Theaetetoksen lause, joka käsittelee suuruuksien suhteita, esittää keskeisen haasteen paitsi matematiikassa myös Platonin filosofiassa. Tämä lause, joka on esitetty Theaetetus-dialogin kohdassa 147d3-e1, on saanut ristiriitaisia aritmeettisia todistuksia eri aikakausilta, ja nämä erimielisyydet vaikuttavat syvällisesti sekä kreikkalaisen matematiikan kehitykseen että Platonin ajatteluun. Erityisesti Euclidoksen teoksessa Elementit (Propositio X.9) esitetty todistus on osoittautunut puutteelliseksi ja virheelliseksi. Sen täsmällinen tarkastelu ja korjaaminen valaisevat paitsi matemaattisia perusteita myös niitä filosofisia kysymyksiä, jotka liittyvät mittasuhteisiin ja incommensurabiliteettiin (mittaamattomuuteen).

Euclidoksen virheellinen todistus perustuu oletukseen, että jos kahden viivan pituudet a ja b ovat yhteismitallisia, niin myös niiden neliöt a² ja b² ovat yhteismitallisia. Kuitenkin, mikäli a² ja b² eivät ole yhteismitallisia, tällöin viivat a ja b eivät ole yhteismitallisia. Tämä logiikka on kuitenkin puutteellinen, sillä todistus ei täsmällisesti määrittele "sekoitettua" suhdetta, joka on keskeinen osa alkuperäistä Theaetetoksen käsitystä suhteista.

Toinen ongelma Euclidoksen todistuksessa on se, että se ei käsittele sekoitettuja suhteita (mixed proportions) riittävästi. Euclidoksen kirjassa X, Propositio 5 ja 6, käsitellään sekoitettuja suhteita, mutta niitä ei määritellä tarpeeksi tarkasti. Tällöin todistuksessa ilmenee logiikan aukko, joka vaikuttaa sen pätevyyteen. Tähän ongelmaan on kuitenkin olemassa ratkaisu. Korjattu todistus perustuu siihen, että määritellään sekoitettu suhde aritmeettisesti, ja tällä tavoin saadaan selkeät ja järkevät johtopäätökset Theaetetoksen lauseesta.

Täsmällinen määritelmä sekoitetulle suhteelle, joka todennäköisesti oli Theaetetoksen oma, on seuraava: Jos a ja b ovat suuruuksia ja m ja n ovat lukuja, suhde a/b = m/n pätee, jos Anth(a, b) = Anth(m, n). Tämä määritelmä avaa tietä oikealle ja täsmälliselle todistukselle, jossa m²c²/n²c² = m²/n², ja näin voidaan päätellä, että a²/b² = m²/n², jolloin tämä suhde ei ole ristiriitainen. Koko prosessi on matemaattinen ja aritmeettinen.

Euclidoksen todistuksessa on vielä yksi keskeinen vaikeus: sekoitetun suhteen käsittely ei ole riittävän tarkkaa, ja tämä vaikuttaa siihen, että todistus ei ole riittävän jämäkkä. Euclidoksen osoittama yhtälö, jossa neliöiden suhde on toisenlaista kuin neliöiden suhteiden, jää epämääräiseksi ja ristiriitaiseksi ilman tarkempaa määrittelyä. Ratkaisuna on vedota Propositioon VIII.8, joka sanoo, että jos kahden luvun välillä on k keskimääräistä suhteellista arvoa, niin samat suhteet pätevät myös muihin lukuihin, joilla on sama suhde alkuperäisiin lukuihin. Tämä mahdollistaa sen, että voidaan todeta, että C ja A omistavat myös keskimääräisen suhteen M, joka on AC = M². Koska AC ei ole neliöluku, saamme tässä kohtaa ristiriidan, joka osoittaa alkuperäisen oletuksen virheellisyyden.

On tärkeää huomata, että Euclidoksen teoksessa on todistuksia, jotka poikkeavat täysin muiden osien matemaattisesta tyylistä ja loogisesta tiukkuudesta, erityisesti juuri Propositioiden 9 ja 10 osalta. Näiden todistusten puutteet ja epäselvyydet viittaavat siihen, että ne saattavat olla myöhempien aikojen lisäyksiä. Tästä syystä ei ole oikeutettua väittää, että Theaetetoksen lause on todistettu Euclidoksen Propositiossa X.9, sillä todistus ei vastaa alkuperäisen teorian tarkoitusta.

Kun tarkastellaan Theaetetoksen lauseen oikeaa matemaattista todistusta, on selvää, että se ei ole suoraan johdettavissa Euclidoksen Elementeistä, vaan se on pikemminkin seurausta Archytaksen tai hänen oppilaidensa työstä. Archytaksen vaikutus näkyy erityisesti Propositiossa VIII.8, joka on keskeinen elementti todistuksessa. Täsmällinen ja aritmeettinen todistus ei ole alkuperäistä Theaetetoksen todistusta, mutta se tarjoaa matemaattisesti oikean ja filosofisesti kiinnostavan näkökulman.

Theaetetoksen lause ja siihen liittyvät matemaattiset pohdinnat ovat olleet keskeisiä sekä matematiikan että filosofian historiassa. Lauseen ymmärtäminen edellyttää paitsi matemaattista tarkkuutta myös filosofista pohdintaa siitä, mitä incommensurabiliteetti todella tarkoittaa ja miten se liittyy numeroiden ja suuruuksien suhteisiin.

Mikä määrittelee henkilön perheen ja elämänpolun?

