Markkinan täydellisyyden käsite liittyy keskeisesti siihen, kuinka hyvin markkinoilla voidaan hinnoitella erilaisia, tulevaisuudessa realisoituvia maksuvelvoitteita eli niin sanottuja ehtoturvaväitteitä (contingent claims). Täydellisessä markkinassa on mahdollista muotoilla ja hinnoitella jokainen mahdollinen ehtoturvaväite, ja se mahdollistaa myös riskittömän kaupankäynnin. Tällaisella markkinalla on tiettyjä ominaisuuksia, joita tarkastellaan tarkemmin tässä yhteydessä.

Arbitraasin, eli mahdollisuuden hyödyntää markkinoiden virheitä ilman riskiä, ei pitäisi esiintyä täydellisessä markkinassa. Arbitraasivapaan markkinan tunnistaminen on olennainen osa tätä pohdintaa, koska se mahdollistaa luotettavan hinnoittelun ja tasapainon löytämisen. Teoreettisesti arbitraasin vapautta voidaan kuvata seuraavasti: jos markkinoilla on arbitraasia, on mahdollista tehdä kaupankäyntiä, joka tuottaa voittoa ilman riskiä. Tämä puolestaan tarkoittaa, että markkinat eivät ole täydellisiä, sillä täydellisillä markkinoilla arbitraasi on mahdotonta.

Arbitraasivapauden ja täydellisyyden tarkastelussa voidaan hyödyntää matemaattisia malleja, kuten riskineutraalien mittareiden P∗. Riskineutraali mittari mahdollistaa hinnan määrittämisen niin, että se heijastaa oikeudenmukaista arvoa ilman ennakoitavissa olevaa riskiä. Tällöin hinnan muutos ei ole sidottu yksittäisten markkinatoimijoiden subjektiivisiin odotuksiin vaan on määritetty täysin markkinahintojen ja riskittömien omaisuuserien avulla. Riskineutraalilla mittarilla pyritään siis poistamaan kaikki riskin mahdollistamat hinnanmuutokset, jolloin markkinahinnan voidaan katsoa olevan "oikea" ja vapaa arbitraasista.

Arbitraasivapauden malli voidaan tarkastaa myös ehtoturvaväitteiden avulla, jotka voidaan saavuttaa markkinoilla. Esimerkiksi lineaariset yhtälöt, jotka kuvaavat tiettyjen ehtoturvaväitteiden hinnoittelua, voidaan ratkaista, ja näiden ratkaisujen kautta voidaan määrittää markkinan täydellisyys. Jos markkinalla on mahdollisuus hinnoitella kaikki ehtoturvaväitteet yksiselitteisesti ja ilman riskiä, voidaan sanoa, että markkinat ovat täydelliset. Täydellisyys voidaan todeta myös esimerkiksi ottamalla huomioon riskineutraalit mittarit ja arvioimalla, kuinka hyvin ne voivat ennustaa tiettyjen ehtoturvaväitteiden tulevaisuuden arvon.

Esimerkiksi optioiden hinnoittelu on yksi tapa havainnollistaa täydellisten markkinoiden rakennetta. Jos sijoittaja haluaa ostaa riskialttiin omaisuuserän ja samalla suojata itsensä tietyltä riskiltä, voi hän käyttää optioita, jotka voivat muuttaa riskin ja tuoton välistä suhdetta. Jos optiota myydään markkinoilla, voidaan sen hinta laskea erilaisten riskineutraalien mittareiden ja markkinahintojen avulla. Näin voidaan määrittää, mikä on oikeudenmukainen hinta optiolle, ja poistaa markkinoiden epätasapainot, jotka voisivat johtaa arbitraasiin.

Toisaalta, jos markkinoilla on tiettyjä rajoituksia, jotka estävät ehtoturvaväitteiden täydellisen hinnoittelun, voidaan markkinoiden täydellisyys kyseenalaistaa. Tämä tilanne voi johtaa siihen, että tietyt ehtoturvaväitteet eivät ole saavutettavissa. Näitä tilanteita voidaan käsitellä ja tutkia tarkemmin laskennallisilla malleilla, jotka kuvaavat, kuinka täydelliset markkinat voivat hinnoitella kaikki mahdolliset tulevaisuuden riskit.

