Miten valita oikea heikko ratkaisu hyperboliselle ongelmalle?

Jos tarkastelemme heikkoja ratkaisuja, on tärkeää huomioida, että niitä voi olla useita eri mahdollisia, mikä tekee niiden valinnasta haastavaa. Tällöin eräänä tärkeänä käsitteenä nousee esiin entropian heikko ratkaisu, joka mahdollistaa ratkaisujen yksikäsitteisyyden määrittämisen. Tämä käsite ilmenee erityisesti hyperbolisten yhtälöiden ratkaisuteoriassa, joissa ilmiöitä kuvaavat usein yksinkertaiset, mutta moniselitteiset matemaattiset mallit.

Tarkastellaan aluksi Burgersin yhtälöä, joka on tyypillinen esimerkki hyperbolisesta ongelmasta. Burgersin yhtälö on:

missä $u_0(x)$ on alkuarvo-ongelma, jonka ehdot voidaan jakaa kahteen osaan. Oletetaan, että alkuarvot $u_g$ ja $u_d$ ovat reaalilukuja ja ne jakavat alueen $x < 0$ ja $x > 0$ kullekin omaksi arvoalueekseen. Tällöin alkuarvojen valinta, kuten $u_g = -1$ ja $u_d = 1$, johtaa tiettyyn Cauchy-ongelmaan, jota kutsutaan Riemannin ongelmaksi.

Tämä ongelma on mielenkiintoinen, koska se voi johtaa useisiin heikkoihin ratkaisuihin. Eräs mahdollinen heikko ratkaisu on diskreetti, eli se on epätasainen tietyssä tason $x = \sigma t$ kohdalla aikatason ja avaruuden tason välillä. Tämä ratkaisu voi olla epäjatkuva tietyillä alueilla, mutta silti täyttää matemaattisesti määritellyt heikon ratkaisun ehdot.

Esimerkiksi, jos me asetamme $u(x,t)$ seuraavasti:

tällöin tämä ratkaisu on edelleen heikko ratkaisu, mikäli se täyttää niin kutsutun Rankine-Hugoniot'n ehdon:

missä $f(u) = u^2$ ja alkuarvot $u_g = -1$ ja $u_d = 1$ antavat meille yhtälön:

Näin ollen olemme löytäneet ratkaisun, joka on epätasainen, mutta silti heikko ratkaisu Burgersin yhtälölle. On kuitenkin tärkeää ymmärtää, että tällaisia heikkoja ratkaisuja voi olla muitakin, ja se, kuinka valitaan "oikea" heikko ratkaisu, on tärkeä kysymys.

Jos etsitään tarkempia ratkaisuja, voimme käyttää ominaiskäyrien analyysiä, joissa $u(x,t)$ pysyy muuttumattomana. Tällöin ominaiskäyrät $x(t) = x_0 + f'(u_0(x_0)) t$ ovat suoria viivoja, joiden kaltevuus on esimerkiksi $-2$ alueella $x_0 < 0$ ja $2$ alueella $x_0 > 0$. Tällöin voidaan rakentaa geometrista kuvaa, joka auttaa visualisoimaan, miten eri alueet muuttuvat ajan funktiona.

Ratkaisujen valinta ei kuitenkaan rajoitu pelkästään heikkoihin ratkaisuihin. Yksi tapa lähestyä ongelmaa on tarkastella niin sanottua entropian heikkoa ratkaisua. Tämä ratkaisu on limitti diffuusio-ongelmasta, joka lähestyy hyperbolista ongelmaa, kun diffuusio-termillä $\epsilon$ on pieni. Tämä mahdollistaa sen, että voidaan tutkia ratkaisun käyttäytymistä diffuusio-lähestymistavalla ja valita oikea ratkaisu.

Entropian heikon ratkaisun käsite on määritelty tarkemmin seuraavasti:

Jos $u_0 \in L^\infty(\mathbb{R})$ ja $f \in L^\infty_{\text{loc}}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$, niin $u$ on entropian heikko ratkaisu, jos

missä $\eta$ on konveksiivinen funktio ja $\Phi$ on vastaava entropian virtausfunktio. Tämä entropian heikko ratkaisu täyttää heikon ratkaisun ehdot, mutta se ottaa huomioon myös entropian säilymisen ja sen, että ratkaisun valinta riippuu siitä, miten se käyttäytyy diffuusio-ongelmassa $\epsilon \to 0$.

Tällöin entropian heikko ratkaisu antaa meille yksikäsitteisen ratkaisun, joka on johdettu diffuusio-lähestymistavasta ja ottaa huomioon säilyvyyteen ja äärirajoihin liittyvät matemaattiset ehdot.

