Riskimittarit ovat keskeinen osa rahoitusmarkkinoiden analyysiä, erityisesti optioiden hinnoittelussa ja johdannaiskaupassa. Ne tarjoavat arvokasta tietoa siitä, miten markkinahäiriöt voivat vaikuttaa sijoitusten arvoon ja kuinka ne voivat auttaa hallitsemaan mahdollisia tappioita. Tässä yhteydessä on tärkeää ymmärtää riskimittareiden käytön perusperiaatteet, erityisesti niiden rooli riskin arvioinnissa ja varallisuuden suojaamisessa. Erityisesti, kun tarkastellaan rahoitusinstrumentteja, kuten optioita ja johdannaisia, riskimittarit auttavat arvioimaan hinnoittelun oikeellisuutta ja mahdollisia epälineaarisia käyttäytymismalleja.

Riskimittareiden kenttä on laaja, ja siihen liittyy monia matemaattisia malleja ja teoreettisia käsitteitä. Esimerkiksi Black-Scholesin kaava on yksi tunnetuimmista ja laajimmin käytetyistä malleista optioiden hinnoittelussa. Sen avulla voidaan arvioida Eurooppalaisen osto-option hintaa tietyissä markkinaolos

Miten concave-vääristymät liittyvät riskiarviointiin ja taloudellisiin mittareihin?

Jatkamme tarkastelua funktiolla ψ, joka määrittää käänteisesti oikealle jatkuvan ja vähenevän funktion, ja tutustumme sen rooliin riskin mittaamisessa taloudellisessa kontekstissa. Aluksi määritämme ψ(0) = 0 ja saamme näin aikaan kasvavan, mutta kupera-funktion välillä [0, 1]. Tämän lisäksi on huomattava, että ψ(0+) = 1 − μ((0, 1]) = μ({0}). Käänteisesti, jos ψ on annettu, niin ψ+ (t) on vähenevä oikealle jatkuva funktio välillä (0, 1) ja se voidaan kirjoittaa muodossa ψ+ (t) = ν((t, 1]) jollekin positiiviselle Radonin mitalle ν välillä (0, 1]; ks. Huomautus D.8.

Tässä vaiheessa määritämme μ funktion (0, 1] välillä siten, että μ(dt) = t ν(dt). Tällöin saamme lausekkeen (4.71) ja Fubinin lauseen avulla seuraavan integraalin:

1μ((0,1])=∫∫1{t≤x}dx+∫ψ(P[X>x])dx.1 \mu((0, 1]) = \int \int 1_{ \{ t \leq x \}} dx + \int ψ(P[ X > x ]) dx.

Tästä eteenpäin keskitymme riskin arvioinnin määrittelemiseen käyttäen Fubinin lauseen soveltamista ja taloudellisten funktioiden erityispiirteiden tutkimista. Jos oletetaan, että X ≥ 0, niin saamme seuraavan yhtälön:

q+X(t)=sup⁡{x≥0∣FX(x)≤t}=∫1{FX(x)≤t}dx.q+ X (t) = \sup \{ x \geq 0 \mid F_X(x) \leq t \} = \int 1_{ \{ F_X(x) \leq t \}} dx.

Tässä FXF_X on X:n kertymäfunktio. Käyttämällä Fubinin lauseen ja sen seurausta, saamme seuraavanlaisen ilmaisun:

∫qX(t)ψ′(1−t)dt=∫∫1{FX(x)≤1−t}ψ(t)dtdx.\int qX(t)ψ'(1 − t) dt = \int ∫ 1_{ \{ F_X(x) \leq 1 − t \}}ψ(t) dt dx.

Tämän jälkeen saamme seuraavan muodon riskimittarille:

1∫qX(t)ψ′(1−t)dt=∫ψ(1−FX(x))dx−ψ(0+)esssup⁡X.1 \int qX(t)ψ'(1 − t) dt = \int ψ(1 − F_X(x)) dx − ψ(0+) ess \sup X.

Tämä todistaa toisen identiteetin, erityisesti kun X ≥ 0, sillä ψ(0+) = μ({0}) ja ess supX = AV@R0(−X).

Jos X on rajattu funktio L∞L^\infty, otetaan huomioon X + C, jossa C:=−ess infXC := − \text{ess inf} X. Käytettäessä riskimittarin kasvuinvarianttia ominaisuutta saamme seuraavat ilmaisut:

∫ψ(P[X>x])dx+∫ψ(P[X>x])dx−C.\int ψ(P[X > x]) dx + \int ψ(P[X > x]) dx - C.

Tämä tulos viittaa siihen, että voimme käyttää riskin arvioinnissa tuloa, joka määritellään kovariantisti.

Esimerkki 4.77 osoittaa, että riskimittari AV@Rλ voidaan esittää muodossa ρμ\rho_\mu, jossa μ = δλ. Tämä esitys antaa meille tavan ymmärtää riskin arviointi λ-parametrin avulla, ja se esitetään seuraavalla tavalla:

AV@Rλ(−X)=λ∫P[X>x]∧λdx.AV@Rλ(−X) = λ \int P[X > x] ∧ λ dx.

Tämän lisäksi voidaan käyttää muita esityksiä riskimittareiden arvioinnissa, kuten corollari 4.78. Tässä todetaan, että jos μ({0}) = 0, niin riskimittari voidaan esittää seuraavalla tavalla:

ρμ(X)=−∫qX(φ(t))dt,ρμ(X) = −\int qX(φ(t)) dt,

missä φ on ψ:n käänteisfunktio.

Aiheeseen liittyvää on myös se, kuinka distortion-funktiot vaikuttavat taloudellisiin riskiarvioihin. Funktio cψ(A) = ψ(P[A]) määrittelee todennäköisyysmittarin distortionin ψ:n avulla. Distortion-funktio ψ on nouseva funktio, joka täyttää ehdon ψ(0) = 0 ja ψ(1) = 1. Tämä toiminto liittyy seuraaviin käsitteisiin:

  • Monotoonisuus ja normalisointi: cψ on monotooninen, jos c(A) ≤ c(B) kaikille A ⊆ B ja se on normalisoitu, jos c(0) = 0 ja c(Ω) = 1.

  • Alimman ja ylimmän riskin mittaaminen: distortiota käytetään myös arvioitaessa riskin ylittävää todennäköisyyttä ja sen vaikutusta eri taloudellisissa malleissa, joissa funktiot voivat olla joko submodulaarisia tai voimakkaasti alisummittavia.

Kun tarkastellaan psykologisia ja taloudellisia tekijöitä, distortion-funktioiden vaikutus on laajempi kuin vain riskin arvioinnissa. Näiden funktioiden avulla voidaan mallintaa taloudellisten päätösten taustalla olevia epävarmuuksia ja asenteita riskeihin. Lisäksi ne vaikuttavat siihen, kuinka todennäköisyyksiä ja odotusarvoja tulisi painottaa erilaisissa taloudellisissa ympäristöissä, joissa epävarmuus on merkittävä tekijä.

Miten eri pintaaktiivisten aineiden käyttö orgaanisessa faasissa vaikuttaa kalvojen morfologiaan ja suorituskykyyn?
Miten fuzzy-logiikkaa voidaan soveltaa lääkeaineiden eliminaation mallintamiseen?
Miten Mughalin valtakunnan taide ilmentää valtaa ja realismia: Akbarin norsutarina ja Caravaggion chiaroscuro
Miten pienet kielimallit eroavat suurista kielimalleista ja miksi ne ovat tärkeitä?
Miten tekoälyn neuroverkot toimivat ja miksi ne ovat tärkeitä