Kuinka laskea kolmoisintegraaleja monimutkaisille alueille

Tässä tapauksessa integraali lasketaan segmenttikohtaisesti, eli ensin integroidaan z:n suhteen, sitten y:n ja lopuksi x:n suhteen. Tällöin integraalin laskeminen yksinkertaistuu, koska voimme käyttää osittaisintegraatioita ja käsitellä kutakin muuttujaa erikseen.

Esimerkki 2: Kolmoisintegraali sylinterikoordinaateissa

Toisessa esimerkissä lasketaan tilavuus alueella, joka on rajoitettu laakealla paraboloidilla ja xy-tasolla. Alue Ω on määritelty ehtoilla $z \leq 1$ ja $x^2 + y^2 \leq z$. Tällöin voidaan käyttää sylinterikoordinaatteja:

• $x = \rho \cos\theta$

• $y = \rho \sin\theta$

• $z = z$

Tässä tapauksessa integroimme ensiksi z:n suhteen, sitten $\rho$-muuttujan ja lopuksi kulman $\theta$. Tämä lähestymistapa yksinkertaistaa alueen laskemista, koska alue Ω on kuvattavissa rakenteellisesti sylinteriksi.

Esimerkki 3: Integraali kuution sisällä

Integraali lasketaan vaiheittain, ensin z:n suhteen, sitten x:n ja lopuksi y:n suhteen. Tässä on tärkeää huomioida, että voidaan käyttää erilaisia koordinaattijärjestelmiä, kuten pyörähdyssymmetrisiä koordinaatteja, mikä tekee laskemisesta selkeämpää ja tehokkaampaa.

Esimerkki 4: Viviani-ikkunan tilavuus

Viviani-ikkunan tilavuus on erikoistapaus, jossa alue Ω on rajoitettu pallolla ja toisen pyöreän alueen kanssa. Alue on kuvattavissa osaksi palloa ja pyöreää levyä. Tässä tapauksessa voidaan käyttää sylinterikoordinaatteja, mutta pyöreä alue rajataan niin, että se pysyy järkevänä ja kauniisti rajoitettuna.

Mikä on tärkeää ymmärtää?

Näiden esimerkkien yhteinen piirre on se, että integrointi useissa kolmoisintegraaleissa voidaan yksinkertaistaa jakamalla integraali useisiin osiin ja käyttämällä sopivaa koordinaattijärjestelmää. Yksi tärkeimmistä perusperiaatteista on valita oikea koordinaattijärjestelmä (esim. sylinterikoordinaatit, pallokoordinaatit), sillä se voi ratkaisevasti yksinkertaistaa laskentaa ja mahdollistaa integraalin laskemisen sujuvasti.

Mikä on avoimen joukkojen irrotettavuus ja niiden yhteys geometriaan?

Jos meillä on kaksi avointa, irrotettua joukkoa $U_1, U_2 \subset \mathbb{R}^n$, niin ne ovat selvästi irrallaan, koska $V_i = U_i \cap \Omega = U_i$ (missä $i = 1, 2$) ja $\Omega$ ei ole yhteydessä. Samalla tavalla voidaan sanoa, että $\Omega$ on irrotettu, jos se on kahden erillisen ei-tyhjän suljetun joukon unioni. Joukot $U_1$ ja $U_2$ sanotaan olevan irrottavat osajoukot $A$:lle. Tämä on havainnollistettavissa kuvassa 1.8, jossa näkyy esimerkki kahdesta erillisestä ellipsistä, jotka eivät ole yhteydessä toisiinsa.

Määritelmä 1.13 (Monikulmion yhdistetty joukko)
Ei-tyhjä joukko $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ on monikulmion yhdistetty, jos jokaiselle pisteparille $A$ ja $B$ joukossa $\Omega$ on olemassa monikulmio-jonkohan, joka on kokonaan $\Omega$:ssa ja yhdistää $A$:n ja $B$:n. Tämä tarkoittaa, että pisteet $A = P_1, P_2, \dots, P_m = B$ kuuluvat joukkoon $\Omega$, ja osat $P_jP_{j+1} \subset \Omega$ pätevät kaikille $j = 1, \dots, m-1$. On selvää, että monikulmion yhdistetty joukko on aina yhdistetty. Käänteinen väite ei kuitenkaan pidä paikkaansa: esimerkiksi ympyrä tasossa on yhdistetty, mutta ei monikulmion yhdistetty, koska ympyrässä ei ole suoria osia.

Tämän idean pohjalta voidaan todeta, että jos yhdistämme useita yhdistettyjä joukkoja, saamme edelleen yhdistetyn joukon, kunhan niiden välillä ei ole eroa. Tämä voidaan esittää seuraavasti:

Ehdotus 1.3

Määritelmä 1.14 (Koukerojoukko)
Ei-tyhjä joukko $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ on koukero, jos kaikille pistepareille $A$ ja $B$ joukossa $\Omega$, suora segmentti $AB$ kuuluu joukkoon $\Omega$. Koukerojoukot ovat aina monikulmion yhdistettyjä ja siksi yhdistettyjä. Käänteinen väite ei kuitenkaan pidä paikkaansa: kuvassa 1.9 näkyvä monikulmion yhdistetty joukko ei ole koukero, koska polygonaalinen ketju, joka yhdistää ensimmäisen ja viimeisen pisteen, ei ole mukana joukossa $\Omega$.

Määritelmä 1.15 (Rajoitettu joukko)

Heine-Borelin lause
Tämä kuuluisa lause on keskeinen analyysissä Euklidisessa avaruudessa. Lauseessa todetaan, että seuraavat ehdot ovat ekvivalentteja:

(i) $\Omega$ on suljettu ja rajoitettu;
(ii) Jokaiselle avoimelle joukkojen perheelle $\{U_i : i \in I \}$, jossa $\Omega \subset \bigcup_{i \in I} U_i$, on olemassa äärellinen osajoukko $\{U_{i_1}, \dots, U_{i_N}\}$, niin että $\Omega \subset U_{i_1} \cup \dots \cup U_{i_N}$.

Määritelmä 1.16 (Kompakti joukko)

Määritelmä 1.17 (Lähestyvä jono)
Jono $(P_n)_{n \geq 0}$ pisteitä $\mathbb{R}^n$:ssä lähestyy pistettä $P \in \mathbb{R}^n$, jos jokaiselle $\epsilon > 0$ löytyy $N \in \mathbb{N}$, niin että $n > N$ tarkoittaa, että etäisyys $d(P_n, P) < \epsilon$. Jos $(P_n)$ lähestyy $P$:tä, voimme kirjoittaa $P_n \to P$.

Bolzanon-Weierstrassin lause

Määritelmä 1.18 (Cauchy-jono)
Jono $(P_n)_{n \geq 0}$ on Cauchy-jono, jos jokaiselle $\epsilon > 0$ löytyy $N \in \mathbb{N}$, niin että $n, m > N$ tarkoittaa, että $d(P_n, P_m) < \epsilon$.

Määritelmä 1.19 (Täydellisyys)