Markkinoiden analysointi ja hinnoittelu liittyvät läheisesti siihen, miten arvioimme riskiä ja mahdollisia voittoja. Yksi keskeinen käsite on arbitraasi, eli mahdollisuus hyödyntää markkinoiden epätäydellisyyksiä ilman riskiä. Arbitraasin käsite on perusta, joka mahdollistaa markkinoiden tehokkuuden arvioinnin, erityisesti silloin, kun ei ole olemassa arbitraasimahdollisuuksia. Arbitraasimahdollisuuden määritelmässä on tärkeää ymmärtää, että se viittaa sijoitusstrategiaan, joka tarjoaa positiivisen todennäköisyyden voitolle ilman alaspäin suuntautuvia riskejä. Toisin sanoen, arbitraasi on markkinoiden epäloogisuus, jossa tietyn omaisuuden hinnat eivät ole järkevästi suhteutettuja.

Arbitraasin olemassaolon määritelmässä, kuten määritelmässä 1.2, portfolio ξ on arbitraasimahdollisuus, jos portfolio tuottaa ei-negatiivisia tuloja kaikilla mahdollisilla markkinatapahtumilla ja ainakin jollain tapahtumalla se tuottaa positiivisia tuloja. Tällöin arbitraasimahdollisuus on olemassa, koska markkinoilla on hinnoitteluvirhe, joka mahdollistaa riskittömän voiton. Reaalimaailman markkinoilla arbitraasimahdollisuuksia on kuitenkin vaikea löytää, sillä markkinat yleensä säilyttävät tehokkuutensa: jos arbitraasi ilmenee, markkinat reagoivat nopeasti ja hinta säätää itse itsensä. Tästä syystä arbitraasimahdollisuuden puute on keskeinen oletus markkinoiden tehokkuuden määrittelyssä.

Kun arbitraasi poistetaan markkinoilta, voidaan olettaa, että omaisuuden hinnat eivät ole enää virheellisesti hinnoiteltuja, ja jokaisella omaisuuserällä on positiivinen hinta. Tässä yhteydessä on myös tärkeää ymmärtää, että arbitraasin puute liittyy siihen, että markkinoilla ei ole olemassa sijoituksia, jotka tuottavat paremman tuloksen kuin riskittömät omaisuudet ilman riskiä. Tämä yhteys on kuvattu lemma 1.4:ssä, jossa korostetaan, että arbitraasimahdollisuus ei ole mahdollinen silloin, kun markkinoilla on aina jonkinlaista riskiä siihen liittyen.

Lisäksi on tärkeää ymmärtää, että riski-neutraalit mittarit, eli martingalimittarit, ovat avainasemassa arbitraasimahdollisuuksien ja tehokkaiden markkinamallien ymmärtämisessä. Kun markkinamalli ei salli arbitraasimahdollisuuksia, voidaan sanoa, että markkinamalli on arbitraasivapaa, ja tällöin voidaan määritellä niin sanottu riski-neutraali mittari. Tämä mittari määrittelee, että jokaiselle omaisuuserälle pätee kaava, jossa omaisuuden hinta on odotettu arvo tietyllä riskittömällä tuottoprosentilla, eli “1 + r” -kertoimella.

Riski-neutraali mittari voidaan ymmärtää niin, että markkinoilla hinnat määräytyvät tietyllä tavalla, joka ei ota huomioon riskiä, mutta se on tärkeä työkalu hinnoittelussa. Tällöin riski ei vaikuta suoraan hinnoitteluprosessiin, mutta tämä ei tarkoita, että riskitön tuotto olisi täysin pois laskuista. Martingalimittarit tulevat tässä kuvaan mukaan, sillä niiden avulla voidaan tarkastella markkinan dynamiikkaa ja tutkia, onko hinnoittelumalli johdonmukainen riskittömän tuoton suhteen.