Isäni liittyi perheeseensä ja otti mukaansa apurahahakemuksensa, jättäen taakseen omat vanhempansa. Hän suoritti lukion Iaşyssa, Moldovan pääkaupungissa, ja vaikka hän toivoi voivansa jatkaa opintojaan, rahattomuus esti hänet jatkamasta koulutustaan. Ranskalaiset upseerit, jotka olivat paikalla, neuvoivat häntä hakeutumaan lääketieteen opiskelijaksi ja valitsemaan alusta alkaen uran armeijan lääkärinä, jotta hän saisi heti palkkaa. Tähän on lisättävä, että isäni puhui erinomaisesti ranskaa – vaikkakin aksentilla – ja hän teki aina parhaansa käyttääksensä ranskan kielen kielioppia täydellisesti, siinä, missä me nykyään usein vältämme tarkkuutta.

Sodan päätyttyä isästäni tuli lääketieteen opiskelija Bukarestissa, mutta hänellä oli aina ollut suuri rakkaus tähtitaivasta kohtaan ja kiinnostus tähtitieteeseen, joten hän opiskeli vuoden myös matematiikkaa. Lääketieteen laitoksessa hän tapasi tytön, johon rakastui, Elena Lupescun, joka sai lempinimen Lela. He menivät naimisiin ja minä olen heidän poikansa. Kun Mitu ja Lela asettuivat asumaan Bukarestiin, isäni vanhemmat, jotka silloin elivät pääasiassa kadulla, liittyivät heihin ja ottivat huoneen talosta. Isäni isä kuoli, kun olin alle kolmevuotias, eikä minulla ole siitä paljon muistikuvaa. Paternalisoiva isoäiti Maria oli äärimmäisen epämiellyttävä henkilö, joka oli jatkuvassa sodassa vanhempieni ja kanssani.

Kun olin syntynyt vuonna 1932, isäni ilmoitti ystävilleen: habemus filius! Hänellä oli melko hyvä latinankielen taito. Paljon myöhemmin, vuonna 1945, hän tapasi unkarilaisen papin, jonka kanssa hänestä tuli ystävä. Heidän ainoa yhteinen kielensä oli latina, ja he vaihtoivat kirjeitä latinaksi. Isäni kertoi, että se ei ollut Cicero-latinan tasoista, vaan yksinkertaisempaa kirkollista latinaa.

Kun isäni opinnot olivat ohi, hänestä tuli armeijan lääkäri, jonka tehtävänä oli huolehtia armeijan lääkintätarvikkeiden järjestämisestä. 1930-luvun loppuun mennessä hänellä oli everstin arvo. Hänellä oli myös oma yksityinen lääkäriasema, jossa hän työskenteli hammaslääkärinä. Toisen maailmansodan jälkeen isäni omistautui täysin yksityiselle lääkäriasemalleen, joka oli menestyksekäs ja kukoisti.

Äitini taustasta on myös kerrottavaa. Hän syntyi vuonna 1900 Bukarestissa. Hänen äitinsä, Aristia, oli peruskoulun opettaja, ja isä oli kirjanpitäjä, joka oli Romanian merikauppalaivaston pääkirjanpitäjä ennen kuin hänestä tuli kuningattaren henkilökohtainen kirjanpitäjä. Äidilläni oli paljon serkkuja, ja he olivat hänelle hyvin tärkeitä. Vanhemmat, Christian, Lucina, äitini Elena, Ecaterina ja Marian, olivat tärkeä osa hänen elämäänsä, ja myös isäni kiintyi heidän perheeseensä, sillä hänellä ei ollut laajempaa sukua, johon hän olisi voinut tukeutua.

Koko perheen elämä ei kuitenkaan ollut täysin ongelmatonta. Isäni oli usein yhteydessä äitini sukulaisiin ja auttoi heitä niin taloudellisesti kuin henkisesti. Äidilläni oli myös oma laboratoriotyö, jossa hän tutki ja tuotti tetanusrokotteita. Vaikka hän oli äärimmäisen omistautunut työlleen, en tuntenut häntä yhtä läheisesti kuin olisin toivonut, sillä hän oli usein kiireinen.

Lapsena elämäni oli hyvin suojattua ja mukautettua. Pienessä perheessämme oli saksalainen lastenhoitaja, Litzi, joka oli peräisin Transylvaniasta. Tämä oli tuohon aikaan tavallista ja merkitsi, että minä ja perheeni puhuimme sekä saksaa että romaniaa.

Romanian elämäni lapsuudessa oli täynnä yksinkertaisia, mutta syvällisiä yksityiskohtia, jotka rakensivat perheemme elämää. Kotitalous oli erityinen paikka, jossa ruoanlaitto oli taidetta, ja illalliset alkoivat aina vasta myöhään illalla, joskus kello kymmeneltä. Tällöin perheemme ystävällinen ja keskusteleva ilmapiiri oli minulle erityisen tärkeää ja opettavaa.

Tämä elämäntapa muokkasi myöhempiä käsityksiäni maailmasta, ja vaikka isäni perhe ei ollut suuri, hänen arvonsa ja perhesiteet olivat vahvasti juurtuneet elämäämme. Tämä sukupolvien ketju on se, mikä muokkaa meitä ja luo jatkuvuutta. Elämä ei aina mene odotetusti, mutta se, mitä me saamme sukulaisiltamme ja perheeltämme, on se, mikä viime kädessä antaa elämälle syvyyttä ja merkitystä.

Mitä tulisi ottaa huomioon prosessimallintamisessa ja mitä perusperiaatteita analyytikon tulee noudattaa?
Mikä on infrastruktuurin vuotohäviöindeksi ja miten se vaikuttaa vesihuoltoon?
Mikä on välikorvan ja tärykalvon rakenne ja toiminta?
Miten elämän olemus voidaan määritellä, ja onko älykkyys universumin väistämätön seuraus?
Mikä on raja-arvo ja virhetermit raja-kerroksessa?