Miten määritellä heikko martingaali-ratkaisut stochastisille Navier-Stokesin yhtälöille?

Tässä tarkastellaan ehtoja, joiden perusteella voidaan määritellä heikko martingaali-ratkaisut stochastisille Navier-Stokesin yhtälöille lisättyine dissipatiivisilla termeineen. Meillä on stochastinen prosessi $u_\epsilon$, joka konvergoi lakiin kohti determinististä Navier-Stokesin yhtälön ratkaisua, jossa on lisätty dissipatiivinen termi $\kappa$. Yhtälö ottaa muodon:

Tässä $\kappa : H \to H$ on mahdollisesti äärettömän negatiivisesti määritelty lineaarinen operaattori, joka tuottaa lisä dissipaatioita. Esimerkiksi tietyllä parametrivalinnalla voidaan saada $\kappa$ Laplacen operaattorin monikerraksi. Tässä yhtälössä ei esiinny stochastista integraalia (skalauksen vuoksi) eikä Itō-Stokesin hajoamaa (koska valittu kohinan isotropia on erityinen).

Perustavaa tietoa ja oletuksia

Tarkastellaan yleisiä oletuksia, jotka koskevat operaattoreita $C$ ja $Q$, joita käytetään ratkaisujen määrittelemiseen. Oletamme seuraavat ehdot:

• C on itse-adjointti ja negatiivisesti määritelty operaattori, jonka pääarvo on $-\lambda_0 < 0$, ja se on määritelty Sobolev-tilassa $H^s$.

• Q on symmetrinen ja positiivisesti puolimääritelty operaattori, joka commutoi $C$:n kanssa ja tuottaa tietyt Gaussian-sateet.

Näiden operaattoreiden avulla voidaan luoda semiryhmät, joita merkitsemme $e^{Ct}$ ja $e^{C_\epsilon t}$. Näiden semiryhmien avulla määritellään ratkaisut ja tutkitaan niiden rajoituskäyttäytymistä.

Ratkaisujen eksistenssi ja energian rajoitukset

Oletetaan, että $(u_\epsilon, y_\epsilon)$ on perhe heikkoja martingaali-ratkaisuja stochastiselle Navier-Stokesin yhtälölle. Tällöin olemme saaneet tuloksen, että jokaista $\epsilon \in (0, 1)$ kohden löytyy stochastinen perusta $(\Omega, \mathcal{F}, \{F_t\}, P, W)$, joka täyttää seuraavat ehdot:

1. Prosessit $u_\epsilon$ ja $y_\epsilon$ ovat progressiivisesti mitattuja ja niiden reitit kuuluvat tiettyihin Sobolev-tiloihin.

2. Ne täyttävät merkitsevät lineaariset yhtälöt, jotka liittyvät alkuperäisiin stokastisiin Navier-Stokesin yhtälöihin.

3. Perhe $\{u_\epsilon\}$ on tasapainossa energiassa, ja se on rajoitettu tietyissä funktiluokissa, kuten $L^\infty$ ja $L^2$.

4. Perhe $\{y_\epsilon\}$ on myös rajoitettu tietyissä Sobolev-tiloissa.

Tämä tulos on tärkeä, koska se osoittaa, että voidaan löytää heikko martingaali-ratkaisu, joka täyttää kaikki tietyt matemaattiset ehdot ja käyttäytymisen säännöt.

Ratkaisun lisääntyminen ja dissipaatio

Dissipaatiotermin lisääminen Navier-Stokesin yhtälöihin tuo mielenkiintoisia ominaisuuksia, kuten energian hallitun vähenemisen ajan funktiona. Tällöin voidaan osoittaa, että $e^{Ct}$ ja $e^{C_\epsilon t}$ semiryhmät_

Miten stokastiset vahvistukset vaikuttavat Navier-Stokesin yhtälöiden rajoihin ja konvergenssiin?

