Stokaattinen nesteen mekaniikka on monitahoinen ja monimutkainen alue, jossa pienet mittakaavat ja satunnaiset vaikutukset yhdistyvät muodostaen mielenkiintoisia ja haasteellisia ongelmia. Käsitellessämme tietyntyyppistä turbulenssia ja sen yhteyksiä stokaattisiin prosesseihin, voimme käyttää tietyntyyppisiä matemaattisia esityksiä, jotka mahdollistavat mallintamisen ja ongelman ratkaisun, kuten Itô-Stratonovich -integraalit. Tämä lähestymistapa on erityisen tärkeä silloin, kun tarkastellaan turbolenssia, joka ei ole homogeenista avaruudessa.

Esimerkiksi ajattelemme matriisia QS(t,τ,x)Q_S(t, \tau, x), joka on ajassa integroitu prosessi, jonka käyttäytyminen tulee ymmärtää rajoittuvan ajan τ→0\tau \to 0 lähestymistilassa. Tämä integroitu prosessi saa rajoituksen, joka on usein itsenäinen ajasta (stasjonaarisuuden vuoksi), mutta voi silti säilyttää avaruuden riippuvuuden. Tällaiset tarkastelut ovat erityisen tärkeitä, kun tarkastellaan monimutkaisempia geometrejä, joissa turbulenssi ei ole homogeenista avaruudessa. Tämä lähestymistapa auttaa ymmärtämään, miksi pienet mittakaavat voidaan kuvata satunnaisilla prosesseilla ja kuinka nämä satunnaiset prosessit liittyvät turbulenttien kenttien käyttäytymiseen.

On tärkeää huomata, että satunnaisten prosessien kuten Brownin liikkeen integrointi ajassa toimii hyvänä työkaluna tämän tyyppisissä matemaattisissa malleissa. Tätä mallia voidaan käyttää, kun haluamme arvioida pienimuotoisia ilmiöitä, kuten turbolenssin vaikutuksia tietyssä ajassa. Esimerkiksi tietyissä tilanteissa voimme olettaa, että satunnaisten kenttien vaikutus on niin pieni, että ne ovat lähes merkityksettömiä verrattuna muihin suureisiin, mutta ne voivat silti vaikuttaa merkittävästi systeemin käyttäytymiseen.

Pienillä mittakaavoilla on tärkeä rooli tässä mallissa. Tämä näkyy esimerkiksi silloin, kun tarkastellaan termiä MM, joka on pieni jäännös, kun τ\tau on pieni. Tämä intuitio perustuu siihen, että kenttä uS(t)u_S(t) vaihtelee nopeasti ja on epäsäännöllinen, mutta verrattuna muihin termeihin se sisältää aina jonkinlaisen pienen tekijän, joka on äärettömän pieni τ\tau:n suhteen. Tämä pieni vaikutus on tärkeä ymmärtää, koska se selittää, miksi tietyt termit, kuten LtuS(t)L_t u_S(t), voivat säilyttää merkityksensä pienillä aikaväleillä.

Mallin määrittämisessä käytämme myös valkoisen kohinan perusperiaatteita. Tällöin QS(t,τ,x)Q_S(t, \tau, x) voidaan laskea tietyillä valikoiduilla satunnaisilla prosesseilla. Erityisesti voimme käyttää Brownin liikettä ja verrata sitä muihin satunnaisiin kenttiin, kuten σk(x)\sigma_k(x), jotka ovat divergoitumattomia kenttiä. Tämä johtaa siihen, että QS(t,τ,x)Q_S(t, \tau, x) lähestyy tiettyä raja-arvoa, kun τ→0\tau \to 0, joka on itsenäinen ajasta, mutta säilyttää avaruudelliset riippuvuudet.

Itô-Stratonovich -integraalivalinta on keskeinen tässä kontekstissa. Jos satunnaisista prosesseista käytetään mallina valkoista kohinaa, voimme soveltaa Stratonovich-tyyppisiä integraaleja. Näitä integraaleja käytetään erityisesti silloin, kun kenttä uSu_S vaihtelee nopeasti ja on käytännössä satunnainen pienissä mittakaavoissa. Tämä valinta on tärkeä, koska se mahdollistaa ajassa muuttuvien prosessien tarkastelun ja niiden vaikutusten mallintamisen turbolentissa ympäristössä.

