Miksi pallosymmetrisessä avaruudessa täydellisen nesteen virtaus on pyörimätön?

Jos avaruusaika on pallosymmetrinen ja metriikka noudattaa Einsteinin kenttäyhtälöitä täydellisen nesteen lähteenä, virtausnopeuden pyörimä on nolla. Tämä seuraa siitä, että täydellisen nesteen energia-momentum-tensorilla on samat symmetriat kuin metriikalla, mikä tarkoittaa, että virtausnopeuden ja kiihtyvyyden kentät perivät nämä symmetriat. Tarkemmin ilmaistuna, Lie-johdannaiset virtausnopeudesta ja kiihtyvyydestä pystyvät kolmen symmetriavektorin suhteen ovat nollia, mikä johtaa siihen, että virtausnopeus ja kiihtyvyys voivat sisältää vain ajan ja radiaalisen koordinaatin komponentteja.

Lisäksi voidaan tehdä koordinaattimuunnoksia siten, että tietty metriikan kerroin β saadaan nollaksi. Tämä yksinkertaistaa virtausnopeuden rotaatiotensorin ainoaksi mahdolliseksi komponentiksi ω01, joka voidaan osoittaa nollaksi käyttämällä virtausnopeuden normalisointiehto eli gμν uμ uν = 1 ja sen johtamista koordinaateissa. Näin pyörimättömyys seuraa luonnostaan täydellisen nesteen virtauskentästä pallosymmetrisessä spacetime:ssa.

Jos kiihtyvyysvektori u̇α on nolla, tällöin radiaalinen funktio C ei riipu radiaalisesta koordinaatista r. Tämä linkittyy suoraan Lemaître–Tolman (L–T) malliin, jossa tällaiset ehdot kytkevät spacetime:n muodon ja aineen virtausominaisuudet tiukasti toisiinsa.

L–T mallin muuntaminen käyräkordinaatteihin (curvature coordinates) tarjoaa suoran yhteyden fysikaalisiin muuttujiiin, kuten massaan M ja energiatiheyteen E, jotka määräytyvät radiaalisen koordinaatin funktiona. Näissä koordinaateissa metriikka saa muodon, jossa aika- ja radiaalikertoimet liittyvät toisiinsa kaavan kautta, joka eliminoi sekaannukset r, t -koordinaattien välillä. Tällainen muunnos selkeyttää esimerkiksi valon geodeesien analyysiä, mikä on keskeistä tähtitieteellisissä sovelluksissa.

Friedmann-mallin erityistapauksessa L–T malli saavuttaa homogeenisuuden ja isotropian ehdot täyttäen tietyt yhtälöt (18.24). Nämä ehdot ovat sekä välttämättömiä että riittäviä, ja ne voidaan todistaa muuttamalla radiaalikoordinaatti sopivaksi ja vertaamalla tulosta Friedmannin yhtälöihin. Tässä yhteydessä muuttujien M ja η riippumattomuus korostuu Jacobianin epäyhtälön avulla, mikä mahdollistaa analyyttisen tarkastelun mallin yhtenäisistä ja isotrooppisista ominaisuuksista.

Monimutkaiset ehdot, kuten (18.109) ja (18.110), liittyvät siihen, miten singulariteetit, kuten shell crossing -singulariteetit, vältetään spacetime:ssa. Näiden ehtojen avulla voidaan varmistaa, että ratapintojen derivoitavuus ja positiivisuus säilyvät koko mallin alueella, mikä on oleellista fysikaalisesti johdonmukaisen mallin rakentamiseksi. Tässä vaiheessa eri η:n arvot ilmaisevat mallin eri evoluutiovaiheita ja niiden vaikutuksia aineen tiheyteen ja kurvaukseen.

Lisäksi on merkittävää, että valonsäde, joka lähtee kohti symmetrian keskustaa, ei voi leikkaantua shell crossing -singulariteetin kanssa, mikäli tietyt tekniset ja differentiaaliehdot täyttyvät. Tämä varmistaa mallin fysikaalisen johdonmukaisuuden valon etenemisen kannalta, sillä valon kulku ei voi siirtyä epäfysikaalisiin singulariteettipintoihin ilman ristiriitoja koordinaattimuunnoksissa tai differentiaaligeometriassa.