Stokastisten prosessien konvergenssi on tärkeä osa nykyaikaista matematiikan ja fysiikan tutkimusta, erityisesti kun tarkastellaan satunnaisia häiriöitä, jotka vaikuttavat Navier-Stokesin yhtälöiden ratkaisuihin. Tämän tyyppisissä systeemissä, joissa stokastinen kohina tulee mukaan, syntyy eräänlainen "raja-arvo", jonka avulla voidaan tutkia ratkaisujen pitkäaikaiskäyttäytymistä ja yleistettävyyttä.

Rajoitusprosessien tarkastelu alkaa siitä, että määritetään parametri, kuten $\epsilon$, joka mittaa satunnaisen häiriön voimakkuuden. Kun $\epsilon$ lähestyy nollaa, voidaan odottaa, että prosessi lähestyy tiettyä "raja-arvoa" tietyissä rajoissa. Tämä raja-arvo on usein monimutkainen ja vaatii tarkkoja laskelmia, kuten edellisissä lausekkeissa esitetyssä konvergenssianalyysissä.

Propositio 3.4.4 ja sen todistus tekevät selväksi, että satunnaisprosessit, kuten $\{ u_{\epsilon} \}$, ovat tiheitä todennäköisyysmitoissa tietyllä funktiotilassa $L^2([0, T], H) \cap C([0, T], H^{ -\beta})$, missä $\beta > 0$. Tämä tarkoittaa, että satunnaisprosessit konvergoivat tietyssä mielessä ja että niiden käyttäytyminen voidaan ennustaa tietyllä tarkkuudella ajan kulun myötä. Tämä on keskeinen osa stokastisten integraalien hallintaa ja niiden soveltamista osittaisiin differentiaaliyhtälöihin.

Konvergenssin käsittelemiseksi tarkasti on myös tärkeää tarkastella, miten satunnaisprosessin kehitykselle vaikuttaa sen alkuarvojen ja parametrien valinta. Esimerkiksi, kun $\alpha$ on valittu tietyllä tavalla ja $\epsilon \to 0$, voidaan havaita, että jäljellä olevat jäännöstermit lähestyvät nollaa tietyllä nopeudella. Tämä johtuu siitä, että satunnaisprosessien dynamiikka vakautuu ajan myötä, ja jäännöstermien vaikutus heikkenee. Kuitenkin on olennaista ymmärtää, että prosessin konvergenssi ei tapahdu välittömästi – siinä voi olla monia välivaiheita, joissa tietyt termit saattavat vaikuttaa merkittävästi prosessin käyttäytymiseen.

Raja-arvon dynaaminen käyttäytyminen voidaan esittää muodossa, joka riippuu testifunktioiden $\varphi_k$ ja niiden derivoitumisesta tietyillä alueilla, kuten $H^\theta$ -tilassa. Näin voidaan varmistaa, että jopa monimutkaisilla stokastisilla prosesseilla on hyvin määritellyt raja-arvot ja niiden käyttäytyminen voidaan ennustaa tarkasti.

On myös tärkeää ymmärtää, että satunnaisten prosessien rajoitukset ja niiden dynaaminen käyttäytyminen voivat olla voimakkaasti riippuvaisia alkuperäisistä olosuhteista, kuten Wiener-prosessin valinnasta tai alkuperäisten satunnaishäiriöiden jakaumasta. Tämän vuoksi on olennaista käyttää asianmukaisia teoreettisia työkaluja, kuten Prokhorovin ja Skorokhodin lauseita, jotka mahdollistavat konvergenssianalyysin tekemisen satunnaisten prosessien osalta.

Mitä tulee satunnaisten osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisujen analysointiin, voidaan huomata, että satunnaisten häiriöiden vaikutus ei ole yksinkertainen lisäys alkuperäiseen systeemin dynamiikkaan. Satunnaiset häiriöt voivat vaikuttaa prosessin pitkän aikavälin käyttäytymiseen monin tavoin, ja siksi niitä on käsiteltävä huolellisesti. Tämä tarkoittaa, että konvergenssia tarkastellessa on otettava huomioon kaikki mahdolliset jäännöstermit ja satunnaisprosessin vaikutukset, kuten edellä on esitetty.

