Miten jatkuvat numeeriset esitykset liittyvät mieltymysjärjestyksiin?

Olkoon $X$ topologinen avaruus ja oletetaan, että siihen liittyy jatkuva mieltymysjärjestys $\succ$, joka on määritelty kaikille sen pisteille. Olkoon $Z \subset X$ tiheä joukko, jolloin on mahdollista määrittää numeerinen esitys, joka vastaa mieltymysjärjestystä tietyllä tiheällä osajoukolla $Z$. Tällöin voidaan käyttää seuraavaa väitöstä:

Tämä väite osoittaa, että jatkuvuus ja tiheys ovat ratkaisevia tekijöitä, kun tarkastellaan numeerisia esityksiä, jotka vastaavat mieltymysjärjestyksiä. Käytännössä tämä tarkoittaa sitä, että jos mieltymysjärjestys on määritelty jollain tiheällä osajoukolla ja se on jatkuva, niin koko avaruudessa voidaan määrittää vastaava numeerinen esitys.

Tämä on tärkeää, sillä se tukee ajattelutapaa, jossa taloudelliset päätökset voidaan mieltää todennäköisyysjakaumina eri skenaarioiden joukossa. Näin ollen voidaan tarkastella niitä mieltymyksiä, jotka liittyvät riskitilanteisiin ja valintoihin, jotka vaikuttavat taloudellisiin päätöksiin. Jatkuvat numeeriset esitykset mahdollistavat mieltymyksille vastaavan arvon määrittämisen, mikä tekee päätöksenteosta johdonmukaisempaa ja ennakoitavampaa.

Lisäksi voidaan tarkastella seuraavaa teoreemaa, joka käsittelee von Neumannin–Morgensternin esitystä, joka on keskeinen osa päätöksenteon mallintamista todennäköisyysjakaumien avulla:

Teoreema 2.15. Olkoon $X$ topologinen avaruus, joka täyttää ainakin yhden seuraavista kahdesta ominaisuudesta:

• $X$:llä on laskettava pohja avoimille joukoille.

• $X$ on separoitu ja yhdistettävä.
  

  Tällöin jokainen jatkuva mieltymysjärjestys $\succ$ avaruudessa $X$ hyväksyy jatkuvan numeerisen esityksen.

Tämä teoreema osoittaa, että tietyt topologiset ominaisuudet, kuten yhdistettävyys ja separoituvuus, ovat tärkeitä siinä, että voidaan määrittää numeerinen esitys jatkuvalle mieltymysjärjestykselle. Tämä on olennaista, koska se mahdollistaa yksinkertaisten todennäköisyysjakaumien käsittelemisen ja analysoinnin, mikä puolestaan tarjoaa taloudellisille toimijoille mahdollisuuden tehdä rationaalisia valintoja epävarmoissa tilanteissa.

Von Neumannin–Morgensternin esitys on erityisen tärkeä, koska se tarjoaa tavan muuntaa mieltymyksiä numeerisiksi funktioiksi, joita voidaan käyttää todennäköisyyksien ja riskien arviointiin. Esimerkiksi, jos taloudellinen toimija kohtaa kaksi vaihtoehtoista sijoitusmahdollisuutta, joissa molemmilla on tietyt riskit ja tuotto-odotukset, voidaan käyttää von Neumannin–Morgensternin esitystä vertaillakseen niitä numeerisesti ja tehdä päätös, joka maksimoi toimijan hyötyä.

Tällainen numeerinen esitys on affine, mikä tarkoittaa sitä, että se säilyttää tietynlaiset suhteet, kuten lineaariset yhdistelmät. Tämä on keskeistä, koska affine-esitykset mahdollistavat sen, että mieltymysjärjestys säilyy, vaikka valintojen välillä tehdään painotettuja yhdistelmiä.

Vielä eräänä keskeisenä periaatteena on Archimedeen aksiooma, joka puolestaan liittyy siihen, miten mieltymykset reagoivat pieniin muutoksiin. Jos esimerkiksi kolme vaihtoehtoa $\mu \succ \lambda \succ \nu$ ovat valittavissa, niin on aina olemassa pienet painotukset, kuten $\alpha$ ja $\beta$, jotka mahdollistavat sen, että valinta $\alpha \mu + (1 - \alpha) \nu$ on parempi kuin $\lambda$, mutta huonompi kuin $\beta \mu + (1 - \beta) \nu$. Tämä aksiooma luo yhtenäisyyden tunteen ja mahdollistaa sen, että valintojen välillä voi tehdä pieniä säätöjä ilman, että se häiritsee koko päätöksentekoprosessia.

