El espacio maximal que resulta de la construcción del producto tensorial proyectivo de representaciones, sin requisitos de simetría, da como resultado la ecuación W(N>t)=C°°(0”=1M(N.∗?54W(N>t) = C°° (0”=1 M(N. *? 54 que describe seminormas Hilbertianas continuas. Las seminormas de la topología hilbertiana son de la forma 1/2[p®kg)(u)=57(xj,Xk)Eyj,VkF1/2 [p®kg)(u) = 57 (xj,Xk)E {yj,Vk}F, donde nu=xi®Vin u = ^xi ® Vi. Estas seminormas son sumamente útiles en cálculos, como sucede en este caso. Esto se debe a que esta topología del producto tensorial hilbertiano es más fina que la inyectiva y más gruesa que las topologías del producto tensorial proyectivo. Sin embargo, para los espacios de Fréchet nucleares, estas últimas topologías son equivalentes, tal como se establece en Treves [1].

Las transformaciones canónicas cuánticas son un tema central para comprender cómo se estructuran las representaciones en la mecánica cuántica. A pesar de que estos espacios máximos son isomorfos entre sí, la pregunta es por qué seguimos distinguiéndolos en la práctica. La razón es que la equivalencia matemática y la física no son idénticas. En algunos casos, diferentes espacios máximos corresponden a diferentes operadores diagonales, lo que puede describir diferentes situaciones físicas. Un ejemplo importante es 5(JR37V)5 (JR37V), en el que los operadores de posición son operadores de multiplicación, lo que corresponde a la representación de Schrödinger que hemos estudiado previamente. Al aplicar la transformación de Fourier, obtenemos una representación en la que los operadores de momento son diagonales, lo que se conoce como la representación en el espacio de los momentos. Posteriormente, la serie de Fourier nos permite transformar esta representación en una en la que el operador fase es diagonal.

Otro ejemplo menos físico es la representación de Bargmann. En este caso, el operador de subida es diagonal. Estos ejemplos nos llevan a concluir que los diferentes espacios máximos deben considerarse como realizaciones de la formulación cuántica de las transformaciones canónicas.

En la formulación moderna y libre de coordenadas de la mecánica clásica, el punto de partida es una variedad suave que corresponde al espacio generalizado de posiciones. Más importante aún, en mecánica, es su variedad cotangente, que representa el espacio de fases del sistema. La dinámica aparece como los flujos asociados al Hamiltoniano, una función suave sobre el espacio de fases. Las transformaciones de coordenadas aceptables en el espacio de fases son aquellas bajo las cuales el flujo dinámico permanece invariante, es decir, las transformaciones canónicas.

De manera más precisa, para un grado de libertad, una transformación de coordenadas en el espacio de fases (q,P)→(Q,P)(q, P) \to (Q, P) es una transformación canónica si es un difeomorfismo y deja la forma canónica 2-invariante: dq∧dp→dQ∧dPdq \wedge dp \to dQ \wedge dP. Lo importante para la teoría cuántica es que el corchete de Poisson es invariante bajo transformaciones canónicas, como se observa en Arnold [1]. Dirac ha enfatizado que el conmutador entre una gran clase de observables cuánticos es "igual" al corchete de Poisson entre sus análogos clásicos, multiplicado por iℏi \hbar. Por lo tanto, el análogo cuántico de la transformación canónica clásica será una transformación del álgebra cuántica que preserva el ccr (relaciones de conmutación canónicas).

En nuestro modelo, esta noción precisa de transformación canónica cuántica se define de la siguiente manera:

Definición: Una transformación canónica cuántica es un isomorfismo T:Em→FmT: Em \to Fm entre espacios máximos que preserva la estructura de clase ss especificada en la Proposición 2.19. Como sabemos, tal transformación TT se extiende a una transformación unitaria entre los espacios de Hilbert completados de los espacios máximos.

A pesar de que muchos textos de física afirman que todas las transformaciones unitarias entre espacios de Hilbert son canónicas, esto no puede ser cierto en términos generales. Esto ha sido siempre claro para autores cuidadosos, como Kemble [1]. Para preservar la naturaleza ss-clásica del ccr, se requiere la estabilidad del dominio y la conservación de la continuidad de los operadores de subida y bajada en la topología ii-topológica, además de una preservación formal de la ecuación de conmutación. Las transformaciones de Fourier constituyen un ejemplo de esto. En contraste, consideremos una clase simple de contraejemplos.

Contraejemplo de transformación no canónica: Consideremos un grado de libertad, donde ff es una función continua real en R\mathbb{R}, y definimos [Uh](x)=exp⁡(if(z))/i(z)[Uh](x) = \exp(i f(z))/i(z) para todos h∈S(R)h \in S(\mathbb{R}). Si ff es continua pero no suave, o si crece demasiado rápido en el infinito, entonces ff es un operador unitario bajo el cual S(R)S(\mathbb{R}) no es estable. Por ejemplo, f(x)=∣z∣f(x) = |z| será un caso adecuado. Aunque las ecuaciones de conmutación todavía se mantienen formalmente, como q→qq \to q y p→p−f′p \to p - f', en este ejemplo, f′f' es discontinuo.