Markkinamallin tehokkuus ja arbitraasimahdollisuuksien puute kytkeytyvät näin olennaisesti siihen, miten markkinahinnat käyttäytyvät ja miten niitä voidaan arvioida riskittömän tuoton näkökulmasta. Martingalimittarit, joita käytetään tarkastelemaan markkinahintojen dynaamisia muutoksia, voivat tarjota käsityksen siitä, miten markkinahinnat suhteutuvat toisiinsa ja voivatko ne heijastaa todellista markkinatilannetta ilman epätäydellisiä hinnoitteluratkaisuja.

Tärkeää on myös se, että riski-neutraali mittari ja martingalimittarit auttavat meitä ymmärtämään, milloin markkinoilla voi esiintyä epätasapainoa ja kuinka markkinahintojen muutokset voivat heijastaa syvempiä taloudellisia rakenteita ja suhteita. Tämä liittyy fundamentalismiin markkinoilla, jossa hinnoittelu perustuu syvällisiin taloudellisiin perusolettamuksiin, eikä pelkästään hetkellisiin markkinahäiriöihin.

Kuinka optimointistrategiat vaikuttavat amerikkalaisten johdannaisten hinnoitteluun?

Amerikkalaisen johdannaisen ostajan näkökulmasta optimaalinen käytön aika on keskeinen tekijä strategian kannalta. Tällöin tavoitteena on maksimoida se, kuinka paljon odotettu tuotto voidaan saada, kun johdannaiselle annetaan arvo tietyllä hetkellä. Tätä käsitellään tavanomaisesti optimaalisena pysäytysstrategiana, jossa arvioidaan, milloin kannattaa käyttää oikeutta ja milloin odottaa, että hinta kehittyy suotuisasti.

Tällaisen strategian muodostaminen perustuu pysäytystekniikoiden ja markkinainformaation yhdistämiseen. Yksinkertaisimmillaan pysäytysstrategia määritellään niin, että johdannaisen käyttöaika, joka määritellään satunnaismuuttujan τ avulla, riippuu ainoastaan sillä hetkellä käytettävissä olevasta markkinatiedosta. Tämä voidaan esittää muodossa:

τ:Ω→{0,1,…,T}∪{+∞}\tau : \Omega \to \{0, 1, \dots, T\} \cup \{+\infty\}

missä τ\tau on pysäytysajankohta, joka voidaan valita vain senhetkisten markkinatietojen perusteella.

Kun tämä pysäytystekniikka otetaan käyttöön, syntyy mielenkiintoinen ominaisuus: kun pysäytysajankohtaa etsitään, markkinahinnan ja mahdollisten johdannaisten arvot tarkastellaan tietyillä hetkillä. Esimerkiksi tietyn prosessin YY käyttö voidaan rajoittaa tiettyyn aikaan τ\tau, jolloin:

Yτt(ω):=Yt∧τ(ω)(ω)Y_{\tau t}(\omega) := Y_{t \wedge \tau(\omega)}(\omega)

Tämä rajoittaa prosessin arvon siihen, mitä tapahtuu viimeistään pysäytetyn hetken jälkeen. Erityisesti tämä prosessi on mukautettu, eli se reagoi vain aikaisempiin tietoihin, eikä se muutu myöhemmin.

Klassinen esimerkki on niin sanottu Doobin pysäytysteoreema, joka kertoo, ettei martingaalin arvoa voida "muuttaa paremmaksi" käyttämällä älykästä pysäytystaktiikkaa. Tämä tarkoittaa sitä, että martingaalin käytön aikana pysäytystekniikoita ei voi käyttää osakemarkkinoilla tuottamaan parempia tuloksia kuin mitä markkinat itse tarjoavat. Tämä on tärkeä käsite optimaalisia pysäytysstrategioita käsiteltäessä, koska se muistuttaa siitä, että pelkkä älykäs ajankohdan valinta ei voi taata parempaa tulosta, jos markkinoiden perusrakenne on tasapainossa.