Käytännössä täydellisten markkinoiden malli voi tarjota merkittävän edun sijoittajille ja markkinatoimijoille, sillä se takaa, että kaikki riskit ja mahdollisuudet voidaan hinnoitella ja arvioida tarkasti. Tässä kontekstissa on myös tärkeää ymmärtää, että täydellisten markkinoiden teoria voi poiketa todellisuudesta, jossa markkinat ovat usein epätäydellisiä ja joissa on mahdollisuus arbitrageen. Tästä syystä markkinan täydellisyys on enemmän teoreettinen käsite, joka tarjoaa perustan riskinhallintaan ja optimaalisille sijoitusstrategioille, mutta todellisessa maailmassa markkinat voivat olla alttiita erilaisille häiriöille ja epävarmuuksille.

Miten Black-Scholes-malli määrittelee Eurooppalaisen osto-option hinnan?

Black-Scholes-malli tarjoaa analyyttisen tavan arvioida Eurooppalaisten osto-optioden hintoja ja liittyy läheisesti dynaamiseen arbitraasimalliin. Optiohinnan määrittäminen perustuu moniin parametreihin, kuten osakkeen nykyhintaan S0S_0, aikahorisonttiin tt, volatiliteettiin σ\sigma ja korkotasoon rr. Tämän lisäksi malli perustuu laskennallisiin menetelmiin, jotka käyttävät Brownin liikkeen ominaisuuksia sekä osakkeen hinnan log-normaalijakaumaa.

Yksi keskeisimmistä elementeistä, joita tarkastellaan Black-Scholes-hinnan määrittämisessä, on sen käyttäytyminen volatiliteetin ja muiden mallin parametrien suhteen. Esimerkiksi, kun volatiliteetti σ\sigma kasvaa kohti äärettömyyttä, Eurooppalaisen osto-option hinta lähestyy ylemmän arbitraasirajan, joka on itse osakkeen hinta xx. Toisaalta, kun volatiliteetti pienenee kohti nollaa, option hinta lähestyy alempaa arbitraasirajaa (x−e−rTK)+(x - e^{ -rT}K)^+, missä KK on option toteutushinta ja TT on optioajan jäljellä oleva aika.

Erityisesti malli tuo esiin dynaamisen hedging-strategian merkityksen, joka perustuu option hinnan muutosten seuraamiseen. Black-Scholes-hinnassa ensimmäinen derivaatta osakkeen hinnan xx suhteen, joka tunnetaan nimellä Delta, antaa suoran näkemyksen siitä, kuinka paljon optiohinta muuttuu osakkeen hinnan muuttuessa. Tämä määräytyy seuraavasti:

Δ(x,t)=∂υ(x,t)∂x=Φ(d+(x,t)),\Delta(x, t) = \frac{\partial \upsilon(x, t)}{\partial x} = \Phi(d_+(x, t)),

missä Φ\Phi on normaalijakauman kumulatiivinen jakauma. Tämä derivaatta määrittää, kuinka paljon osakkeen hinnan muutokset vaikuttavat option hintaan ja auttaa määrittämään optimaalisen hedging-portfolion.

Delta on kuitenkin vain yksi osa kokonaisuutta. Toinen tärkeä tekijä on option Gamma, joka mittaa Delta-arvon muutoksen nopeutta suhteessa osakkeen hinnan muutoksiin:

Γ(x,t)=∂Δ(x,t)∂x=∂2υ(x,t)∂x2=ϕ(d1(x,t))1xσt,\Gamma(x, t) = \frac{\partial \Delta(x, t)}{\partial x} = \frac{\partial^2 \upsilon(x, t)}{\partial x^2} = \phi(d_1(x, t)) \frac{1}{x \sigma \sqrt{t}},