Tässä yhteydessä on olennaista ymmärtää myös, että vaikka raja-arvojen konvergenssi on keskeinen tavoite, itse prosessin tarkastelu on usein monimutkaisempaa. Esimerkiksi tietyt jäännöstermit voivat edelleen olla merkittäviä tietyissä ajankohdissa, vaikka ne lähestyisivätkin nollaa ajan myötä. Tämän vuoksi on tärkeää analysoida prosessin käyttäytymistä eri aikoina ja tarkastella, miten jäännöstermit käyttäytyvät eri rajoissa ja parametreissa.

Miten toisenvaiheen nesteiden yhtälöt käyttäytyvät ilman viskositeettia?

Toisenvaiheen nesteiden yhtälöt tarjoavat mielenkiintoisen mallin viskoelastisille nesteille, joissa on kaksi keskeistä parametriä: elastinen vaste α > 0 ja viskositeetti ν > 0. Tässä mallissa oletetaan, että nesteen tiheys ρ on vakio ja yhtä suuri kuin 1. Jännitystensorin muoto on seuraava:

missä $A_1 = \nabla u + \nabla u^T$ ja $A_2 = \partial_t A_1 + A_1 \nabla u + \nabla u A_1$, $p$ on paine ja $u$ nopeuskenttä. Tämä jännitystensorin rakenne kuvastaa nesteen käyttäytymistä viskoelastisten ominaisuuksien suhteen, joissa elastinen vaste ja viskositeetti vaikuttavat merkittävästi nesteen liikkeisiin ja vuorovaikutuksiin.

Toisen asteen nesteiden liikehtimisyhtälöt voivat olla yleinen ja voimakas lähestymistapa, erityisesti kun käsitellään monimutkaisempia nestejärjestelmiä, kuten stokaattisia virtausyhtälöitä ja kuljetusmelua, jotka eivät välttämättä täytä klassisia oletuksia. Kuten Brecknerin työssä [4], jossa tarkastellaan Navier-Stokesin yhtälöitä ja niiden lisättyä satunnaisliikettä, tämä malli tuo lisää joustavuutta ja voi olla sovellettavissa myös muihin nesteiden dynamiikkaan liittyviin ongelmiin.

Erityisesti, kun käsitellään yksittäisten toisenvaiheen nesteiden stokaattista käyttäytymistä rajoitetussa alueessa, jossa ei liu'uviin reunaehtoihin liittyvät vaikutukset otetaan huomioon, voidaan tutkia ratkaisujen konvergenssia oikein skaalatuissa parametreissä. Näin ollen on mahdollista tutkia, kuinka nämä satunnaiset toisenvaiheen nesteiden ratkaisujen käyttäytyminen vastaa deterministisen Eulerin yhtälöiden ratkaisua.

Toisenvaiheen nesteiden yhtälöiden viskositeetin rajatilanteen tarkastelu on erityisen haastavaa, koska on vaikeaa näyttää, että Navier-Stokesin yhtälöiden ratkaisujen viskositeetti menee kohti nollaa, jolloin ne konvergoivat Eulerin yhtälöihin. Tämä ns. viskositeetin rajatilanteen ongelma, erityisesti kun käytetään rajoitetun alueen reunaehtoja, on tunnettu haaste nesteiden dynamiikassa. Esimerkiksi, jos Navier-Stokesin ratkaisujen alkuarvot ja ulkoiset voimat ovat riittävän pieniä, voidaan näyttää, että ratkaisujen välinen ero pienenee, kun viskositeetti menee kohti nollaa.

Tässä kontekstissa toisenvaiheen nesteiden yhtälöt tarjoavat mahdollisuuden tutkia viskositeetin rajatilanteen käyttäytymistä erityisesti silloin, kun reunaehdot ovat ei-liukuvia, kuten tunnettu no-slip-tila, jossa nesteen nopeus rajoitetaan nollaksi alueen reunoilla. Tämä luo suuren jännityksen alueen läheisyyteen, mikä puolestaan voi aiheuttaa epävakautta ja pyörteiden syntymistä. Kun viskositeetti on riittävän pieni, rajakerroksessa voi kehittyä turbulenssia, joka on tunnettu ilmiö tietyissä nesteiden dynamiikan ongelmissa.