Jatkamme analyysia, jossa tarkastellaan optimaalisten pysäytysten laskemista. Optimaalisen pysäytysajan valinta määräytyy seuraavasti: Maksimoi odotettu arvo seuraavasta johdannaisesta HH päivitettävän aikarajan mukaisesti. Näin saadaan:

max⁡τ∈TE[Hτ]\max_{\tau \in T} E[ H_{\tau} ]

Tässä TT on joukko kaikkia pysäytysaikoja, jotka eivät vie arvoa äärettömyyteen. On tärkeää huomata, että tämä optimointi ei vaadi erityisiä oletuksia markkinarakenteista eikä edes siitä, ettei markkinoilla olisi arbitrage-tilanteita. Tämä tarkoittaa, että se voidaan laskea riippumatta markkinan täydellisyydestä ja tarjoaa näin ollen joustavan työkalun monimutkaisemmassa kaupankäynnissä.

Jatkamme tarkastelua huomaten, että optimointiongelma voidaan esittää myös näin: Maksimoi johdannaisen odotettu tuotto, joka on muunnettavissa hyötyfunktioksi, jossa:

U(Hτ)=E[u(Hτ)]U(H_{\tau}) = E[ u(H_{\tau}) ]

missä uu on funktio, joka voi olla joko mitattava tai jatkuva. Tämä muuntaa ongelman siitä, että yksinkertaisesti valitaan paras mahdollinen käytön ajankohta, siihen, että tarkastellaan johdannaisen muutosta hyötyfunktiolla ja lasketaan tämä arvo toisen todennäköisyysmittarin QQ mukaisesti. Tämä on merkittävä laajennus, sillä se mahdollistaa laajemman näkökulman optimaalisuuteen, eikä rajoitu pelkästään markkinan suoraviivaisiin odotuksiin.

On tärkeää ymmärtää, että tämän optimointiongelman ratkaiseminen ei riipu pelkästään ajankohdan valinnasta. Vaikka markkinahinnat ja optimointistrategiat ovat tärkeitä, on myös otettava huomioon muut tekijät, kuten volatiliteetti ja hintojen kehityssuunnat pitkällä aikavälillä. Nämä tekijät voivat merkittävästi vaikuttaa siihen, milloin on järkevää käyttää johdannaista.

Mikä tekee todennäköisyysmitan vakaaksi ja kuinka se liittyy dynaamisiin riskiin?

Vakauden käsite on keskeinen tietyissä todennäköisyysmitan teoriassa, erityisesti martingaalien ja dynaamisten riskimittarien yhteydessä. Tässä tarkastellaan vakaan todennäköisyysmitan määritelmää ja sen soveltamista erityisesti martingaaleihin, ja miten tämä liittyy riskiin ja valinnanvapauteen taloudellisissa malleissa.

Määritelmän mukaan joukkoa Q, joka koostuu ekvivalenttien todennäköisyysmitoista (Ω, F), kutsutaan vakaaksi, jos joukkoon kuuluvien mitan Q1 ja Q2 pasting (eli yhdistäminen) σ-aikapisteessä kuuluu myös joukkoon Q, missä σ on pysähtymisaika. Tämän vakautta käsittelevän määritelmän yhteydessä esiintyy usein myös termi fork-konveksius tai m-vakautta. Se viittaa juuri tähän rakenteelliseen vakauteen, joka säilyy, vaikka todennäköisyysmitat yhdistettäisiin tietyissä pisteissä.

Vakaan joukon esimerkki, jota käsitellään yksityiskohtaisemmin, on P, joka koostuu kaikista ekvivalentista martingaalimitoista. Martingaalimittaus on käsite, joka liittyy tilastollisesti tasapainossa oleviin prosesseihin, joilla ei ole ennakoitavissa olevaa tulevaisuuden suuntaa, mutta niiden odotusarvo pysyy vakiona tietyllä aikavälillä. Tämä tekee martingaalimitoista erinomaisen esimerkin vakaasta joukosta. Tällöin, jos otetaan kaksi martingaalia P1 ja P2 ja niiden yhdistelmä (pasting) σ-pysähtymisajassa, niin tämä yhdistelmä kuuluu myös P:hen.

