Von Neumann–Morgensternin edustuksen ja mieltymyksien rakenne

Oletetaan, että $M$ on todennäköisyysjakaumien joukko äärellisellä joukolle $S$ ja $\succ$ on mieltymyssuhde, joka täyttää sekä arkhimedeenisen aksiooman että riippumattomuusaksiooman. Tällöin voimme todeta, että olemassa on von Neumann–Morgensternin edustus, ja se on ainutlaatuinen positiivisten affiinimuunnosten suhteen. Tämä tulos on seurausta siitä, että äärellisessä joukossa kaikki todennäköisyysmittarit ovat yksinkertaisia, ja siten tällaisessa ympäristössä voidaan käyttää von Neumann–Morgensternin edustusta.

Aksioomien täyttämisen myötä saamme mahdollisuuden rakentaa mieltymyssuhteen numeerisen esityksen, joka on johdonmukainen ja joka voidaan liittää todennäköisyysjakaumiin. Esimerkiksi, jos $M$ on todennäköisyysjakaumien joukko äärellisellä joukolle $S$ , niin tämä numeerinen esitys on aina yksinkertainen ja se voidaan kirjoittaa muodossa $N U(\mu) = \sum \alpha_i U(\delta x_i) = \int u(x) \mu(dx)$ , joka on haluttu von Neumann–Morgensternin edustus.

Tässä kontekstissa lemman 2.24 ensimmäinen väite todistaa, että todennäköisyysmittareiden yhdistelmän ottaminen on monotonista suhteessa mieltymyssuhteeseen $\succ$ , joka täyttää molemmat aksioomat. Tämä tarkoittaa sitä, että jos $\mu \succ \nu$ , niin painotettu yhdistelmä $\alpha \mu + (1 - \alpha) \nu$ on tiukasti kasvava mieltymyssuhteen suhteen, ja näin ollen yhdistelmän järjestys voidaan helposti järjestää numeerisesti.

Lemman 2.24 toisen osan mukaan, jos $\mu \succ \nu$ ja $\mu \succeq \lambda \succeq \nu$ , niin on olemassa ainutlaatuinen $\alpha \in [0, 1]$ , joka täyttää suhteet $\lambda \sim \alpha \mu + (1 - \alpha) \nu$ . Tämä väite mahdollistaa numeeristen edustusten rakentamisen, jotka voivat luoda selkeän ja johdonmukaisen suhteiden järjestyksen.

Lopuksi, on todistettava, että tällaisen edustuksen ainutlaatuisuus on taattu, sillä kaikki numeeriset edustukset voidaan liittää toisiinsa positiivisilla affiinimuunnoksilla. Jos $U$ on alkuperäinen edustus, niin jos on olemassa toinen edustus $\tilde{U}$ , voidaan määrittää uusi edustus $\hat{U}$ positiivisena affiinimuunnoksena alkuperäisestä $U$ :stä, jolloin kaikki $U$ :n ja $\tilde{U}$ :n ominaisuudet pätevät ja edustukset ovat identtisiä. Tämä johtaa siihen, että von Neumann–Morgensternin edustus on yksikäsitteinen.

Erityisesti äärellisten joukkojen tapauksessa, kuten $S$ , tulos pätee suoraan, ja näin ollen mieltymyssuhteet voidaan esittää yksiselitteisesti numeerisina. Kuitenkin, kun tarkastellaan äärettömiä joukkoja, tilanne monimutkaistuu. Esimerkiksi, jos $S$ on äärettömän joukko, ei välttämättä voida aina löytää von Neumann–Morgensternin edustusta, kuten esimerkki 2.26 osoittaa.

Tämä tuo esiin tärkeän näkökohdan: vaikka von Neumann–Morgensternin edustus on voimassa äärellisissä joukossa, sen laajentaminen äärettömiin joukkoihin ei ole itsestäänselvää. Esimerkki 2.26 osoittaa, että joissain äärettömissä joukkoissa, kuten $S = [0, 1]$ , edustuksen löytäminen saattaa epäonnistua. Tämä voi johtua siitä, että äärettömän joukkojen todennäköisyysjakaumat eivät aina mahdollista yksinkertaista ja konsistenttia numeerista edustusta, mikä rajoittaa von Neumann–Morgensternin edustuksen soveltamista tällaisiin tilanteisiin.

Tärkeää on myös huomata, että vaikka edustukset voivat olla affiinimuunnoksia toisistaan, tämä ei takaa, että kaikki mahdolliset mieltymyssuhteet voidaan esittää tällä tavoin. Toisin sanoen, on olemassa rajoituksia sille, minkälaisia mieltymyksiä voidaan kuvata tällä systeemillä, erityisesti kun käsitellään äärettömiä joukkoja ja monimutkaisempia todennäköisyysjakaumia.

Mikä on optimaalisen pysäytysajan hinnoittelu ja kuinka se liittyy markkinan täydellisyyteen?

