Kerrin metriikka on Einsteinin kenttäyhtälöiden yksinkertaisin tarkka ratkaisu, joka kuvaa ei-vakaasti pyörivän mustan aukon tai muun pyörivän kehon ulkoisen gravitaatiokentän. Tämä metriikka sai alkuperäisen julkaisunsa Kerrin vuonna 1963, ja se on sittemmin noussut keskeiseksi työkaluksi astrofysiikassa, erityisesti mustien aukkojen tutkimuksessa. Vaikka alkuperäisessä työssään Kerr ei antanut tarkkoja ohjeita siitä, miten metriikka oli johdettu, myöhemmin sen tärkeys ja sovellukset tulivat selviksi. Kerrin metriikka on yhä keskeinen väline, jota käytetään mustien aukkojen geometrian ymmärtämiseen ja siihen liittyvien ilmiöiden tutkimiseen.

Kerrin metriikka voidaan esittää muodossa:

ds2=dt2−dx2−dy2−dz2−2mr3zdt+dzr4+a2z2 [r+(xdx+ydy)+(xdy−ydx)]ds^2 = dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 - 2mr^3z dt + \frac{dz}{r^4 + a^2z^2} \, \left[ r + (xdx + ydy) + (xdy - ydx) \right]

Tässä muodossa Kerrin metriikka on ensimmäistä kertaa esitetty kirjallisuudessa, mutta se ei antanut vihjeitä sen tarkasta johdannasta. Tämä on kuitenkin yksinkertaisin tunnettu ratkaisu, joka kuvaa ulkoista kenttää pyörivän mustan aukon ympärillä.

Jos m = 0, Kerrin metriikka palautuu Minkowskin metriikaksi, mikä viittaa siihen, että kenttä on litteä, kun lähestytään äärettömyyttä. Kerrin metriikan termit, kuten Kerr-Schildin termi, ovat merkityksettömiä suurilla r-arvoilla, jolloin metrin geometrista rakennetta voidaan pitää likimain litteänä, ja se täyttää heikkokenttäaproksimaation oletukset. Kentän komponentti g00 voidaan kirjoittaa seuraavasti:

g00=1−2mr3r4+a2z2≈1−2mr2+O(1r5)g00 = 1 - \frac{2mr^3}{r^4 + a^2z^2} \approx 1 - \frac{2m}{r^2} + O\left(\frac{1}{r^5}\right)

Tämä osoittaa, että m on lähteen massa, ja näin ollen se vaikuttaa kentän rakenteeseen.

Kerrin metriikan yleinen muoto, kuten yllä esitetty, sisältää kuitenkin myös ei-toivottuja termejä, kuten gtx ja gty, jotka eivät ole täysin samankaltaisia kuin Schwarzschildin metriikassa. Näitä epätoivottuja termejä voidaan kuitenkin muokata tietynlaisen transformaation avulla, jonka avulla saadaan aikaan muoto, jossa kaikki komponentit saadaan haluttuun muotoon.

Kerrin metriikan fyysinen merkitys tuli selväksi sen jälkeen, kun sen geometria ja symmetriat alettiin ymmärtää paremmin. Kerrin ratkaisu on tärkeä, koska se kuvaa pyörivien mustien aukkojen kenttiä, mutta se on myös uskomus siitä, että kaikki ei-stationaariset ja varauksettomat mustat aukot kehittyvät kohti tätä metriikkaa. Tämä väite liittyy niin sanottuun kosmisen sensuurin hypoteesiin, joka on edelleen kiistanalainen. Silti Kerrin metriikka on edelleen keskeinen työkalu, joka löytyy lukuisista mustia aukkoja käsittelevistä tutkimuksista.

Kun tarkastellaan Kerrin metriikan geometrista rakennetta ja sen riippuvuutta avaruus- ja aikakoordinaateista, voidaan huomata, että koordinaatit muuttuvat, kun liikutaan lähemmäs mustan aukon horisonttia. Esimerkiksi r-koordinaatti muuttuu, kun lähestytään äärettömyyttä, ja tämä auttaa ymmärtämään, kuinka mustan aukon gravitaatiokenttä käyttäytyy tietyissä alueissa.

