Arbitraasivapaa markkinamalli on sellainen, jossa ei voida löytää strategiaa, joka tuottaa riskitöntä voittoa. Täydelliset markkinamallit eroavat arbitraasivapaista malleista siinä, että niissä kaikki mahdolliset contingent claims (eli ehdolliset vaateet) voidaan saavuttaa tai hinnoitella tarkasti. Toisin sanoen, täydellisessä markkinassa kaikki mahdolliset johdannaiset, riippumatta niiden monimutkaisuudesta tai tarkemmista ehdoistaan, voidaan muodostaa olemassa olevista kaupankäynnin instrumenteista, eikä markkinassa ole epäselvyyksiä hinnoittelussa. Tässä tarkastelemme tarkemmin, mitä täydellinen markkinamalli tarkoittaa ja miten se voidaan määritellä matemaattisesti.

Kun tarkastellaan esimerkiksi yksittäistä riskillistä omaisuuserää, kuten osaketta S, jonka arvo on jollain hetkellä tietyllä tasolla, voidaan esittää useita skenaarioita, joiden mukaan sen tulevaisuuden arvo määräytyy. Markkinassa, jossa kaikki mahdolliset johdannaiset ovat saavuttamattomia, voi syntyä arbitraasia. Tällöin markkinahinnan ja johdannaisen hinnoittelun väliin jää aukko, joka mahdollistaa riskittömän voiton tekemisen. Täydellisessä markkinassa kuitenkin kaikki tällaiset aukot suljetaan, eikä jää mahdollisuuksia arbitraasille.

Täydellisen markkinan käsitteen ymmärtäminen perustuu siihen, että kaikki satunnaiset tapahtumat, joita markkinassa voi tapahtua, voidaan mallintaa tietyllä tavalla. Jos markkinamalli on täydellinen, niin jokaiselle satunnaiselle tapahtumalle tai vaihtoehtoiselle skenaariolle on olemassa markkinahintainen johdannainen, joka vastaa tarkasti tätä tapahtumaa. Matemaattisesti tämä tarkoittaa sitä, että on olemassa vain yksi riskineutraali todennäköisyysmitta, joka määrittää kaikki markkinan hinnat. Tämä on keskeinen osa niin sanottua "toista peruslauseketta" omaisuuserien hinnoittelussa.

Markkinamallin täydellisyys ja riskineutraali mitta

Perustavassa mielessä täydellinen markkinamalli on sellainen, jossa kaikki mahdolliset johdannaiset voidaan saavuttaa kaupankäynnissä. Jos markkina on täydellinen, voidaan osoittaa, että siinä on vain yksi riskineutraali todennäköisyysmitta, eli P on yksilöllinen. Tämä tarkoittaa, että kaikki tapahtumat, kuten osakkeiden hinnan nousut ja laskut tietyissä skenaarioissa, voidaan mallintaa samalla todennäköisyysmittauksella, ja kaikkien johdannaisten hinnoittelu voidaan tehdä johdonmukaisesti. Tämä yksilöllinen riskineutraali todennäköisyysmitta antaa markkinalle erittäin selkeän rakenteen ja estää arbitraasin syntymisen.

Johdannaisten hinnoittelu täydellisessä markkinassa

Täydellisessä markkinassa johdannaisten hinnoittelussa on omat sääntönsä ja rajoituksensa. Esimerkiksi, jos markkinoilla on optioita, joiden perustana on osakkeen hinta, niiden hinnoittelu on sidottu riskineutraaliin mittaukseen. Tämä mittaus määrittelee, kuinka paljon maksaa optio, kun otetaan huomioon osakkeen odotettu kehitys ja markkinan riskit. Täydellisessä markkinassa optioiden hinnoittelu on siis yksiselitteistä, eikä siihen liity epäselvyyksiä, kuten se voisi olla epätäydellisessä markkinassa.

Esimerkiksi, jos meillä on kaksi erilaista optiota, joiden toteutushinnat ovat eri tasoilla, niiden hinnat on johdettu tarkasti markkinoilla olevista hinnoista. Optioiden hinnoittelussa näkyy selkeästi, että ei ole mahdollista luoda arbitraasistrategiaa, jossa voitaisiin hyötyä hinnoitteluerosta. Tässä esimerkissä optioiden hinnoittelua voidaan arvioida markkinoiden yksilöllisen riskineutraalin mittauksen avulla.