Vaikka tällä hetkellä on vain osittaisia tuloksia viskositeetin rajatilanteen analysoimiseksi, on mahdollista, että toisenvaiheen nesteiden malli toimii paremmin turbulenssin, erityisesti reunaehtojen ja no-slip-ehdon yhteydessä. Tämä tekee siitä potentiaalisen vaihtoehdon klassisille Navier-Stokesin yhtälöille, erityisesti turbulenttien virtauksien tarkastelussa.

On tärkeää huomioida, että tutkimuksessa huomioitavat suuret viskositeetti- ja satunnaiset vaihtelut saattavat johtaa siihen, että fluidi käyttäytyy rajakerroksessa monin tavoin eri tavalla kuin perinteisissä nesteissä. Tämä voi tarjota syvällisempää ymmärrystä turbulenssin ja muiden epävakaiden ilmiöiden hallinnassa erityisesti äärimmäisissä olosuhteissa. Tällaisen tutkimuksen tavoitteena on tutkia, kuinka hyvin toisenvaiheen nesteiden yhtälöt soveltuvat näihin tarkempiin analyysitapoihin ja viskositeetin rajatilanteen tutkimukseen verrattuna Navier-Stokesin järjestelmään.

Miten stokastiset primitiiviset yhtälöt vaikuttavat nestemekaniikkaan ja ilmastomallinnukseen?

Primitiiviset yhtälöt, jotka kuvaavat nesteen liikkumista, saavat yhä enemmän huomiota niiden kyvystä mallintaa monimutkaisia fysikaalisia ilmiöitä, erityisesti silloin, kun niihin lisätään stokastisia komponentteja. Stokastinen lähestymistapa tuo mukaan satunnaisvoimat, jotka heijastavat luonnollista epävarmuutta ja satunnaista häiriötä ympäristössä. Tämän vuoksi primitiiviset yhtälöt, joissa on mukana stokastinen komponentti, voivat tarjota tarkempia ja realistisempia ennusteita esimerkiksi ilmastonmuutoksen tai meren virtauksien dynamiikasta.

Yhtälöiden ei-lineaarisuus ilmenee muotoon $\text{div} ((v, w(v)) \otimes v)$, jossa $w(v)$ sisältää edelleen $v$:n osittaisderivaatteja. Tässä ei-lineaarisuudessa on kyse erikoistilanteista, joissa virtaus kenttä ei ole täysin lineaarinen vaan sisältää monimutkaisempia vuorovaikutuksia. Tämä mahdollistaa ainutlaatuisten vahvojen ratkaisujen löytämisen tietyissä heikoissa avaruuksissa, kuten $-1,p \, p \, H_z L_{xy}$, mutta ei pidä sekoittaa heikkoihin ratkaisuihin tai niin sanottuihin z-heikkoihin ratkaisuihin primitiivisille yhtälöille.

Tällaisen ei-lineaarisen arvioinnin avulla voimme saavuttaa ratkaisuja, jotka eroavat perinteisistä heikoista ratkaisumalleista. Erityisesti tietyt oletukset, kuten $2q q h_b(\cdot) g \in L^\sigma(0, T; W^{1+1/p+\epsilon}(u; H)2)$, mahdollistavat (6.15) ratkaisun $-p L_\mu(0, T; 1/p H_z L_{xy})$ -avaruudessa sopivilla aikapainotuksilla $\sigma$ ja $\mu$, mikä takaa ainutlaatuisen ratkaisun.

Erityisen haastavaa primitiivisten yhtälöiden osalta on laajentaa paikallisia ratkaisuja globaaleiksi. Tämän saavuttamiseksi tarvitaan a priori -rajoja, ja vaikka klassinen tulos, kuten CAO:n ja TITI:n tutkimuksessa on esitetty, tarjoaa rajoja maksimissa $L^2_t$- $L^2_x$-asetuksessa, ei nämä rajoitukset ole vielä saatavilla nykyisissä heikoissa avaruuksissa, kuten $-1,p \, p \, H_z L_{xy}$. Viimeisimmät edistysaskeleet, kuten AGRESTI:n tutkimuksessa, tuovat kuitenkin toivoa siitä, että jopa heikommassa asetuksessa saavutetaan globaalit ratkaisut.