Miten optiot ja niiden yhdistelmät voivat luoda monimutkaisempia tuottoja?

Optiot, kuten call- ja put-optioiden yhdistelmät, tarjoavat rahoitusmarkkinoilla laajan valikoiman strategioita ja suojauksia. Yksi keskeinen tekijä optioiden kaupankäynnissä on se, että ne voivat olla johdannaisia, jotka perustuvat eri taloudellisiin kohteisiin kuten osakkeisiin, valuuttoihin ja futuureihin. Optioiden tuotto, joka voi olla joko rajallinen tai rajaton, määräytyy aina niin kutsutun "strike-hinnan" K ja kohde-etuuden hinnan, Si, mukaan.

Kun tarkastellaan optioiden käyttöä sijoitusstrategioina, voidaan huomata, että osakkeet, valuutat ja muut taloudelliset kohteet voivat muodostaa niin sanotun "underlying assetin" eli optioiden perusteena olevan omaisuuden. Tämä voi olla myös useiden omaisuuserien yhdistelmä, kuten osakeindeksit tai ETF:t (Exchange-Traded Funds). Esimerkiksi S&P 500 -indeksi, joka koostuu noin 500:sta suurimmasta yrityksestä Yhdysvalloissa, on likvidi optiokohde, jonka optiot voivat olla joko käteisellä ratkaistuja (kuten indeksi itsessään ei ole suoraan kaupankäynnissä) tai ne voivat olla fyysisesti toimitettavia, kuten osake-ETF:n osalta.

Yksi tärkeä piirre optioiden kaupassa on niin sanottu "multiplikointikerroin", joka kertoo kuinka monta osaketta optiokauppa kattaa. Esimerkiksi osakeoptioissa tämä kerroin on usein 100, jolloin yksi optiokauppa vastaa 100 osaketta kohde-etuudesta.

Optioiden hinnoittelu on tärkeää, sillä optiot, kuten put- ja call-option yhdistelmät, voivat mahdollistaa monimutkaisempia strategioita. Esimerkiksi "married put" on strategia, jossa sijoittaja ostaa put-option osakkeen suojaamiseksi alaspäin suuntautuvilta liikkeiltä, mutta osake osallistuu edelleen sen mahdolliseen nousuun. Tällöin sijoittaja maksaa premiumin (hinnoittelun) saadakseen suojaa, mutta samalla hyötyy osakkeen noususta.

Toinen esimerkki on niin sanottu "covered call", jossa sijoittaja omistaa osakkeen ja myy call-option sen suojelemiseksi ja samalla ansaitsee optioiden myyntihinnan. Tämä strategia on suosittu osakkeen omistajille, jotka haluavat saada tuloa omistamastaan omaisuudesta, mutta samalla rajoittavat mahdollisen nousun tuoton optioiden myyntihinnoilla.

Monimutkaisempia optiostrategioita ovat myös straddle ja iron condor. Straddle on yhdistelmä sekä put- että call-optioita samalla strike-hinnalla ja se on suosittu silloin, kun uskotaan kohde-etuuden hinnan liikkuvan merkittävästi, mutta ei tiedetä suuntaa. Iron condor taas on yhdistelmä bear-put spreadiä ja bull-call spreadiä ja se perustuu siihen, että hinta jää tietyn alueen sisälle.

Tärkeää on ymmärtää, että nämä strategiat ja optioiden yhdistelmät tarjoavat sijoittajille tehokkaita välineitä suojautua markkinoiden epävarmuudelta tai hyötyä markkinoiden liikkeistä. Optioiden käyttö voi kuitenkin olla monimutkaista ja vaatii perusteellista ymmärrystä markkinakäyttäytymisestä, hinnanmuodostuksesta ja riskienhallinnasta. On tärkeää huomioida, että vaikka optiot voivat luoda mahdollisuuksia merkittäviin tuottoihin, ne voivat myös kasvattaa riskejä, jos niitä ei käytetä hallitusti.