Kuvitellaan markkinatilanne, jossa sijoittaja harkitsee amerikkalaisen optioiden kaltaista rahoitusinstrumenttia, joka voi maksaa suorituksen eri aikoina riippuen optioehdoista ja markkinatilanteesta. Tällöin kysymykseksi nousee, kuinka hinnoitella tämän tyyppinen instrumentti niin, että se on vapaata arbitraasista ja kuinka määritellä optimaaliset pysäytysajat, jotka liittyvät mahdollisiin riskienhallintastrategioihin.

Kun tarkastellaan markkinamallin täydellisyyttä, voimme huomata, että jokaista amerikkalaista claimia (H) voidaan mahdollisesti saavuttaa tietyin edellytyksin. Tällöin markkinan täydellisyys tarkoittaa sitä, että voidaan määritellä optimaalinen hinnoittelu strategia, joka minimoi riskin ja samalla määrittelee tarvittavan alkupääoman tietyllä osakeportfolion suojaamisella. Tämä on mahdollista, mikäli markkinat ovat täydelliset, eli jokaiselle mahdolliselle amerikkalaiselle claimille löytyy optimaalinen hinnoitteluratkaisu, joka on joko yksi tai ainutlaatuinen, ja se ei sisällä arbitraasimahdollisuuksia.

Tämä hinnoitteluprosessi perustuu usein superhedge-menetelmiin ja minimax-identiteettiin, jonka avulla voidaan osoittaa, että alun perin investoitava summa (alkupääoma) on yhtä suuri kuin claimin ainutlaatuinen arbitraasivapaa hinta. Näin ollen täydellisessä markkinassa amerikkalainen claim on aina saavutettavissa tietyin hinnoittelukriteerein.

Jatkamme tarkastelua erityisesti yhdistämällä kaksi todennäköisyysjakaumaa tietyllä pysäytysajalla. Tämä pasting-operaatio, eli todennäköisyysjakaumien yhdistäminen tietyllä pysäytysajalla (σ), on avainasemassa amerikkalaisen claimin hinnoittelussa ja suojausstrategioiden analyysissä. Yhdistämällä todennäköisyysjakaumat saamme käsityksen siitä, kuinka markkinat reagoivat erilaisiin sidosryhmiin ja olosuhteisiin, jotka voivat vaikuttaa hinnoitteluprosessiin ja riskienhallintaan.

Pystymme edelleen tarkastelemaan, miten täsmälliset ja dynaamiset hinnoittelumallit voidaan määritellä, erityisesti silloin, kun puhutaan dynaamisesta pysäytyksestä ja sen vaikutuksesta amerikkalaisten claimien hinnoitteluun. Tällöin markkinan epätäydellisyydet voivat vaikuttaa hinnoittelumalleihin, mutta silti on mahdollista löytää ainutlaatuinen hinta, joka säilyttää arbitraasin vapauden ja pysyy sopusoinnussa markkinan todellisten ehtojen kanssa. Tämä pätee erityisesti silloin, kun tarkastellaan integroitavuutta ja jatkuvuutta markkinahintojen muutoksissa.

Erityisen tärkeää on ymmärtää, että vaikka markkinat voivat olla epätäydellisiä, niin kuitenkin jokainen saavuttavissa oleva amerikkalainen claim täyttää integraalisuusvaatimukset ja siihen liittyvät ehdot, jotka voivat määritellä sen hinnoittelun. Tämä korostaa hinnoittelumallien sovellettavuutta myös epätäydellisissä markkinatilanteissa ja niiden kykyä tarjota oikeanlaista suojaa riskejä vastaan. Tällöin tärkeä väline on Snellin kuoren (Snell envelope) käyttö, joka takaa optimaalisen pysäytysajan ja suojausstrategian onnistumisen myös dynaamisissa ja epätäydellisissä olosuhteissa.

Pasting-operaatioiden ymmärtäminen on erityisen tärkeää, koska se tarjoaa mahdollisuuden yhdistää kaksi todennäköisyysjakaumaa ja näin mahdollistaa riskien hallinnan edelleen tarkemman määrittelyn eri pysäytysaikoihin liittyen. Kysymys siitä, kuinka eri pysäytysajat vaikuttavat markkinoiden hinnoittelumalleihin ja riskiin, tulee olemaan keskeinen osa modernia rahoitusteoriaa ja sen soveltamista markkinatoimijoille.

Miten koneoppimisen elinkaari tukee tekoälyn hyödyntämistä terveydenhuollossa?
Miksi ampuma-aseiden kehitys ja uudet teknologiat ovat muuttaneet markkinoita ja yhteiskuntaa?
Miten yhdistää ja analysoida aikaleimamuuttujia ja matkatietoja datassa?
Miten rakentaa ravitseva ja värikäs viikonlopun brunssi luonnollisilla raaka-aineilla?