Markkinan rakenne ja atomit

Täydellisen markkinan malli voidaan myös vähentää vähäiseen määrään mahdollisia skenaarioita. Tämä tarkoittaa sitä, että markkinassa on vain rajallinen määrä atomisia tiloja, joita voidaan käyttää mallintamiseen. Atomit ovat sellaisia tapahtumaryhmiä, joiden todennäköisyys on suurempi kuin nolla, ja joissa kaikki alitapahtumat voivat joko tapahtua kokonaan tai ei ollenkaan. Jos markkinassa on n atomia, niin markkina voidaan kuvata n-ulotteisella avaruudella, ja kaikki tapahtumat voidaan mallintaa näiden atomien avulla. Tässä mielessä täydellinen markkinamalli on "yksinkertainen", koska se voidaan kuvata tietyllä määrällä perustavanlaatuisia skenaarioita.

Koko markkinan rakenne

Täydellisen markkinan ymmärtäminen ei ole vain teoreettinen harjoitus, vaan sillä on käytännön merkitystä rahoitusinstrumenttien hinnoittelussa. Markkinan täydellisyys takaa, että kaikki arvopaperit ja johdannaiset voidaan hinnoitella tietyllä tavalla, ja tämä malli voidaan käyttää apuna taloudellisten instrumenttien arvioinnissa. Täydelliset markkinat voivat kuitenkin olla harvinaisia, ja usein markkinoiden epätäydellisyydet voivat vaikuttaa hinnoitteluun ja mahdollistaa arbitraasin.

On myös tärkeää huomioida, että vaikka markkinat voivat teoriassa olla täydellisiä, käytännössä markkinoiden rakenteet voivat olla monimutkaisempia, ja täydellisen mallin käyttö ei aina ole mahdollista. Tämä tekee markkinan täydellisyyden käsitteen mielenkiintoiseksi ja tärkeäksi osaksi rahoitusteoriaa ja arvopaperimarkkinoiden analyysiä.

Miten lainsäädännöllinen riskimittaus liittyy kvantileihin ja ehtohinnanodotukseen?

Lainsäädännölliset riskimittarit, kuten coherent-risk-mittarit, ovat keskeisiä rahoituslaskennassa ja riskien hallinnassa. Näiden mittareiden avulla pystytään arvioimaan ja vertailemaan eri sijoitusten, vakuutusten tai finanssituotteiden riskejä tarkasti ja objektiivisesti. Yksi mielenkiintoinen näkökulma lainsäädännöllisissä riskimittareissa on niiden riippuvuus jakaumien kvantileista. Tällä lähestymistavalla pyritään ymmärtämään, kuinka riskimittarit voivat olla yhteydessä erilaisiin kvantiliin, ja kuinka ne voivat reagoida satunnaisuuden muutoksiin.

Tarkastellaan ensin riskimittaria AV@Rλ(X)AV@R_\lambda(X), joka on yksi esimerkki lainsäädännöllisestä riskimittarista. Tämän riskimittarin avulla voidaan arvioida rajoitetun riskin omaavan sijoituksen arvoa, missä λ\lambda on riskiin liittyvä parametri. Matemaattisesti riskimittari voidaan esittää muodossa:

AV@Rλ(X)=sup⁡μ∈M1([0,1])∫01∫(0,1]AV@Rλ(X)μ(dλ)dμ(s)AV@R_\lambda(X) = \sup_{\mu \in M_1([0,1])} \int_0^1 \int_{(0,1]} AV@R_\lambda(X) \mu(d\lambda) d\mu(s)

Tässä yhteydessä μ\mu on satunnaisuusmuu, joka kuvaa satunnaismuuttujan jakauman. Lainsäädännölliset riskimittarit ovat erityisen tärkeitä, koska ne pystyvät yhdistämään satunnaisuusjakaumat ja riskimittarit yhdeksi laskennalliseksi työkaluksi.

Erityisesti mielenkiintoista on se, että riskimittarit voivat toimia kvantileilla määriteltyjen funktioiden kautta. Esimerkiksi, jos satunnaismuuttujan jakauma μ\mu on tunnettu, niin kvantili-funktio q(t)q(t) voidaan määritellä seuraavasti:

q(t)=∫(1−t)s−1μ(ds)q(t) = \int (1 - t)^{s-1} \mu(ds)

Tämä kvantili-funktio tuottaa riskimittarin, joka on lainsäädännöllinen ja lailla-invariantti. Lailla-invariantit riskimittarit ovat sellaisia mittareita, jotka eivät riipu itse satunnaismuuttujan muuttujista, vaan vain sen jakaumasta. Tämä ominaisuus on erityisen tärkeä, sillä se takaa riskin arvioinnin johdonmukaisuuden riippumatta siitä, kuinka satunnaismuuttuja on määritelty.