Kun r kasvaa, Kerrin metriikan Lorentz-termit alkavat hallita, ja Kerr-Schildin termit heikkenevät. Tämä osoittaa, että suuri r-arvo lähestyy Minkowskin metriikkaa, mikä viittaa siihen, että tila on asymptottisesti litteä.

Erityisesti Kerrin metriikan geometrian ymmärtämisen kannalta on tärkeää käsittää, että sen käytössä olevat koordinaatit eivät ole kovin käteviä laskelmissa, ja siksi käytetään usein muita koordinaattijärjestelmiä. Yksi tunnetuimmista näistä koordinaattijärjestelmistä on Boyer–Lindquistin koordinaattijärjestelmä, joka esitettiin vuonna 1967. Boyer–Lindquistin koordinaateilla saadaan yksinkertaisempi ilmenemismuoto Kerrin metriikalle, mikä helpottaa mustan aukon geometrian käsittelemistä.

Tässä koordinaatistossa Kerrin metriikka saa muodon:

ds2=(1−2mrr2+a2cos⁡2θ)dt2−dr2Δr−Σdθ2−(r2+a2+2ma2rsin⁡2θr2+a2cos⁡2θ)dϕ2ds^2 = \left(1 - \frac{2mr}{r^2 + a^2 \cos^2\theta}\right) dt^2 - \frac{dr^2}{\Delta_r} - \Sigma d\theta^2 - \left(r^2 + a^2 + \frac{2ma^2r \sin^2 \theta}{r^2 + a^2 \cos^2 \theta}\right) d\phi^2

Tässä muodossa Boyer–Lindquistin koordinaatit tekevät Kerrin metriikan käsittelemisestä huomattavasti yksinkertaisempaa ja käytännöllisempää.

On tärkeää ymmärtää, että Kerrin metriikka ei ole vain teoreettinen konstruktio, vaan se on vahvasti kytköksissä moniin käytännön sovelluksiin, erityisesti mustien aukkojen ja kiertävien tähtijärjestelmien tutkimukseen. Kerrin ratkaisun avulla on mahdollista ymmärtää mustan aukon pyörimisen vaikutukset sen ympärillä oleviin materiaaleihin ja säteilyyn. Tällaisia ilmiöitä ovat esimerkiksi akretion kiekon käyttäytyminen, Hawkingin säteilyn tarkastelu pyörivissä mustissa aukoissa ja avaruusajan rakenteen vääristyminen mustan aukon läheisyydessä.

Miten määritellään alitilan toisen perusmuodon tensorit ja mitä ne kertovat?

Kun tarkastelemme Riemannin geometriaa, erityisesti alitilan VnV_n upotusta korkeampaan ulkotilaan UNU_N, nousee keskeiseen asemaan käsite alitilan toinen perusmuoto, eli eks­trinsinen käyrävyys. Tämän muodon ymmärtäminen vaatii aluksi tangenttivektoreiden ja normaali­vektoreiden tarkastelua ja niiden kovarianttien derivaattojen analyysiä. Koska YAY^A ja metriikka GABG_{AB} ovat skalaareja alitilassa VnV_n, voidaan niiden johdannaiset johtaa kaavasta, jossa huomioidaan käänteisesti permutoidut indeksit. Tuloksena on yhtälö, jossa toisen derivaatan muodot projektoidaan normaalivektoreiden suuntaan, mikä määrittää alitilan toisen perusmuodon Ωαβ(S^)\Omega^{(Ŝ)}_{\alpha \beta} komponentit.

Toinen perusmuoto mittaa tangenttivektorikenttien muutosnopeutta alitilan suunnassa, projisoituna normaali­vektoreihin. Tämä eroaa intrinsisestä geometriasta siinä, että se paljastaa ulkoisen käyräisyyden ja mahdollistaa kahden geometriassa identtisen Riemannin avaruuden erottamisen. Esimerkiksi taso ja sylinteri voivat olla intrinsisesti samanlaisia, mutta niiden toiset perusmuodot eroavat.

Tämän tensorin symmetria Ωαβ(S^)=Ωβα(S^)\Omega^{(Ŝ)}_{\alpha \beta} = \Omega^{(Ŝ)}_{\beta \alpha} korostaa sen roolia käyräisyyden mittarina. Lisäksi sen yhteys normaali­vektoreiden muuttumiseen tarjoaa vaihtoehtoisen näkökulman: toisen perusmuodon komponentit kuvaavat normaali­vektoreiden muutosta tangenttisuuntaan.