Ratkaisujen valinnan ongelma on siis monitahoinen. Kuten olemme nähneet, heikko ratkaisu voi olla ei-yksikäsitteinen, mutta entropian heikko ratkaisu mahdollistaa ratkaisujen valinnan selkeämmin, tarjoamalla matemaattisesti perustellun lähestymistavan, joka takaa ratkaisun oikeellisuuden ja johdonmukaisuuden hyperbolisessa ongelmassa.

Miten ratkaista kvasi-lineaarisia elliptisiä ongelmia äärellisessä ulottuvuudessa?

Kvasi-lineaaristen elliptisten ongelmien ratkaiseminen äärellisessä ulottuvuudessa on keskeinen haaste funktionaalisen analyysin ja laskennallisten menetelmien soveltamisessa. Tämä prosessi voidaan jakaa useisiin vaiheisiin, joista tärkeimmät ovat olemassaoloteoreemien todistaminen, jatkuvuus ja koerciviteetti. Tässä tarkastellaan tätä prosessia ja sen keskeisiä vaiheita.

Ratkaisun olemassaolon todistaminen äärellisessä ulottuvuudessa alkaa ensisijaisesti välin 𝑊0(Ω) densaatiosta ja lineaaristen operaattoreiden soveltamisesta. Oletetaan, että avaruus $1,p\ W_0(\Omega)$ on erottuva, jolloin voidaan valita laskennallinen perhe $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$, joka tiivistyy tähän avaruuteen. Tällöin määritellään vektoritila $E_n = \text{Vect} \{ f_1, f_2, \ldots, f_n \}$, joka on sisällytetty seuraaviin vektoritiloihin $E_{n+1}$. Tämä muodostaa ketjun, jonka rajana on $W_0(\Omega)$. Näin ollen, jokaiselle $p v \in W_0(\Omega)$, löytyy sekvenssi $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$, joka on jäsen $E_n$ ja lähestyy $v$ rajalla $n \to \infty$.

Tässä ensimmäisessä vaiheessa kiinnitetään huomiota $n$ ja etsitään ratkaisua ongelmalle äärellisessä ulottuvuudessa. Tämä määrittelee laskennallisen ongelman muodossa:

Tässä yhteydessä määritellään operaattori $T_n$, joka on lineaarinen ja siis kuuluva $E_n'$:een. Tämän operaattorin jatkuvuus ja koerciviteetti takaavat, että ongelmalle löytyy ratkaisu, mikäli $T_n$ on jatkuva ja koercivinen.

Jatkuvuuden osoittaminen on keskeinen askel. Oletetaan, että $T$ on määritelty avaruudessa $E_n$ ja $T(u) - T(\bar{u})$ on pienenevä, kun $u_n \to \bar{u}$ lähestyy ratkaisua. Näin voidaan pätevästi osoittaa, että $T$ on jatkuva. Koerciviteetti puolestaan varmistaa, että:

Tämä ehdottaa, että $T$ on koercivinen ja siten surjektio. Lemma 3.29 takaa, että löydämme ratkaisun äärellisessä ulottuvuudessa.

Kun ratkaisu on olemassa äärellisessä ulottuvuudessa, siirrytään seuraavaan vaiheeseen, jossa pyritään siirtymään rajalle $n \to \infty$ ja osoittamaan ratkaisun olemassaolo alkuperäisessä ongelmassa. Tämän vaiheen onnistumiseksi suoritetaan:

1. Arvio $u_n$:lle, joka takaa tiivistymisen.

2. Siirtyminen rajoihin ongelmassa (3.23) ja osoitetaan ratkaisun $u$ olemassaolo rajana.

3. Non-lineaaristen termien käsittely ja niiden rajoittaminen.

Lopuksi, tutkitaan rajatermiä ja varmistetaan, että non-lineaarinen termi lähestyy haluttua ratkaisua. Tämä käsitellään seuraavasti:

mikä täydentää ratkaisun todennäköisyyden ja johdonmukaisuuden.

Lisäksi, kun operaatioissa on mukana ei-lineaarisia termejä, kuten $a(\nabla u)$, on tärkeää ymmärtää, että tällöin ei ole mahdollista suoraan soveltaa yksinkertaisia lineaarisia argumentteja. Tällöin on käytettävä erityisiä tekniikoita, kuten heikkoa konvergenssia ja rajoituksia, jotta voidaan osoittaa non-lineaaristen termien konvergenssi.

On myös tärkeää huomata, että vaikka olemassaolo ja yhtenäisyys voivat olla selviä, laskennallinen prosessi saattaa olla monivaiheinen ja vaatia tarkkaa arviointia ja eri työkalujen soveltamista ongelman ratkaisemiseksi käytännössä.

Milloin topologinen aste takaa epälineaarisen elliptisen ongelman ratkaisun?