Näiden tulosten merkitys koskettaa koko kosmologista mallinnusta, jossa spacetime:n symmetriat, aineen virtausominaisuudet ja geometrian singulariteetit limittyvät tiukasti. On keskeistä ymmärtää, että symmetriat asettavat rajat aineen liikkeelle, ja että koordinaattimuunnokset voivat selventää tai hämärtää fysikaalisia ilmiöitä. Lisäksi singulariteettien olemassaolo ja niiden välttäminen vaikuttavat mallin sovellettavuuteen ja tulkittavuuteen, etenkin tähtitieteellisissä ja kosmologisissa konteksteissa.

Endtext

Mikä on AAH ja miten sen dynamiikka vaikuttaa maailmankaikkeuden rakenteisiin?

AAH, eli absoluutti havaittavissa oleva horisontti, on yksi keskeisistä käsitteistä relativistisessa kosmologiassa, erityisesti Szekeres-mallin kontekstissa. Se kuvaa horisontin rajaa, jonka yli ei mikään ei-geodeettinen säde voi päästä, ja sen dynamiikka on monimutkainen prosessi, joka vaatii tarkempaa käsittelyä. Tässä yhteydessä tarkastelemme, kuinka AAH kehittyy maailmankaikkeuden kollapsivaiheessa ja miten sen käyttäytyminen muuttuu eri suuntiin.

Käytämme määritelmää, jossa AAH-malli perustuu säteiden käyttäytymiseen maailmankaikkeuden erilaisilla alueilla. Näitä säteitä luonnehditaan kahdella päätyypillä: lähtevillä säteillä (j = +1) ja tulevilla säteillä (j = −1). AAH määritellään säteiden liikkeiden kautta ja sen rajat voivat muuttua riippuen maailmankaikkeuden tiheysjakaumasta, kuten myös suureista, kuten massasta M(z), k:n tiheysparametristä k(z), ja taustatehosteista, kuten tB(z). Tämä on erityisen tärkeää, sillä se määrittelee, milloin säteet voivat ylittää horisontin ja missä kohdin ne tulevat estetyiksi.

AAH:n määritelmä pätee, kun tietyt ehto-rakenteet täyttyvät. Yksi keskeisistä elementeistä on säteiden liikkeen yhteys maailmanmassan ja geodeettisten käyrien kanssa. Kun tämä rakenne otetaan huomioon, voidaan AAH:n sijainti määrittää riippuen M:n ja k:n funktioista. Tämä antaa meille mahdollisuuden ennustaa, missä säteet kääntyvät ja missä ne eivät enää voi päästä pois rakenteen sisältä.

Aikaisemmissa tutkimuksissa on havaittu, että säteiden käyttäytyminen voi vaihdella merkittävästi sen mukaan, mihin suuntaan säde kulkee suhteessa massakeskittymiin. Esimerkiksi, jos tietyllä alueella AAH:sta tulee laajempi kuin tavallinen havaittavissa oleva horisontti (AH), säteet voivat yhä edetä kohti suurempaa Φ-arvoa ennen kuin ne joutuvat geodeettisten rajoitusten alle. Tällöin AAH toimii ikään kuin "pelastuspyykinä", joka tarjoaa toisen mahdollisuuden säteille, jotka muuten olisivat jääneet geodeettisten käyrien valtaan. Toisaalta, jos AAH on pienempi kuin AH, säde jää "saartoon" ja ei enää pääse ulos horisontista.

AAH:n ja tavallisen AH:n välinen ero on erityisen tärkeä fysikaalisessa mielessä. Säteet, jotka eivät pääse tavalliselle horisontille, saattavat löytää toisen reitin AAH:n kautta. Tämä on tärkeää erityisesti tilanteissa, joissa massakeskittymät (M) ovat suurempia ja niillä on suuri rooli galaksien ja muiden kosmisten objektien kehityksessä. On myös huomattavaa, että tämän tyyppinen säteiden käyttäytyminen on sidoksissa koko systeemin massatehoon ja sen liikkeen alitukseen tai laajentumiseen.