Ratkaisevaa on, että upotus toteutuu vain, jos integraalisopivuusehto, eli Riccin kaava, pätee. Tämä ehto varmistaa, että alitilan geometria voidaan johdonmukaisesti upottaa korkeampaan avaruuteen siten, että Gauss–Codazzin yhtälöt, jotka yhdistävät alitilan Riemannin tensorin ja toisen perusmuodon komponentit, täyttyvät. Nämä yhtälöt korostavat, miten upotuksen ekstrinsinen käyrävyys ja upotusavaruuden Riemannin käyrävyys ovat sidoksissa toisiinsa.

On tärkeää huomata, että toisen perusmuodon tensorit eivät ole yksiselitteisiä, vaan niihin liittyy useita normaalivektoreita XS^AX^{A}_{Ŝ}, jotka määräävät ulkoisen tilan suunnat alitilaan nähden. Näiden normaali­vektoreiden johdannaiset eivät ole koordinaattitensoreita, mutta niiden avulla voidaan jäsentää toisen perusmuodon rakennetta ja sen yhteyttä ulkoiseen geometri­aan.

Tämän lisäksi metriikkatensorin rakenne jakautuu selkeästi tangentti- ja normaaliosiin, mikä mahdollistaa sen esityksen komponenttimuodossa, jossa tangenttiosa on gαβg_{\alpha \beta} ja normaali­osa diagonaalinen, usein signumilla εS^\varepsilon_{Ŝ}. Tämä rakenne on avainasemassa upotusten analyyseissä, koska se selventää, miten eri suunnat asettuvat suhteessa alitilan geometriaan.

Gauss–Codazzin yhtälöt ovat keskeisiä yhtälöitä, jotka yhdistävät sisäisen ja ulkoisen geometrisen tiedon. Niiden avulla voidaan testata, onko annettu alitila mahdollisesti upotettavissa korkeampaan ulkotilaan ja miten sen käyrävyys käyttäytyy. Nämä yhtälöt myös korostavat, että vaikka kaksi alitilaa voisi olla sisäisesti identtisiä, niiden ulkoiset ominaisuudet voivat poiketa toisistaan merkittävästi.

Tärkeää on ymmärtää, että toisen perusmuodon tensorit ovat väline, jonka avulla voidaan tulkita geometrisia ilmiöitä useassa eri ulottuvuudessa ja jotka mahdollistavat geometrian analyysin laajemmassa kontekstissa kuin pelkkä intrinsinen käyrävyys. Ne tarjoavat keinon tutkia, miten alitila 'kääriytyy' tai 'taipuu' ympäröivässä avaruudessa, mikä on keskeistä niin teoreettisessa fysiikassa kuin geometriassa.

Lopuksi on syytä korostaa, että vaikka kaavat ovat matemaattisesti monimutkaisia, niiden tulkinta geometrian kielessä tarjoaa syvällisiä näkemyksiä tilan ja muodon suhteista. Tämä ymmärrys on oleellinen edellytys edistyneempien geometrisen analyysin ja topologian aiheiden käsittelylle.

Minkowski-avaruuden spinori-esitys ja Pauli-matriisit

Spinorikenttien ja Pauli-matriisien käsittelyssä avautuu syvempi ymmärrys avaruuden ja ajan rakenteista erityisesti silloin, kun tarkastellaan kaarevia avaruuksia ja niiden topologiaa. Spinorien esitys on oleellinen, koska se tarjoaa välineet, joilla voidaan kuvata kvanttikenttien käyttäytymistä ja luoda yhteyksiä yleisen suhteellisuusteorian ja kvanttikenttäteorian välille.