Stokastiset primitiiviset yhtälöt ja epäisoterminen turbulenssi

Stokastisten primitiivisten yhtälöiden toinen merkittävä sovellusalue liittyy epäisotermisen turbulenssin mallintamiseen, erityisesti kun tarkastellaan ei-isotermista turbulenssitasapainoa. Tämä malli laajentaa alkuperäistä determinististä lähestymistapaa, jossa primitiiviset yhtälöt johdetaan puristuvan Navier–Stokesin yhtälöistä käyttäen Boussinesqin ja hydrostaattisia approksimaatioita. Stokastisten approksimaatioiden osalta lähestymistapa eroaa perinteisestä siten, että huomioidaan lämpötila $\theta$ ja sen vaikutus virtausnopeuksiin.

Tässä lähestymistavassa lämpötila antaa alkunsa gradienttityyppiselle stokastiselle melulle (6.5), joka ilmenee yhtälöissä horisontaalisen nopeuskentän $v$ osalta. Tämä on linjassa tulosten kanssa, jotka on saatu aiemmissa tutkimuksissa, kuten [54,69], jossa pienemmän mittakaavan dynamiikan satunnaiset häiriöt luovat suuremman mittakaavan dynamiikassa kuljetus- tai gradienttityyppistä melua.

Stokastinen Boussinesqin approksimaatio

Boussinesqin approksimaatio on vakiintunut malli, jota käytetään erityisesti nostovoiman ajamana virtauksena. Stokastinen Boussinesqin approksimaatio tuo tämän käsitteen uusiin ulottuvuuksiin, erityisesti kun otetaan huomioon stokastiset häiriöt puristuvassa ja anisotropisessa Navier–Stokesin virtausmallissa. Tällöin tarkastellaan pienen parametristin $\epsilon$-riippuvaista aluetta, jossa epälineaariset termit approksimoidaan satunnaisilla voimatekijöillä, poislukien painovoiman termi. Tämän lähestymistavan etuna on, että se säilyttää mallin kohtuullisen matemaattisen ja laskennallisen monimutkaisuuden ja mahdollistaa mallit, jotka pystyvät tarkasti seuraamaan dynaamisen tasapainon muutoksia stokastisessa ympäristössä.

Tällaisen stokastisen lähestymistavan etu on se, että satunnaismelun avulla voidaan seurata dynaamisia approksimaatioita ja säilyttää samalla mallin monimutkaisuus ilman liiallista yksinkertaistamista. Stokastisten ilmastomallien tutkimus tuo tärkeitä näkökulmia tähän lähestymistapaan, erityisesti siinä, miten mallit voivat käsitellä ratkaisemattomia muuttujia, kuten lämpötilan ja tiheyden vaihteluja.

Stokastinen hydrostaattinen approksimaatio

Hydrostaattinen approksimaatio keskittyy siihen, miten voidaan laiminlyödä useita vertikaalisia komponentteja virtausnopeudessa. Tämä lähestymistapa lähestyy ratkaisua, jossa $\epsilon \to 0$, mikä yksinkertaistaa mallin laskennallista käsittelyä samalla kun se säilyttää realistiset fysikaaliset piirteet. Tämän lähestymistavan avulla voidaan tarkastella vertikaalisia liikkeitä pienemmässä mittakaavassa ja liittää ne horisontaaliseen liikkeeseen tehokkaasti.

Näiden approksimaatioiden avulla primitiiviset stokastiset yhtälöt saavat lisää kompleksisuutta ja realismia, mikä mahdollistaa niiden käytön yhä monimutkaisempien ja tarkempien mallien kehittämisessä.

Mikä on stokastinen järviseos?