AAH:n muuttuvat muodot voivat olla mallinnettavissa matematiikalla, kuten Szekeresin geometrian avulla. Tämä malli ottaa huomioon aikajanan ja massan jakautumisen ajan myötä, kuten esimerkiksi kaavat tB(M) ja tC(M) kuvaavat, jolloin voidaan määrittää, milloin tapahtuu "Big Crunch" -vaihe eli maailmankaikkeuden mahdollinen romahtaminen. Tällöin tarkastellaan, kuinka säteet käyttäytyvät eri suuruisilla massatasoilla ja kuinka tietyt geodeettiset säteet voivat kohdata horisontin tietyissä olosuhteissa.

Vertaamalla AAH:ta ja tavallista AH:ta voidaan tehdä tärkeitä havaintoja säteiden käyttäytymisestä eri puolilla maailmankaikkeutta. Esimerkiksi, jos ℰ ,z /ℰ -termi on suurempi tietyssä suunnassa, AAH tulee näkyvämmäksi myöhemmin kuin tavallinen AH. Tämä voi vaikuttaa säteiden etenemiseen, sillä tietyissä tilanteissa AAH tarjoaa uuden mahdollisuuden säteille, jotka muuten olisivat jääneet geodeettisten rajoitusten taakse. Toisaalta, jos tämä termi on negatiivinen, AAH tulee näkyvämmäksi aikaisemmin ja säde kääntyy kohti suurta massakeskittymää.

Yksi erityinen piirre AAH:ssa on se, että se ei ole staattinen vaan kehittyy ajan myötä. Tässä suhteessa on tärkeää huomioida, että tietyt alueet maailmankaikkeudessa saattavat olla alttiimpia AAH:n lähenemiselle kuin toiset. Tämä voi johtaa siihen, että eri suuntiin kulkevat säteet saavat erilaista "kohtelua" riippuen siitä, kuinka massakeskittymät ja muut fysiikan ilmiöt vaikuttavat niiden liikkeisiin.

Miten Kerrin metriikka voidaan laajentaa analyysin avulla?

Kerrin metriikan analyysi ja sen laajentaminen on keskeinen osa mustan aukon fysiikkaa, erityisesti kun tarkastellaan sen kvanttimekaniikan ja avaruusajan rakenteiden laajempia ominaisuuksia. Kerrin ratkaisussa avaruusaika on muokattu niin, että se kuvaa ei-pyöreän, roottorin kaltaisen mustan aukon geometrista rakennetta, jossa horisontin rajat ja singulariteetit ovat erityisen mielenkiintoisia. Yksi monimutkaisimmista ja mielenkiintoisimmista käsitteistä liittyy siihen, kuinka avaruusajan laajennuksia voidaan käsitellä ja miten eri alueet voidaan yhdistää.

Laajennusten tuloksena saamme koordinaattipatchit (−1) ja (−2), jotka saadaan laajentamalla alue r > r+ ℓ-kentän mukana E′-kehyksessä. Vastaavasti alueet (+1) ja (+2) saadaan laajentamalla sama alue k-kentän mukana alkuperäisessä E-kehyksessä. Tämä prosessi näkyy selkeästi kuvassa 21.13 vasemmalla. Tässä kuvassa vasemmalla näkyvät koordinaattipatchit −1 ja −2, jotka on saatu laajentamalla aluetta r > r+ ℓ-kentällä, ja oikealla puoliskolla näkyvät patchit 0′′ ja −2′′, jotka on lisätty laajentamalla −1-patchia k-kentän suuntaan.

Kun siirrymme alueelta (−1) alueelle (0′′) k-kentän kautta, olemme jälleen alueella, jossa Δr > 0, joten kα on tulevaisuuteen suuntautuva ja sisään menevä, kun taas ℓα on tulevaisuuteen suuntautuva ja ulos menevä. Liikkumalla kα-kentän suuntaan tulevaisuuteen r = r+ ja r = r− horisonttien yli, luomme toisen kopion alueista (+1) ja (+2), joita kutsumme (+1′′) ja (+2′′) -alueiksi. Näin voimme yhdistää alueet (+1) ja (+1′′), koska niiden aikatasot voivat olla jatkuvasti ennustettavissa.