Kovariaanttivektorin vαv^\alpha kuvaaminen spinorimuodossa saadaan seuraavasti:

vA˙B˙=vαgα A˙B˙v^{\dot{A}\dot{B}} = v^\alpha g_{\alpha}^{\ \dot{A}\dot{B}}

Tässä vA˙B˙v^{\dot{A}\dot{B}} on Hermitean spinori, joka on tiheys ja skalaari koordinaatitransformaatiota kohtaan manifoldivarassa. Pauli-matriisien gα A˙B˙g_{\alpha}^{\ \dot{A}\dot{B}} osalta, jotka muodostavat Hermitean 2×2-matriisien perustan, voidaan todeta, että vA˙B˙v^{\dot{A}\dot{B}}-vektorin dekompositio perustassa määritellään yksikäsitteisesti. Tällöin olemme yhteydessä käänteiseen lineaariseen kuvaukseen vαv^\alpha, joka voidaan esittää seuraavasti:

vα=gA˙B˙vA˙B˙v^\alpha = g^{\dot{A}\dot{B}} v_{\dot{A}\dot{B}}

Tämä yhtälö on itsestäänselvä, kun tarkastellaan Pauli-matriisien ja niiden käänteismatriisien ominaisuuksia. On myös tärkeää huomata, että Pauli-matriisit ja niiden käänteismatriisit täyttävät seuraavat ehdot:

gα A˙B˙gβ A˙B˙=δαβg_{\alpha}^{\ \dot{A}\dot{B}} g_{\beta}^{\ \dot{A}\dot{B}} = \delta_{\alpha\beta}
gα A˙B˙gγ C˙D˙=δA˙ C˙δB˙ D˙g_{\alpha}^{\ \dot{A}\dot{B}} g_{\gamma}^{\ \dot{C}\dot{D}} = \delta_{\dot{A}}^{\ \dot{C}} \delta_{\dot{B}}^{\ \dot{D}}

Näin ollen voidaan todeta, että Pauli-matriisit ja niiden käänteismatriisit mahdollistavat spinorien ja vektoreiden välisen muunnoksen.

Minkowskin avaruudessa Pauli-matriisit voidaan määritellä seuraavasti:

ηiA˙B˙=(100−1),(0−ii0),(100−1)\eta^{i \dot{A}\dot{B}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1
\end{pmatrix}

Nämä matriisit voivat toimia perustana Minkowskin avaruuden spinorimuodolle. Tällöin saamme yhteyden kaarevassa avaruudessa käytettäviin vektoreihin ja matriiseihin, jolloin geometrian muutos kaarevassa avaruudessa voidaan siirtää vektoreiden kautta myös spinoireiksi.

Esimerkiksi Schwarzschildin metrin tapauksessa voidaan muodostaa ortonormaalien vastakkaisten vektorien perusta, joka projisoi metrin (ds2=dt2−dr21−2mr−r2dθ2+sin⁡2θdϕ2ds^2 = dt^2 - \frac{dr^2}{1 - \frac{2m}{r}} - r^2 d\theta^2 + \sin^2 \theta d\phi^2) Minkowskin metriksi seuraavasti:

e0=(11−2mr,0,0,0),e1=(0,11−2mr,0,0)e^0 = \left( \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{2m}{r}}}, 0, 0, 0 \right), \quad e^1 = \left( 0, \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{2m}{r}}}, 0, 0 \right)
e2=(0,0,1r,0),e3=(0,0,0,1rsin⁡θ)e^2 = \left( 0, 0, \frac{1}{r}, 0 \right), \quad e^3 = \left( 0, 0, 0, \frac{1}{r \sin \theta} \right)

Tässä yhteydessä spinorien muunnos kaarevassa avaruudessa voidaan ymmärtää vektoreiden siirtämisen kautta, jotka luovat yhteyden alkuperäisen Minkowskin avaruuden spinoreihin.

Spinorien ja Pauli-matriisien käsittely jatkuu myös spinotensorin määritelmän kautta. Spinotensorin rooli on keskeinen silloin, kun halutaan muuntaa tensorit, jotka ovat epäsymmetrisiä kahden indeksin suhteen, spinoreiksi, jotka ovat symmetrisiä kahden indeksin suhteen. Esimerkiksi voidaan kirjoittaa:

AαβAB=ϵRA˙SB˙gαRgβS+gαRgβSA_{\alpha\beta}^{AB} = \epsilon^{R\dot{A}S\dot{B}} g_{\alpha R} g_{\beta S} + g_{\alpha R} g_{\beta S}

Spinotensorit voidaan luokitella myös erityisiin muotoihin ja niiden soveltaminen on keskeistä, kun tarkastellaan Weylin tensorin spinori-ilmauksia.