Stokaattisessa nesteen mekaniikassa pyritään usein saamaan hallintaan suuret skaalat, kuten ωL\omega_L, pienentämällä pienet skaalat ja tarkastelemalla niiden yhteyksiä satunnaisiin kenttiin. Tämä edellyttää kuitenkin rajoitusten ymmärtämistä sekä aikaskaaloissa että avaruudellisessa mittakaavassa. On tärkeää muistaa, että skaalojen yhteys ei ole pelkästään tilastollinen; myös aikakorrelaatioiden on otettava huomioon. Tässä mallissa suurten mittakaavojen sulkeminen voidaan tehdä käyttäen satunnaista prosessia ja määrittämällä tarkasti, miten nämä pienet skaalat vaikuttavat suurempiin kenttiin ja suureisiin mittakaavoihin.

Tämä lähestymistapa tarjoaa myös mahdollisuuden tarkastella suuremmassa mittakaavassa tapahtuvia ilmiöitä, kuten turbulenssia, ja sen yhteyksiä stokaattisiin prosesseihin. Esimerkiksi, kun tarkastellaan ωL\omega_L kenttiä, voidaan havaita, että pienet turbolentit mittakaavat häviävät tietyissä rajoissa, ja systeemin käyttäytyminen voidaan mallintaa yksinkertaisemmilla suureilla. Tämä voi johtaa siihen, että päästään lähemmäs laajempia turbolenssimalleja, kuten LES-malleja, jotka sulkevat suurten mittakaavojen yhtälöitä.

Pienet mittakaavat ja stokaattiset prosessit ovat keskeisiä stokaattisessa nesteen mekaniikassa, ja niiden ymmärtäminen on tärkeää, koska ne auttavat mallintamaan turbolenssia ja muita monimutkaisempia ilmiöitä. Koko prosessin ymmärtäminen vaatii myös huomion kiinnittämistä satunnaisten prosessien, kuten Brownin liikkeen, merkitykseen ja niiden rooliin pienissä mittakaavoissa. Tällä tavoin saamme tehokkaita työkaluja, joilla voimme arvioida monimutkaisempia fysikaalisia järjestelmiä ja soveltaa niitä todellisiin ongelmiin.

Miten stochastiset primitiiviset yhtälöt liittyvät ei-isotermiseen turbulenssiin ja rajatilojen ehtojen analyysiin?

Stokastiset primitiiviset yhtälöt, jotka käsittelevät ei-isotermistä turbulenssia tietyssä alueessa O=2T×(−h,0)O = 2T \times (-h, 0), jossa h>0h > 0 ja 2T2T on kaksidimensionaalinen tasotorus, voidaan esittää seuraavalla stokastisten differentiaaliyhtälöiden järjestelmällä. Täällä (βnt:t≥0)n≥1(\beta_n t : t \geq 0)_{n \geq 1} on itsenäisten Brownin liikkeiden jono annetussa todennäköisyystilassa (F,A,P)(\mathcal{F}, A, P), jossa filtraatio on FF. Yhtälöt ovat seuraavat:

dvdt=−∇HP−(v⋅∇H)v−w∂3v+Fvdt+∑n≥1(ϕn⋅∇)v−∇HPn+Gnv,ndβt,(6.2a)\frac{d\mathbf{v}}{dt} = -\nabla H P - (\mathbf{v} \cdot \nabla H) \mathbf{v} - w \partial_3 \mathbf{v} + F_\mathbf{v} dt + \sum_{n \geq 1} (\phi_n \cdot \nabla) \mathbf{v} - \nabla H P_n + G_n \mathbf{v,n} d\beta_t, \tag{6.2a}
dθdt=−(v⋅∇H)θ−w∂3θ+Fθdt+∑n≥1(ψn⋅∇)θ+Gθ,ndβt,(6.2b)\frac{d\theta}{dt} = - (\mathbf{v} \cdot \nabla H) \theta - w \partial_3 \theta + F_\theta dt + \sum_{n \geq 1} (\psi_n \cdot \nabla) \theta + G_\theta,n d\beta_t, \tag{6.2b}
∂3P+κθ=0,(6.2c)\partial_3 P + \kappa \theta = 0, \tag{6.2c}
∂3Pn+σnθ=0,(6.2d)\partial_3 P_n + \sigma_n \theta = 0, \tag{6.2d}
divHv+∂3w=0,(6.2e)\text{div} H \mathbf{v} + \partial_3 w = 0, \tag{6.2e}
v(⋅,0)=v0,θ(⋅,0)=θ0.(6.2f)\mathbf{v}(·, 0) = \mathbf{v}_0, \quad \theta(·, 0) = \theta_0. \tag{6.2f}

Tämä ongelma täydennetään seuraavilla rajaehdoilla:

∂3v(⋅,−h)=∂3v(⋅,0)=0alueella 2T,(6.3a)\partial_3 \mathbf{v}(·, -h) = \partial_3 \mathbf{v}(·, 0) = 0 \quad \text{alueella } 2T, \tag{6.3a}
∂3θ(⋅,−h)=∂3θ(⋅,0)+αθ(⋅,0)=0alueella 2T,(6.3b)\partial_3 \theta(·, -h) = \partial_3 \theta(·, 0) + \alpha \theta(·, 0) = 0 \quad \text{alueella } 2T, \tag{6.3b}
w(⋅,−h)=w(⋅,0)=0alueella 2T.(6.4)w(·, -h) = w(·, 0) = 0 \quad \text{alueella } 2T. \tag{6.4}

Lisäksi κ,σn\kappa, \sigma_n ja ϕn=(ϕ3n)j=1\phi_n = (\phi_3 n)_j = 1, ψn=(ψ3n)j=1\psi_n = (\psi_3 n)_j = 1 ovat määriteltyjä kartoituksia, joissa isotermisessä tilanteessa σn=0\sigma_n = 0 kaikille nn. Tämä tapaus on käsitelty [12] artikkelissa. Verrattuna deterministisiin asetuksiin, tuntematon nopeuskenttä merkitään u=(v,w)\mathbf{u} = (\mathbf{v}, w), jossa v=(v1,v2):[0,∞)×F×O→R2\mathbf{v} = (v_1, v_2): [0, \infty) \times \mathcal{F} \times O \to \mathbb{R}^2 ja w:[0,∞)×F×O→Rw : [0, \infty) \times \mathcal{F} \times O \to \mathbb{R} kuvaavat vaakasuoran ja pystysuoran komponentin. Tuntematon paine jakautuu ei-turbulentiksi ja turbulentiksi osiksi P:[0,∞)×F×O→RP: [0, \infty) \times \mathcal{F} \times O \to \mathbb{R}, Pn:[0,∞)×F×O→RP_n: [0, \infty) \times \mathcal{F} \times O \to \mathbb{R}, ja tuntematon lämpötila on θ:[0,∞)×F×O→R\theta: [0, \infty) \times \mathcal{F} \times O \to \mathbb{R}. Viimeiseksi, (Fv,Fθ,Gv,n,Gθ,n)(F_\mathbf{v}, F_\theta, G_\mathbf{v,n}, G_\theta,n) ovat annettuja kartoituksia, jotka voivat riippua (v,θ,∇v,∇θ)(\mathbf{v}, \theta, \nabla \mathbf{v}, \nabla \theta), ja kuvaavat deterministisiä ja stokastisia voimia sekä pienempien järjestyksien vaikutuksia, kuten Coriolis-voimaa.