Vakautta käsittelevä väite perustuu siihen, että pasting-sääntöä voidaan soveltaa myös martingaalimitoilla. Tämä tarkoittaa, että kun martingaalit yhdistetään tietyssä aikapisteessä, yhdistelmä ei poikkea alkuperäisistä mittauksista vaan säilyttää niiden ominaisuudet. Toisin sanoen, jos otetaan kaksi martingaalia ja niiden pasting tietyssä σ-aikapisteessä, niin tämä yhdistelmä on edelleen martingaali. Tämä vakaan joukon ja martingaalimittauksen välinen yhteys on tärkeä, koska se luo teoreettisen perustan dynaamiselle riskinmittaukselle.

Vakautta voi tarkastella myös vaihtoehtoisessa muodossa, joka liittyy pysähtymisaikojen määrittämiseen. Jos σ on pysähtymisaika, joka ottaa vain yhden arvon välillä {0, 1, 2, ..., T} ja eroaa T:stä, niin voidaan määrittää joukko B, joka on Ft-algebrassa, ja näin muodostetaan σ-pysähtymisajan ehdolla uusi pasting. Tällöin, jos otetaan kaksi todennäköisyysmittaa Q1 ja Q2, niiden pasting σ-aikapisteessä saadaan kaavan avulla määriteltynä.

Näin ollen vakaan joukon määritelmä on yhtäpitävä myös tämän toisen lähestymistavan kanssa. Se tarjoaa tärkeän oivalluksen siitä, että vakaus ei ole pelkästään tietyssä mielessä säilyvä ominaisuus, vaan se on myös laajennettavissa erilaisten todennäköisyysmitan yhdistelmien kautta, jotka säilyttävät alkuperäiset ehdot ja ominaisuudet. Tämä on erityisen tärkeää taloudellisissa ja rahoitusmalleissa, joissa riskin hallinta ja ennakoimattomat tilanteet voivat johtaa tarpeeseen yhdistää eri todennäköisyysmitat dynaamisesti.

Lisäksi on huomattava, että vakaan joukon käsitteen soveltaminen on laajemmin yhteydessä dynaamisiin riskimittareihin, joita käsitellään kirjassa tarkemmin. Näillä mittareilla voidaan arvioida riskiä dynaamisesti, ottaen huomioon muuttuvat markkinaolosuhteet ja vaihtoehtoiset skenaariot. Tällöin vakaan joukon ominaisuudet auttavat varmistamaan, että riskimittarit pysyvät ennakoitavina ja johdonmukaisina myös epävarmuuden ja dynaamisten muutosten vallitessa.

Yksi keskeinen elementti tässä yhteydessä on martingaalien rooli. Koska martingaali on satunnaisprosessin muoto, jossa ei ole ennakoitavaa kehityssuuntaa, se tarjoaa ideaalisen mallin taloudellisessa analyysissä, jossa halutaan minimoida riski ja maksimointiin pyritään tasapainoisesti. Vakaan joukon käsite liittyy suoraan tämän tyyppisiin prosesseihin ja niiden dynaamisiin sovelluksiin, jotka voivat auttaa päätöksentekijöitä optimoimaan tulevaisuuden ennusteita ja hallitsemaan taloudellista riskiä.

Tämän tyyppiset matemaattiset mallit, erityisesti martingaalit ja vakaat todennäköisyysmitat, eivät ole pelkästään teoreettisia käsitteitä, vaan niillä on käytännön merkitystä riskienhallinnassa ja taloudellisessa analyysissä, kuten optioiden hinnoittelussa ja vakuutuksenottajille tarjottavissa dynaamisissa riskimittauksissa. Kun vakuutuksenantajat ja rahoituslaitokset käyttävät tällaisia teoreettisia työkaluja, ne voivat paremmin sopeutua muuttuviin markkinaolosuhteisiin ja varmistaa, että riskienhallinta on vakaa ja ennakoitavissa kaikissa olosuhteissa.

Miten analysoida ja tulkita laboratoriotutkimusten perustietoja luotettavasti?
Miten satunnaiset dynaamiset järjestelmät vaikuttavat talouteen ja dynamiikkaan?
Miten valmistaa monipuolisia kasvisruokia sveitsiläiseen tapaan