Koordinaattimuunnokset voivat olla hankalia, koska verrattuna Schwarzschildin avaruusaikaan kα ja ℓα kentät eivät ole pinnan muodostavia, joten ne eivät ole tangentteja yhteiselle pinnalle. Tämä tuo lisähaasteita alueiden yhdistämiseen. Tämän vuoksi tarvitaan koordinaattimuunnoksia, jotka mahdollistavat kα ja ℓα kenttien käsittelemisen lähes yhtäläisesti. Tällöin voidaan luoda koordinaatit u ja v, joiden avulla nämä kentät saavat aikaan hypersfäärien u + v = vakio ja u − v = vakio linjat. Tämä koordinaatimuunnos mahdollistaa horisontin r = r+ ylittämisen ja singulariteettien poistamisen.

Näissä muunnoksissa on tärkeää huomioida, että vaikka koordinaatimuunnos itse on tavanomainen, ne eivät poista kaikkia ongelmia, jotka liittyvät mustan aukon singulariteetteihin. Esimerkiksi, vaikka r = r+ ei enää ole singulariteetti, r = r− on edelleen ongelmallinen, ja tätä singulariteettia on käsiteltävä erikseen. Tämä johtaa siihen, että meidän on käytettävä laajennuksia, jotka ulottuvat sekä ylöspäin että alaspäin, luoden jatkuvia alueita (+3) ja (+4), joita voidaan käsitellä samalla tavalla.

Tärkeää on ymmärtää, että nämä laajennukset eivät ole vain teoreettisia kokeiluja, vaan ne tarjoavat syvällisiä oivalluksia mustan aukon ja laajentuneen avaruusajan rakenteiden ymmärtämiseen. Vaikka laajennuksia voidaan jatkaa äärettömyyksiin asti, kunkin laajennuksen oikeellisuus on varmistettava tarkalla matemaattisella analyysillä. Siksi koordinaattijärjestelmän valinta on keskeistä, koska se määrittää, kuinka tarkasti ja johdonmukaisesti voimme käsitellä laajennettuja alueita ja kuinka ymmärrämme mustan aukon geometrian.

Jatkamme vielä laajennusten rakentamista ja niiden matemaattista tarkastelua, mutta tämä vaihe on tärkeä askel kohti täydellisempää ymmärrystä Kerrin metrikasta ja mustan aukon geometriasta.

Miten Killingin yhtälöiden avulla määritetään symmetriat Riemannin avaruuksissa?

Killingin yhtälöt ovat keskeisiä työkaluja, kun tarkastellaan symmetrioiden säilymistä ja invariansseja Riemannin avaruuksissa. Näiden yhtälöiden avulla voidaan analysoida, miten geometrian symmetriat vaikuttavat fysiikan ja matemaattisten rakenteiden ymmärtämiseen. Tämän käsitteen ytimessä on idea, että symmetrioiden säilyminen voi johtaa fysiikan lain noudattamiseen tietyissä koordinaatistossa, ja tämä näkyy erityisesti tensaoreiden invarianttiudessa.

Killingin yhtälöitä johdetaan tarkastelemalla miten tällaiset invarianssitransformaatiot vaikuttavat tensaoreihin. Jos tensaori $T_{\alpha\beta}$ säilyy invarianssina, saamme lineaariset ehtoja, joita on noudatettava, jotta voidaan varmistaa, että $T_{\alpha\beta}$ ei muutu. Tämä ehto on:

Tässä $k_\mu$ on niin sanottu Killingin vektorikenttä, joka määrittää symmetrian ja sitä vastaavat invarianssit.

Killingin yhtälöt voivat olla myös hyödyllisiä, kun pyritään löytämään symmetriaan liittyviä geometrian ominaisuuksia. Esimerkiksi, jos tiedämme tensaorin muodot ja haluamme ymmärtää, miten ne muuttuvat koordinaattimuunnoksessa, Killingin yhtälöt tarjoavat selkeät ehdot, joiden avulla voidaan selvittää, minkälaisten symmetrioiden säilyminen on mahdollista.