Miten määritetään johdannaisten reilut hinnat ja estetään arbitraasi?

Johdannaismarkkinoiden hinnoittelu ja arbitraasin poistaminen ovat keskeisiä teemoja taloustieteellisessä ja rahoitusalan tutkimuksessa. Arbitraasi tarkoittaa tilannetta, jossa markkinoilla on mahdollisuus tehdä riskitöntä voittoa hyödyntämällä hintojen eroja eri markkinoilla tai tuotteissa. Arbitraasin poistaminen on elintärkeää talouden vakauden ja markkinoiden tehokkuuden kannalta. Erityisesti johdannaisinstrumenttien hinnoittelussa on tärkeää ymmärtää, miten oikeat hinnat määritetään, jotta arbitraasi voidaan estää.

Esimerkissä 1.27 tarkastellaan tilannetta, jossa johdannainen V = ξ ⋅ S voi ottaa myös negatiivisia arvoja. Tällöin portfolion, joka saattaa sisältää myös lyhyitä positioita, voidaan käsitellä käyttäen jatkuvia funktioita. Kun otetaan huomioon, että funktio h: ℝ → ℝ on konveksi, voidaan esittää, että eksponentiaalinen ja ei-konveksi funktio voidaan realisoida käyttäen joukkovelkakirjalainoja, etuoikeusoptiota ja yhdistelmää ostettavista ja myytävistä optioista. Tällöin h(V) voidaan esittää seuraavasti:

Kun h on mikä tahansa kahdesti jatkuvasti derivoituva funktio, voidaan edellä esitetty kaava edelleen laajentaa, jolloin saadaan ensimmäisen kertaluvun Taylorin laajennus, jonka jäännöstermi on esitetty integraalimuodossa:

Tämä kaava on käytännössä ensimmäisen kertaluvun Taylorin laajennus, jonka avulla voidaan tarkastella johdannaisinstrumentin hinnoittelua, jossa arvonmuutokset esitetään lineaarisina korjauksina lähtöarvosta.

Esimerkki 1.28 havainnollistaa käänteisen konvertoitavan lainan (reverse convertible bond) hinnoittelun. Tämä instrumentti maksaa korkoa, joka on suurempi kuin riskittömän velkakirjan korko. Erityisesti erääntymispäivänä, t = 1, liikkeeseenlaskija voi konvertoida lainan etukäteen määrättyyn määrään osakkeita, sen sijaan että maksaisi lainan nimellisarvon käteisenä. Tällöin sijoitus on vastaava kuin tavallisen velkakirjan osto ja optioiden myynti. Näin ollen johdannaisinstrumentin arvo voidaan mieltää osakkeiden hinnan laskennan ja riskittömän sijoituksen yhdistelmänä.

Vakuutusyhtiöiden riskejä voidaan myös siirtää rahoitusmarkkinoille esimerkiksi katastrofirahastoilla. Tällöin vakuutusyhtiö voi maksaa suurempaa korkoa, jos tietty poikkeuksellinen tapahtuma ei toteudu. Tämä esimerkki osoittaa, kuinka vakuutusyhtiöt voivat käyttää rahoitusmarkkinoita riskien siirtämiseen ja tuottojen lisäämiseen.

Tähän mennessä olemme käsitelleet vain perusvarojen hinnoittelua. Kysymys on kuitenkin, miten johdannaisten hinnoittelu tehdään oikeudenmukaisesti, eli miten löydämme sellaisia hintoja, jotka eivät johda arbitraasiin. Tähän liittyvä tärkeä periaate on se, että johdannaisen kauppahinta πC on mahdollinen vain, jos markkinamalli ei sisällä arbitraasia. Tällöin voidaan määrittää johdannaisen reilut hinnat ja sulkea pois arbitraasi mahdollisuus.

Tämä voidaan tehdä seuraavasti:

Tässä yhteydessä käy ilmi, että jos alkuperäinen markkinamalli on arbitraasi-vapaa, niin myös johdannaisten hinnoittelu voidaan tehdä ilman arbitraasiin liittyviä ongelmia. Jos markkinat eivät ole arbitraasi-vapaita, voidaan käyttää riskineutraaleja mittauksia, jotka ottavat huomioon riskit ja tuottavat reiluja hintoja, jotka estävät arbitraasin.