En resumen, los diferentes espacios máximos están asociados con el esquema de transformaciones canónicas cuánticas. La Definición 2.34 es la traducción de la teoría de transformaciones de Dirac [2] en nuestro modelo.

La teoría de álgebras topológicas no conmutativas, cuya topología no es normalizable ni barrilete, será útil para la comprensión de las transformaciones cuánticas, ya que el álgebra de observables en mecánica cuántica está modelada de manera similar. La teoría de estas álgebras es relativamente poco desarrollada, pero tiene implicaciones directas en el estudio de las representaciones cuánticas, especialmente cuando se estudian las propiedades de continuidad y la estructura de los operadores involucrados.

¿Cómo definir la adjunta de un operador en espacios de Hilbert?

Para un operador a∈L(W)a \in L(W), sea a′∈L(W′)a' \in L(W') su transpuesto. Dado que la incrustación W↔W′W \leftrightarrow W' que aparece en la ecuación (2.88) implica identificar un espacio de Hilbert con su dual, es natural implementar esta incrustación mediante el mapeo continuo, inyectivo y antilineal k:W→W′k : W \rightarrow W', que tiene un rango denso, dado por la fórmula [k(x),y]=[x,y)[k(x), y] = [x, y), con x,y∈Wx, y \in W. El punto crucial aquí es que el emparejamiento de productos internos sí involucra conjugación compleja, mientras que el emparejamiento dual no lo hace; kk mantiene el seguimiento de esta distinción. También cabe señalar que se utilizan corchetes para el emparejamiento dual. No siempre se cumple que akx∈Im ka k x \in \text{Im} \, k para todo x∈Wx \in W; se dice que aa es adjuntable si esto es cierto. Es decir, a∈L(W)a \in L(W) es adjuntable si akx∈Im ka k x \in \text{Im} \, k para todo x∈Wx \in W. En este caso, definimos a+∈L(W)a^+ \in L(W) mediante la fórmula a+x=k−1(akx)a^+ x = k^{ -1}(a k x), para x∈Wx \in W. Esto satisface claramente la ecuación (a+x,y)=(x,ay)(a^+ x, y) = (x, a y).

Más aún, si a∈L(W)a \in L(W) es adjuntable, entonces aa es cerrable, y a+=a∗a^+ = a^*. Es evidente que, sobre el conjunto de operadores adjuntables L+(W)L^+(W) en L(W)L(W), el mapeo a↦a+a \mapsto a^+ es una involución. De esta manera, los operadores adjuntables son una clase bien comportada dentro de la álgebra de operadores.

Es importante entender que la noción de adjunto no solo tiene implicaciones algebraicas, sino también topológicas. El álgebra de observables para un sistema cuántico es el conjunto L+(W)L^+(W) de operadores adjuntables en L(W)L(W), y se puede dotar de una topología heredada de la convergencia acotada. Esta topología, aunque pueda parecer extraña, tiene varias ventajas: es la topología de orden, la cual es la más fina topología localmente convexa bajo la cual todos los intervalos de orden son acotados; es la más fina topología localmente convexa tal que el cono positivo es normal; y, lo más importante, es la topología para la cual los estados continuos están dados por matrices de densidad.

En este contexto, es importante recordar que no todos los operadores adjuntables son necesariamente observables físicos en el sentido clásico; de hecho, algunos de ellos pueden no ser medibles directamente, pero aún así forman parte del álgebra de observables. A medida que avanzamos en el estudio de estos operadores, podemos considerar representaciones de núcleo y descomposiciones espectrales de observables, lo cual tiene un papel crucial en la teoría de la medición cuántica.

La estructura topológica también se extiende a la noción de álgebra de operadores de tipo ∗*. Estas son subálgebras unitales de L+(W)L^+(W), que contienen operadores adjuntables y que son esenciales en el desarrollo de teorías de sistemas cuánticos complejos. La teoría de estos operadores en el contexto de espacios de Hilbert proporciona herramientas poderosas para abordar problemas más generales en física teórica, especialmente en lo que respecta a sistemas cuánticos no conmutativos.

La topología utilizada en el espacio de operadores adjuntables no solo permite la correcta definición de operaciones algebraicas sobre el espacio L(W)L(W), sino que también facilita la transición entre diferentes representaciones y permite un control adecuado sobre la continuidad de los operadores. Esto resulta crucial cuando se manejan sistemas cuánticos donde los operadores no conmutan entre sí.