Lisäksi on tärkeää huomata, että Killingin yhtälöt ovat lineaarisia ja homogeenisia $k_\alpha$:n suhteen, mikä tarkoittaa, että jos $k_\alpha$ ja $l_\alpha$ ovat Killingin kenttiä, niin myös $A k_\alpha + B l_\alpha$ on Killingin kenttä, missä $A$ ja $B$ ovat mielivaltaisia vakioita. Tämä antaa meille mahdollisuuden luoda yleisen ratkaisun Killingin yhtälöihin lineaaristen yhdistelmien avulla. Tämä on tärkeä seikka, kun etsitään kaikkia mahdollisia symmetriaan liittyviä vektorikenttiä, sillä se avaa mahdollisuuden löytää rajallisen määrän perusratkaisuja, joista voidaan muodostaa kaikkia mahdollisia ratkaisuja.

Miten tiheys ja nopeus kehittyvät Lemaître-Tolman-mallissa?

Lemaître-Tolman (L-T) -geometria on tärkeä työkalu avaruuden ja ajan kehityksen ymmärtämisessä kosmologiassa, erityisesti tiheys- ja nopeusmuutosten tutkimisessa. Kun tarkastellaan massan M kehittymistä, tiheyden ja nopeuden suhteet ajan kuluessa ovat keskeisiä parametrejä. Tässä käsitellään, kuinka tiheys- ja nopeusprofiilit voivat kehittyä ajan myötä L-T-mallissa, ja kuinka näiden kehityksen tarkastelu voi auttaa ymmärtämään rakenteenmuodostusta universumissa.

Ensinnäkin, kun tarkastellaan massan M kehittymistä, käytämme sitä radiaalikoordinaattina. Määritämme tiheyden jakautumisen aikapisteissä $t_1$ ja $t_2$, missä $t_2 > t_1$. Tällöin voimme kirjoittaa tiheysfunktion muodossa $\rho_i(M) = \rho(t_i, M) = \epsilon(t_i, M) / c^2$, missä $\epsilon(t_i, M)$ on energian tiheys ja $c$ on valonnopeus. Tämän jälkeen lasketaan $R(t_i, M)$, joka on avaruuden laajenemisen funktio massasta ja ajasta. Oletamme, että $R_2 > R_1$, mikä tarkoittaa, että materiaali on laajentunut aikavälin $t_1$ ja $t_2$ aikana. Tällöin voimme tutkia L-T-mallin kehittymistä näiden kahden tiheysprofiilin välillä ja pohtia, onko kehitykselle olemassa yksiselitteinen ratkaisu.

Evoluutiomallin ratkaisu voidaan saada vain, jos aikaväli $t_2 - t_1$ täyttää tietyt ehdot. Näiden ehtojen täyttyminen takaa sen, että laajeneminen on ollut nopeampaa kuin nollan energian mallissa. Samalla on tärkeää huomata, että tietyt epätasapainot voivat johtaa siihen, että malli ei enää ole validoitu, ja tällöin on tehtävä lisätarkastuksia.

On tärkeää ymmärtää, että L-T-mallin kehitykselle on aina olemassa tarkasti määriteltyjä ehtoja, jotka riippuvat alkutilanteista ja valituista parametreista. Näitä ehtoja ei tule aliarvioida, sillä ne määrittelevät sen, onko malli validi ja voidaanko sitä käyttää kosmologisessa tutkimuksessa.

Kun siirrytään nopeuden ja tiheyden kehityksestä tarkastelemaan nopeuden ja massan välistä suhdetta, huomioimme, että $R,t(t, M)/M^{1/3}$ on kätevämpi mittari avaruuden laajenemisen nopeuden mittaamiseksi. Tämä mittari on itsenäinen massasta, mikä tekee siitä hyödyllisen avaruuden epätasaisuuden tutkimuksessa. Alkuperäisessä tilassa määritämme nopeuden ja massan suhteen $b_1(M) = R,t(t_1, M)/M^{1/3}$, ja lopullisessa tilassa tarkastellaan tiheysjakaumaa $\rho(t_2, M)$. Myös tässä tapauksessa $E$-arvon merkitys tulee esiin: $E > 0$ ja $E < 0$ eroavat merkittävästi siinä, kuinka malli kehittyy.