Stokastisten järviseos-equaatioiden johdannossa seuraamme samaa approksimaatioiden sarjaa, joka vie meidät Lagrange-mekaniikan perusmalleista pyörivien matalien vesien yhtälöihin, päätyen järviseosten toiminnan kuvaamiseen stokastisten osittaisdifferentiaaliyhtälöiden (SPDE) avulla. Tähän pääsemme, kun asetamme Strouhal-luvun arvoksi yhden. Tämä yksinkertaistaa mallin rakennetta ja johtaa sen stokastiseen versioon.

Kun tarkastellaan Lagrangein multiplikaatoreita, jotka ylläpitävät jäykän kannen rajoitteen, on huomioitava, että nämä multiplikaatit eivät vain rajoita ratkaisuja deterministisiin profiileihin vaan ne myös mahdollistavat stokastisten komponenttien käsittelyn. Tämä on tärkeää, sillä stokastinen luonne tuo malliin satunnaisessa ympäristössä esiintyviä heilahduksia ja häiriöitä, jotka täytyy ottaa huomioon ratkaisuissa. Tämän vuoksi laskemme paineen komponentit käyttäen kaavaa $p_0 \, dt + \sum_{i=1}^{\infty} p_i \circ dW_i^t$, jossa $W_i^t$ on standardoitu Brownin liike, ja tämä integraali muodostaa stokastisen vaikutuksen painovoimaan ja virtausten dynamiikkaan.

Lagrangein multiplikoijien avulla pääsemme yhtälöiden variatiivisiin johdannaisiin ja voimme muodostaa tarkan liike- ja jatkuvuusyhtälön systeemille. Tämä on tärkeää, koska samankaltaisten yhtälöiden ratkaisut löytyvät vain tarkalla stokastisten termien käsittelyllä, jotka liittyvät virtausnopeuteen ja paineen vaihteluihin ympäristössä.

Tarkemmin sanottuna, rotatoivien järviseosten virtausnopeusyhtälö johtaa seuraavaan muotoon:

Tässä yhtälössä virtausten muutokset, turbulenssiin ja stokastiseen häiriöön liittyvät termit, sekä painegradientit muodostavat keskeiset osat. Ne kuvaavat systeemin dynaamisia muutoksia tietyllä hetkellä ja ottavat huomioon ympäristön satunnaisten häiriöiden vaikutuksen. Samalla jatkuvuusyhtälö tuottaa ehtoja, jotka rajoittavat systeemin tilan, pitäen virtausmatemaattisen mallin mielekkäänä ja fysikaalisesti pätevänä.

Kun pyörimisliike poistetaan (asettamalla $f = 0$), saamme stokastiset järviseos-yhtälöt seuraavassa muodossa:

Jatkuvuusyhtälö pysyy perusmuodossaan:

Nämä yhtälöt tarjoavat täysin suljetun systeemin, jossa stokastiset häiriöt otetaan huomioon jatkuvuuden ja liikkeen dynaamisessa yhteydessä. Ratkaisemalla näitä yhtälöitä saamme ajassa paikallisia ratkaisuja, kuten on todistettu Crisanin ja Langin tutkimuksessa.

Erityisesti on tärkeää huomata, että stokastinen järviseosmalli säilyttää geometristen konservaatiolakien voimassaolon, vaikka satunnaiset tekijät otetaan huomioon. Näin ollen malli säilyttää tärkeät fysikaaliset ominaisuudet, kuten Kelvinin kiertokulman ja potentiaalisen pyörimisen, jotka ovat systeemille välttämättömiä. Näiden säilyvyys on tärkeää mallin soveltuvuuden ja ratkaisujen analysoinnin kannalta.

Erityisesti, vaikka perinteiset Eulerin ja lake-equatioiden mallit saavat usein yksinkertaisia ja tarkkoja deterministisiä ratkaisuja, stokastinen laajennus tuo mukaan satunnaisvirheitä, jotka heijastavat ympäristön epävarmuutta ja kausaalisia häiriöitä. Tämä on tärkeää erityisesti silloin, kun mallintaminen kohdistuu monimutkaisiin tai muuttuvaan ympäristössä tapahtuviin ilmiöihin, kuten vesistön tai ilmaston dynaamisiin prosesseihin.