Kuten alkuperäisessä tuloksessa [11], tarkastellaan tämän järjestelmän yleistämistä. Kun tulkitaan häiriön kuljetusosaa osaksi lineaaristettua järjestelmää, kuten kohdassa 6.1.3 on kuvattu, tarvitaan vain ehtoja, jotka takaavat tämän linearisoinnin parabolisuuden. Tällöin paikallinen olemassaolo voidaan johtaa stokastisten evoluutioteorioiden kriittisten avaruuksien kautta, kuten VERAARin ja AGRESTIn [4,5] kehittämissä tutkimuksissa. Verrattuna [36, 57] tuloksiin, tämä mahdollistaa melun, joka kuljettaa koko nopeuskenttää, käsittelemisen, ja johtaa jopa heikompiin oletuksiin kuin [36] ja [57], joissa melu käsitellään deterministisen järjestelmän epälineaarisena häiriötekijänä. Täällä kuljetusmelu sisällytetään lineaaristettuun ongelmaan, ja siksi ainoa pienuusvaatimus on parabolisuus-ehto. Tämä on optimaalista siinä mielessä, että jos ehto poistetaan, jopa lineaarinen järjestelmä ei enää ole parabolinen, jolloin sen tasoittumiskyvyt heikkenevät.

Jotta globaali ratkaisu voitaisiin päätellä, ei tarvita lisäsmallevuusvaatimusta verrattuna paikalliseen olemassaoloon. Globaali olemassaolo seuraa yhdistämällä paikallinen olemassaolo, räjähdyskriteerit [5] ja sopivat energiarajat. Viimeksi mainitut saadaan deterministisen a priori -arvioiden hengessä, kuten CAOn ja TITIn [41] työssä, mutta tässä lähestymistavassa HIEBERin ja KASHIWABARAn [94] tekniikkaa seurataan, jossa L6 -arviot on korvattu heikommilla L4 -arvioilla, jotka osoittautuivat paremmin soveltuviksi stokastiseen ympäristöön.

Kun σn=0\sigma_n = 0, tämä tapaus on käsitelty [12] ja yleistetty sisältämään σn≠0\sigma_n \neq 0 [11]. Yksi tärkeimmistä analyyttisista haasteista liittyy juuri tähän yleistykseen. Oletetaan, että (σn)n≥1∈ℓ2(\sigma_n)_{n \geq 1} \in \ell_2 on vakio. Huomaa, että yhtälö (6.2d) antaa kaikille (xH,x3)∈O(x_H, x_3) \in O ja t∈R+t \in \mathbb{R}^+:

x3^Pn(t,xH,x3)=pn(t,xH)+σnθ(t,xH,ζ)dζ,\hat{x_3} P_n(t, x_H, x_3) = p_n(t, x_H) + \sigma_n \theta(t, x_H, \zeta) d\zeta,

jossa pnp_n riippuu vain xH∈Tx_H \in T ja sitä kutsutaan tyypillisesti turbulentiksi pintapaineeksi. Tätä identiteettiä käyttämällä yhtälössä (6.2a) ilmenee seuraava gradienttinen melutermi ∑n≥1x3^σn∇Hθ(t,xH,ζ)dζdβnt\sum_{n \geq 1} \hat{x_3} \sigma_n \nabla_H \theta(t, x_H, \zeta) d\zeta d\beta_n t, joka vaikuttaa v\mathbf{v}-dynamiikkaan.

Yksi keskeisistä huomioista on, että maksimilisten L2-regulariteettiarvioiden avulla voidaan saada apriorisia Lt∞(Hx1)∩Lt2(Hx2)L^\infty_t(H^1_x) \cap L^2_t(H^2_x)-rajoituksia v\mathbf{v}:lle, ja siten globaali olemassaolo ongelmalle (6.2) edellyttää Lt∞(Hx2)L^\infty_t(H^2_x)-rajoituksia θ\theta:lle. Tämä on dramaattisesti erilainen tilanne kuin isotermisen

Miksi kalvojen teknologian edistysaskeleet ovat ratkaisevia PRO-teknologian tehokkuuden parantamisessa?
Kuinka Adsorptioon Perustuva CO2-päästöjen Puhdistusteknologia Toimii?
Miten valmistaa maukkaita japanilaisia ruokia kotona: reseptit ja vinkit
Miten virkata värikäs ja teksturoitu lasten neulepaita: Bobble-pistetekniikka ja värinvaihdot