Seuraavaksi käsitellään law-invariantteja riskimittareita. Lainmukaisuus tarkoittaa sitä, että riskimittarit eivät muutu riippuen siitä, kuinka sattuman jakautuminen esitetään. Tämä voidaan esittää seuraavasti:

ρ(X)=sup⁡∫01AV@Rλ(X)μ(dλ)\rho(X) = \sup \int_{0}^1 AV@R_\lambda(X) \mu(d\lambda)

Tässä μ\mu on todennäköisyysjakauma ja XX on satunnaismuuttuja. Tällä tavalla saamme täydellisen kuvauksen lainsäädännöllisestä riskimittarista, joka voidaan yhdistää satunnaismuuttujan jakaumaan ja sen kvantileihin.

Erityisesti lainsäädännöllinen riskimittari ρ on monotoninen, eli se kasvaa tai pienenee sen mukaan, kuinka satunnaismuuttujan jakauma muuttuu. Tämä on tärkeä ominaisuus, sillä se varmistaa, että riskimittari toimii loogisesti riskin arvioinnin kannalta. Kuten laissa sanotaan, jos μ≻iν\mu \succ_i \nu, niin ρ(Xμ)≤ρ(Xν)\rho(X_\mu) \leq \rho(X_\nu). Tämä tarkoittaa, että jos jakauma μ\mu on enemmän riskialtis kuin jakauma ν\nu, niin riskimittari ρ(Xμ)\rho(X_\mu) on suurempi kuin ρ(Xν)\rho(X_\nu).

Lainmukaiset riskimittarit ovat myös dilatation-monotoneja, mikä tarkoittaa, että ne voivat pienentää satunnaisuuden vaikutuksia, erityisesti, kun tarkastellaan ehdollisia odotuksia. Tässä yhteydessä on tärkeää huomioida, että

ρ(E[X∣G])≤ρ(X)\rho(E[X | G]) \leq \rho(X)

Tämä tarkoittaa, että ehdollinen odotus pienentää riskin arviointia verrattuna alkuperäiseen satunnaismuuttujaan XX.

Kun tarkastellaan erityisesti joustavaa riskimittaria ρμ(X)=∫AV@Rλ(X)μ(dλ)\rho_\mu(X) = \int AV@R_\lambda(X) \mu(d\lambda), voidaan huomata, että tämä riskimittari toimii Choquet-integralina, jossa μ\mu on todennäköisyysjakauma ja AV@RλAV@R_\lambda on lainsäädännöllinen riskimittari. Choquet-integraalit ovat tehokas työkalu arvioitaessa riskin mittaamista erityisesti silloin, kun otetaan huomioon epäsymmetrinen riskinjakautuminen.

Choquet-integrali voidaan määritellä seuraavasti:

ρμ(X)=∫01ψ(P(A))μ(dλ)\rho_\mu(X) = \int_{0}^{1} \psi(P(A)) \mu(d\lambda)

Tässä ψ\psi on kupera funktio ja P(A)P(A) on satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma.

Tämän analyysin perusteella voidaan tehdä johtopäätöksiä riskimittareiden dynamiikasta ja siitä, kuinka ne voivat tarjota syvällisen ymmärryksen satunnaismuuttujien jakaumien ja riskin välisistä suhteista. Lainsäädännölliset riskimittarit tarjoavat tarkan ja johdonmukaisen tavan arvioida ja vertailla erilaisten sijoitusten ja rahoitustuotteiden riskejä, ja ne ovat oleellinen työkalu finanssimaailman riskienhallinnassa.

Miten McLaurin-laajennuksia voidaan käyttää funktion jatkuvuuden määrittämiseen?
Miten vastuullinen ohjelmointi vaikuttaa teknologian kehitykseen ja yhteiskuntaan?
Velázquez ja hänen mestariteoksensa "Las Meninas": Taiteilijan matka yhteiskunnallisen aseman saavuttamiseen
Miten opettaa ja harjoitella englantia lapsille: tehokkaat menetelmät ja käytännön ohjeet
Miten oikea alastulo ja kehon asento voivat parantaa paljasjalkajuoksua?