Olkoon $E$ Banachin avaruus ja $f(v) = a$ vakiofunktio, missä $a \in E$. Olkoon $B_R \subset E$ avoin pallo säteellä $R > 0$, niin että $\|a\|_E \neq R$. Tällöin kuvaus $\text{Id} - f$ on jatkuva ja kompakti, ja koska $\text{Id} - f$ ei ole nolla pallon reunalla $\partial B_R$, topologinen aste $d(\text{Id} - f, B_R, a)$ on hyvin määritelty. Jos $R > \|a\|_E$, piste $a$ kuuluu palloon ja $d = 1$, kun taas jos $R < \|a\|_E$, piste $a$ ei kuulu palloon ja aste on nolla. Tämä havainnollistaa asteen diskreettiä käyttäytymistä ja sen riippuvuutta geometriasta ja parametrin sijoittumisesta.

Olkoon nyt $L: E \to E$ kompakti lineaarikuvaus niin, ettei $1$ ole sen ominaisarvo. Määritellään $f(v) = Lv + a$. Tällöin yhtälö $u - f(u) = 0$ eli $(I - L)u = a$ voidaan ratkaista yksikäsitteisesti, koska $I - L$ on bijektio. Yksikäsitteinen ratkaisu $b$ on muodon $b = (I - L)^{ -1}a$, ja koska $I - L$ on Fredholmin operaattori indeksillä nolla, topologinen aste säilyy, ja voidaan todeta, että jos $R > \|b\|_E$, niin $d(\text{Id} - f, B_R, 0) \neq 0$, ja jos $R < \|b\|_E$, aste on nolla.

Nyt tarkastellaan epälineaarista elliptistä ongelmaa rajoitetussa avoimessa osajoukossa $\Omega \subset \mathbb{R}^N$, missä $g \in L^2(\Omega)$, $a: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ on jatkuva ja $h: \mathbb{R} \times \mathbb{R}^N \to \mathbb{R}$ jatkuva. Oletetaan, että on olemassa vakiot $0 < \alpha \leq a(s) \leq \beta < \infty$ ja $\delta \in [0,1[$, $C_1 \in \mathbb{R}$, niin että $|h(s, \xi)| \leq C_1(1 + |s|^\delta + |\xi|^\delta)$. Tällöin voidaan osoittaa, että epälineaarisen heikon muotoilun

ratkaisu on olemassa ja yksikäsitteinen. Vahva lineaarinen elliptisyys, rajattu epälineaarisuus ja kompaktius mahdollistavat ratkaisijan $T: H_0^1(\Omega) \to H_0^1(\Omega)$ määrittelyn, joka liittää jokaiseen $u$ ratkaisun yllä olevaan yhtälöön. Operaatio $T$ on hyvin määritelty, kompakti ja jatkuva.

Valitaan testifunktioksi $v = u$ ja käytetään energiatasapainoa saadaksemme estimaatin ratkaisulle. Integraaliepäyhtälöiden kautta seuraa, että olemassa on $R > 0$, niin että jos $\|u\|_{H_0^1(\Omega)} \leq R$, niin myös $\|T(u)\|_{H_0^1(\Omega)} \leq R$. Tämä tarkoittaa, että kuvauksen $T$ kuva pysyy suljetussa pallossa, mikä mahdollistaa Schauderin kiinnityspisteen olemassaolon. Näin löydämme kiinnityspisteen $u = T(u)$, joka on alkuperäisen epälineaarisen yhtälön ratkaisu.

Jatkuvuus seuraa $h(u_n,\nabla u_n) \to h(u,\nabla u)$ konvergenssista $L^2$-avaruudessa, kun $u_n \to u$ tilassa $H_0^1(\Omega)$, mikä yhdessä estimaattien ja heikon konvergenssin kanssa johtaa vahvaan konvergenssiin. Kompaktius seuraa standardista kompaktiupakkausargumentista: rajoitettu jono $(u_n) \subset H_0^1(\Omega)$ sisältää suppenevan osajonon, jonka kuva $T(u_n)$ suppenee samassa tilassa. Tämä mahdollistaa kiinnityspisteen olemassaolon epälineaarisessa tapauksessa.

Yleisempi tulos saadaan, kun $a = a(x,s)$, jolloin se on mitallinen $x \in \Omega$ suhteen ja jatkuva $s \in \mathbb{R}$ suhteen lähes kaikkialla $\Omega$. Samoin oikean puolen funktio $f(x,s,p)$ on mitallinen $x$ suhteen ja jatkuva muuttujissa $(s,p)$, ja täyttää ehdon $|f(x,s,p)| \leq C(d(x) + |s|^\delta + |p|^\delta)$, missä $d \in L^2(\Omega)$. Vastaava heikko muotoilu johtaa uudelleen operaatioon $T$, joka osoittautuu jälleen kompaktiudensa ja jatkuvuutensa vuoksi soveltuvaksi Schauderin kiinnityspisteteoreeman soveltamiseen.

Konvektiivis-diffuusio-ongelmassa tyyppiä