittaminen edellyttää, että voidaan varmistaa, että $\mathbb{E}_{\infty}[Y] = m$ . Tätä varten määrittelemme

\gamma := \sup_n (\log Z)^*(m_n),

joka on äärettömän pieni ei-negatiivinen luku lauseen (3.18) mukaan. Tämä lähestymistapa vie meidät tarvittavaan päätelmään, että optimaalinen $X^*$ on muotoa $X^* = I(c \varphi)$ , jossa $c$ on skalaari ja $\varphi$ on tiheysfunktio.

Kuinka hiukkasen liike ja törmäykset mallinnetaan suljetussa tilassa: kaksi tasoa ja heijastukset
Miten verkko- eli kommunikaatiokerros mahdollistaa IoT-järjestelmien toimintakyvyn ja haasteet?
Miten avoin lähdekoodi voi vaarantaa tekoälyn turvallisuuden ja kehityksen?
Miten kloonata kasveja ja viljellä ilman maata: Käytännön ohjeet ja lisähuomiot
Miten kehittää vastuullista ohjelmistosuunnittelua?