Weylin tensorin spinori-ilmauksen määritelmä seuraa:

CABCD=SαβγδABCCαβγδC_{ABCD} = S_{\alpha\beta}^{\gamma\delta} A_{BC} C_{\alpha\beta\gamma\delta}

Tämä määritelmä johtaa eräänlaiseen ihmeelliseen ominaisuuteen: Weylin tensorin kaikki monimutkaiset identiteetit voidaan yksinkertaistaa käyttämällä spinori-ilmauksia. Weylin tensorin ilmenemismuoto on symmetrinen kaikilla indekseillään, ja tämä voidaan tarkistaa helposti käyttämällä edellä mainittuja spinoreiden ominaisuuksia.

Lisäksi Petrov-luokittelu spinorimuodossa tarjoaa mahdollisuuden luokitella Weylin tensorin spinorimuotoa erillisiin luokkiin. Petrov-luokittelu tarkastelee erityisesti Weylin tensorin spinori-ilmauksen muotoa ja selvittää, kuinka monta lineaarisesti riippumatonta spinoria voidaan löytää tietyssä matemaattisessa rakenteessa. Tämä luokittelu voidaan jakaa kuuteen erilliseen tapaukseen:

  • (I) Ei kahta Debever-spinoria, jotka ovat samansuuntaisia.

  • (II) Tarkalleen kaksi Debever-spinoria ovat samansuuntaisia.

  • (III) Kolme Debever-spinoria ovat samansuuntaisia.

  • (D) Kaksi Debever-spinoria ovat samansuuntaisia, mutta muut kaksi ovat myös samansuuntaisia, mutta eri suuntiin.

  • (N) Kaikki neljä Debever-spinoria ovat samansuuntaisia.

  • (0) Weylin tensori on identtisesti nolla.

Jokaisella näistä luokista on oma merkityksensä ja ne tarjoavat arvokkaita näkökulmia kenttäteorian ja yleisen suhteellisuusteorian soveltamisessa.

Miten valita koordinaatit sferisesti symmetrisessä painovoimakentässä ja säilyttää symmetriat?

Tarkastellaan tilannetta, jossa haluamme ratkaista osittaisdifferenssiyhtälön, joka ilmenee sferisesti symmetrisessä painovoimakentässä. Yhtälö on seuraava:

βG,r′F,t′+βG,t′F,r′+γG,t′G,r′=0.βG,r′ F,t′ + βG,t′ F,r′ + γG,t′ G,r′ = 0.

Tässä GG voidaan valita mielivaltaisesti, ja yhtälöstä tulee kvasi-lineaarinen epähomogeeninen osittaisdifferenssiyhtälö FF:lle, jonka ratkaisemiseen on olemassa vakiintuneita menetelmiä. Pääsimme tähän tilanteeseen asettamalla β=0β = 0 kahdessa vaiheessa, ja molemmissa tapauksissa GG oli mielivaltainen. Tämän vuoksi voimme valita GG siten, että saavutamme edelleen yksinkertaistuksia.

Useimmissa oppikirjoissa tehdään kuitenkin virhe, kun ne väittävät, että GG valitaan niin, että δ~=−r′2\tilde{δ} = -r′2. Tämä on väärin, koska δδ on skalaari, joka on muuttujan muutosalainen (katso kaava (14.2)). Jos ennen transformaatioita δ=vakioδ = \text{vakio}, niin δ~=δ=vakio\tilde{δ} = δ = \text{vakio}, eikä sille voida asettaa mitään ehtoa. Tämän vuoksi yksinkertaistaminen kaavassa (8.52)(8.52) on pohdittava huolellisesti.

Oletetaan, että haluamme muuttaa koordinaatit niin, että β~=0\tilde{β} = 0 ja δ~=−r′2\tilde{δ} = -r′2. Tämä on mahdollista vain, jos δ,αδ,α on aikarajallinen vektori, kuten seuraavasta seuraa. Ensimmäinen eroavuus syntyy, kun δ,αδ,α on aikarajallinen vektori: tällöin voimme valita koordinaatit siten, että β~=0\tilde{β} = 0 ja δ~=−t′2\tilde{δ} = -t′2, kuten on esitetty kaavassa (14.17). Tämä tilanne vastaa fysikaalista tilannetta, jossa aikarajat ovat määritelty niin, että kaikki tietyt geometrian elementit pysyvät vakiona, vaikka muuttujia muutetaan.