Así, el análisis de la álgebra de operadores adjuntables no solo tiene aplicaciones matemáticas profundas, sino que también establece la base para desarrollos futuros en la física cuántica. Es fundamental comprender que la noción de adjunto en este contexto no es una mera curiosidad técnica, sino una piedra angular para la correcta formulación y manipulación de observables en sistemas cuánticos.

¿Cómo se define la topología en álgebra de observables en espacios nucleares de Frechet?

En la teoría de álgebra de observables, la noción de topología juega un papel crucial para definir la estructura de los operadores que actúan sobre los espacios de Hilbert, especialmente en el contexto de espacios nucleares de Frechet como WW. Se observa que los operadores sobre WW, definidos mediante proyecciones PeP_e y sus correspondientes componentes AA, resultan ser operadores acotados entre espacios de Hilbert duales. El estudio de estos operadores es fundamental para entender cómo se comportan dentro de una topología dada, particularmente la topología de convergencia uniforme sobre subconjuntos acotados.

Este tipo de topología se determina a través de seminormas como la que aparece en la ecuación (4.16.a)(4.16.a), donde la norma de un operador AA sobre un vector vv es esencialmente el valor de ∣A∣|A|, que indica el comportamiento de las imágenes bajo dicho operador. Para matrices cuya norma es finita para todo v∈Tv \in T, la secuencia de operadores converge a un elemento A∈L(W,W′)A \in L(W, W'), lo que implica que los operadores involucrados mantienen ciertas propiedades de estabilidad bajo la topología definida.

El hecho de que AA sea un límite de una secuencia de operadores aproximantes A(0)A^{(0)} en L(W,W′)L(W, W') es importante para garantizar la densidad secuencial de ciertos subespacios en L(W,W′)L(W, W'). Esto se concluye a partir de la observación de que cualquier operador de L(W,W′)L(W, W') puede ser aproximado por elementos de L+(W)[/z]L^+(W)[/z], lo cual subraya la idea de que los operadores observables forman un espacio denso dentro de la estructura algebraica más grande. De esta manera, se evidencia que L+(W)[/z]L^+(W)[/z] es un subespacio de un espacio nuclear, y al mismo tiempo, es denso dentro de una topología más amplia en L(W,W′)L(W, W').

La relación entre la álgebra de observables L+(W)L^+(W) y sus propiedades topológicas se extiende al considerar el espacio dual de L+(W)L^+(W), el cual tiene una representación de producto tensorial sencilla. Este detalle es clave porque nos permite ver la conexión entre la teoría de álgebras de operadores y las estructuras tensoriales en espacios topológicos. Además, los operadores adjuntos y su acción en los espacios duales ayudan a clarificar cómo la topología de L+(W)[/z]L^+(W)[/z] se comporta bajo el límite de secuencias y bajo el producto de operadores.

Es importante también que, aunque se haya demostrado que L+(W)[/z]L^+(W)[/z] no es barreled, lo que implica que el producto de dos conjuntos acotados no será necesariamente acotado, se sigue demostrando que es un espacio quasi barreled. Esto resalta la importancia de las propiedades de los espacios topológicos en el estudio de álgebra de operadores, dado que una estructura quasi barreled indica que ciertos tipos de continuidad se mantienen, pero no hasta el nivel de la barreledness.

El espacio de observables en L+(W)L^+(W) es significativo no solo por su estructura algebraica, sino también por las implicaciones físicas que trae consigo. En el caso de sistemas físicos que involucran múltiples partículas, las algebras observables correspondientes para cada tipo de partícula están relacionadas entre sí a través de una estructura de producto tensorial. Este comportamiento es crucial para la interpretación física de los sistemas, ya que cualquier observable de múltiples partículas puede ser aproximado mediante observables de partículas individuales, respetando las simetrías del sistema. Esto no solo tiene implicaciones en la teoría de álgebras, sino también en la manera en que modelamos fenómenos físicos complejos.

En cuanto a las propiedades de orden, se define un cono positivo fuerte sobre el álgebra L+(W)L^+(W), que es el conjunto de observables cuyo valor es positivo para todos los elementos de WW. Este orden fuerte se establece de manera que los elementos de este cono son operadores hermíticos y positivos en el sentido usual de los espacios de Hilbert. Este concepto de orden es crucial para entender cómo los observables se pueden clasificar según su naturaleza positiva, lo que tiene aplicaciones tanto en la teoría matemática como en la física cuántica.

Finalmente, aunque muchos de los resultados anteriores dependen de un análisis específico del operador TT y su espectro continuo, es relevante que la estructura del espacio WW permita generalizaciones. Cuando se consideran diferentes tipos de partículas en un sistema compuesto, la relación entre los álgebras observables de cada partícula sigue siendo válida, lo que refuerza la flexibilidad de la estructura algebraica y topológica en estos modelos físicos.

¿Cómo se estructura un espacio de Hilbert contablemente generado a partir de normas indexadas?

En el estudio de los espacios de Hilbert y sus propiedades, un concepto fundamental es la dominación de normas entre subfamilias de normas indexadas, particularmente las que tienen índices pares o impares. En términos generales, si consideramos una subfamilia de normas indexadas, como ∥⋅∥2r\| \cdot \|_{2r} con r>0r > 0, se puede afirmar que cada norma en esta familia está dominada por una norma de la subfamilia con un índice par, y viceversa. Esta dominación se demuestra mediante una simple ecuación en la cual la norma con índice impar es dominada por la norma correspondiente de índice par. La relación entre estas normas es esencial para la construcción de un espacio de Hilbert, y su comprensión es crucial para abordar las siguientes fases del análisis en espacios de dimensiones infinitas.

El teorema principal de la estructura del espacio de Hilbert contablemente generado implica que este es determinado por el operador número MM. Este operador juega un papel central en la definición de la estructura del espacio, de modo que la relación entre los operadores asociados y el número de elementos de la base determina la naturaleza del espacio. En particular, un espacio de Hilbert generado por normas indexadas tiene una estructura simple y precisa, que puede ser descrita explícitamente mediante la topología i/−normi/-norm definida en la ecuación (2.28). Según Gel’fand y Vilenkin, este tipo de espacio es un espacio de Hilbert contablemente generado, lo que significa que su complejidad es mucho menor de lo que podría sugerir su apariencia inicial.

El análisis de la estructura de los operadores sobre un espacio de Hilbert, como los polinomios con coeficientes complejos en múltiples indeterminadas, también es crucial. Por ejemplo, el álgebra P(A1,...,An)P(A_1, ..., A_n) formada por operadores que no necesariamente conmutan o están definidos densamente, ofrece un modelo para entender cómo se comportan estos operadores cuando son sustituidos formalmente en un conjunto de monomios. En este contexto, la noción de un conjunto de vectores C∞(A1,...,An)C^\infty(A_1, ..., A_n) se convierte en un concepto clave, pues describe aquellos vectores que son suaves respecto a una familia de operadores. Esto permite visualizar cómo los operadores actúan sobre los elementos del espacio de Hilbert, y proporciona una forma de caracterizar la topología más fina que se obtiene a partir de la implementación de las normas C∞C^\infty.

Una vez que comprendemos la estructura básica de estos espacios de Hilbert contablemente generados, surge el concepto de inyección continua con un rango denso. Este tipo de inyección no solo es crucial para garantizar la continuidad en los mapeos, sino que también establece la base para la densidad de los rangos en la topología de Mackey, lo que es esencial para el comportamiento y la clasificación de los elementos del espacio. La inyección continua garantiza que la representación de un espacio de Hilbert por medio de su operador número sea la más pequeña y, al mismo tiempo, la más grande en términos de sus propiedades estructurales. Este equilibrio en la representación es clave para la compresión y expansión de los espacios generados por normas indexadas.

Otro aspecto que no debe pasarse por alto es la noción de subconjuntos acotados dentro de un espacio de Hilbert. Según la definición formal, un subconjunto B⊂[i/]B \subset [i/] es acotado si, para cada índice rr, existe una constante C(r)C(r) tal que la norma ∥c∥r\|c\|_r es menor que C(r)C(r) para todo c∈Bc \in B. Esto implica que los elementos de un subconjunto acotado no se "escapan" bajo las normas dadas, y en cierto sentido, representan una aproximación de los elementos de un espacio de Hilbert bajo las normas definidas.

La importancia de la totalización de las familias de subconjuntos acotados, como la familia Br={Bv:v∈F}B_r = \{ Bv : v \in F \}, radica en su capacidad para generar cualquier subconjunto acotado FF del espacio original. Esta totalización permite cubrir todo el espacio mediante subconjuntos más pequeños y manejables, lo que facilita la representación y el análisis de propiedades complejas de estos espacios.

Finalmente, la noción de representaciones de clases ss-clase es crucial para garantizar que los espacios bajo estudio sean completos y que las representaciones no se extiendan de manera arbitraria. Esta propiedad de unicidad se asegura a través de resultados teóricos, como el teorema de unicidad de Kristensen y Mejlbo, que establece que las representaciones de las clases ss-clase en un espacio de Hilbert contablemente generado son las más pequeñas y grandes según la estructura interna del espacio. Este resultado no solo valida la teoría, sino que proporciona herramientas para desarrollar una comprensión profunda de la representación en espacios complejos.

El entendimiento de cómo estas estructuras y representaciones se relacionan es vital para poder aplicar las teorías de espacios de Hilbert en una variedad de contextos, desde la física matemática hasta la teoría de operadores, y otras áreas de la matemática avanzada.

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