Jos δ,αδ,α on null-vektori, eli gαβδ,αδ,β=0gαβδ,α δ,β = 0 mutta δ,α≠0δ,α \neq 0, voimme valita koordinaatit niin, että δ~=−r′2δ̃ = -r′2, mutta tämä johtaa automaattisesti siihen, että α~=0α̃ = 0. Tässä ei voida samalla saavuttaa β~=0β̃ = 0, mutta voidaan saavuttaa γ~=0γ̃ = 0, mikä tekee geometrian yksinkertaisemmaksi analysoida.

Jos taas δδ on vakio, ei sille voida asettaa mitään ehtoa, ja tällöin aikarajoitus on säännönmukainen. Tässä tapauksessa avaruusaika on kartesiainen tuote, joka koostuu säteenpinnan ja kahtadimensioisen pinnan metristä. Tällaiselle geometrian tyypille voidaan löytää muutoksia erityyppisten lähteiden kanssa, kuten sähköstaattiset kentät.

Tämän jälkeen huomataan, että valinta, jossa δ,αδ,α on aikarajallinen vektori, johtaa tiettyihin säännöksiin, jotka tekevät siitä mahdollisen saavuttaa vaaditut muunnokset. Tämä taas tuottaa ristiriidassa olevia tuloksia, jos yritetään soveltaa vapaasti poikkeavia geometriasääntöjä.

Yhteenvetona, kun halutaan valita koordinaatit sferisesti symmetriselle kentälle, on tärkeää valita sellaiset koordinaatit, jotka säilyttävät geometrian ja symmetrian. On tärkeää myös muistaa, että kaikki mahdolliset tulokset voivat muuttua riippuen valitun geometrian luonteesta ja siihen liittyvistä ehtosäännöistä. Esimerkiksi null-vektorit ja aikarajat voivat muuttua radikaalisti riippuen siitä, kuinka transformaatioita käsitellään.

Tällainen geometrian ja koordinaattimuunnosten analyysi on keskeinen osa yleisen suhteellisuusteorian ymmärtämistä, ja siihen liittyy monia haasteita, erityisesti kun käsitellään ei-vakio-lähteiden vaikutuksia ja niiden yhteensopivuutta metrisen rakenteen kanssa.

Miten havaitsemme valonlähteiden paikkasijoituksen siirtymän kosmologiassa?

Kun tarkastellaan pitkän aikavälin havaintoja kaukaisista valonlähteistä, jotka lähettävät valoa kohti tarkkailijaa, voidaan havaita ilmiö, jossa valon kulkusuunta muuttuu matkan varrella. Tämä johtuu siitä, että valonsäteet kulkevat erilaisten avaruusrakenteiden, kuten tyhjien alueiden ja galaksiryhmittymien, läpi. Tällainen ilmiö, jossa liikkuva aine "pyyhkii" läpi kulkevia valonsäteitä, on havaittu ensimmäistä kertaa Bondin (1947) tutkimuksissa. Nykyisin tällaisia muutoksia kutsutaan paikkasijoituksen siirtymiksi. Korzyński ja Kopiński (2018) esittelivät elegantin tavan määritellä tämä siirtymä yleisessä aikaruumissa.

Paikkasijoituksen siirtymän ymmärtäminen vaatii tarkempaa tarkastelua valon kulkureiteistä ja niiden muutosnopeudesta, kun ne kulkevat muuttuvien avaruusrakenteiden läpi. Yksi keskeinen kysymys on se, miten tarkkailija voi havaita nämä muutokset. Hasse ja Perlick (1988) ehdottivat kriteeriä, jonka mukaan kosmologisessa mallissa ei pitäisi olla paikkasijoituksen siirtymää, eli valonsäteiden kulkusuunnan pitäisi pysyä muuttumattomana ajan funktiona, kun tarkkailija seuraa kahta eri lähdettä. Tämä tarkoittaa, että jos tarkkailija näkee kaksi valonlähdettä samassa suunnassa, niiden kulkusuunta ei saa muuttua myöhemmin.

Krasiński ja Bolejko (2011) tutkivat tätä paikkasijoituksen siirtymää toisesta näkökulmasta, jota he kutsuivat "valopolkujen toistettavuudeksi" (RLP, Repeatability of Light Paths). He sovelsivat tätä ehtoa Szekeresin (1975) kosmologisiin malleihin ja laskivat driftin nopeuden säteille, jotka kulkevat kehittyvän kosmisen tyhjiön läpi. Korzyński ja Kopiński (2018) esittelivät myöhemmin paikkasijoituksen siirtymän määritelmän, joka on sovellettavissa yleisiin aikaruumis-malleihin. Heidän kriteerinsä tarjoaa tarkan määritelmän siitä, milloin kosmologinen malli voi olla vapaa paikkasijoituksen siirtymästä, ja se on tiiviisti yhteydessä Hasse ja Perlickin esittämään kriteeriin.

KK:n lähestymistavassa tarkastellaan nolla-energialla liikkuvia geodeettisia säteitä ja niihin liittyviä geodeettisia poikkeavuusvektoreita, joita käytetään paikkasijoituksen siirtymän määrittämisessä. Geodeettisen poikkeavuuden operaattori 𝒢[•] määritellään yhtälöllä, joka kuvaa, kuinka poikkeavuusvektorit kehittyvät geodeettisten säteiden mukana. Tämä kehityksellinen tarkastelu johtaa siihen, että geodeettinen poikkeavuus voidaan liittää kosmisen aineen ja avaruusrakenteiden muutoksiin.

Kun tarkkailija 𝒪 liikkuu maailmankaikkeuden läpi ja vastaanottaa valonsäteitä etäältä sijaitsevilta lähteiltä, kuten emittoijalta ℰ, säteiden kulkureitit voivat muuttua. Tällöin on tärkeää huomioida, että valonsäteiden geodeettinen poikkeavuus on suoraan yhteydessä tarkkailijan ja lähteen suhteellisiin liikkeisiin. Tämä suhde voidaan määrittää käyttämällä afiiniparametrejä säteiden reiteissä, jolloin voidaan tarkastella, kuinka valon kulkusuunta muuttuu ajan funktiona tarkkailijan ja emittoijan liikkeiden mukaan.

Erityisesti paikkasijoituksen siirtymä on havaittavissa, kun tarkkailija 𝒪 havaitsee valonsäteitä, jotka kulkevat erilaisten avaruusrakenteiden läpi ja muuttavat suuntaansa. Tällöin on tärkeää huomioida, että tarkkailija voi havaita valonsäteiden kulkusuunnan muutoksen, mutta tätä muutosta voidaan mallintaa tietyillä geodeettisilla ja kinematisilla periaatteilla. Tällöin tarkkailija havaitsee säteiden kulkusuunnan muuttuvan, mutta se voidaan määrittää tarkasti matemaattisesti käyttämällä edellä mainittuja kriteerejä ja malleja.

Paikkasijoituksen siirtymää voidaan mitata myös käyttämällä Jacobi-matriisin formaalia kuvausta, joka mallintaa säteiden alkuperäisten suuntien muutoksia ja niiden poikkeamia toistensa reiteistä. Tämä antaa tarkempia ennusteita siitä, miten valonsäteet kulkevat kosmologisessa ympäristössä, jossa on laajoja rakenteita ja epätasaisuuksia.

On myös tärkeää muistaa, että paikkasijoituksen siirtymää tutkittaessa on otettava huomioon myös se, kuinka avaruusrakenteet kehittyvät ajan myötä. Tämä kehittyminen voi johtaa muutoksiin säteiden kulkureiteissä, ja nämä muutokset voivat olla merkittäviä suurilla aikaskaalalla. Tällöin on tärkeää tarkastella kosmologisten mallien tarkkuutta ja niiden kykyä ennustaa paikkasijoituksen siirtymiä erilaisten rakenteiden ja kosmisten ilmiöiden läpi.

Miten lohikäärmeet heijastavat kulttuurien monimuotoisuutta ja merkityksiä Aasiassa?
Miten lankapaino, koukun koko ja jännitys vaikuttavat virkkaustulokseen?
Mikä on elämän jälleenrakentamisen todellinen merkitys?