¿Cómo caracterizar la ausencia de arbitraje en un modelo de mercado con información contingente?

La teoría del arbitraje en mercados financieros se basa en la noción de que, en ausencia de arbitraje, no es posible crear una estrategia de inversión que permita obtener ganancias sin riesgo. En un modelo de mercado dinámico, donde las condiciones y precios evolucionan con el tiempo, esta ausencia de arbitraje puede ser caracterizada mediante herramientas matemáticas avanzadas. En este contexto, un aspecto fundamental es la caracterización de la ausencia de oportunidades de arbitraje bajo el supuesto de que las decisiones de inversión dependen de información disponible en momentos específicos.

La proposición 1.52 establece que el centro de masa de cualquier medida de probabilidad $\nu$ que sea absolutamente continua con respecto a $\mu$, está contenido en el cierre de $\Gamma(\mu)$. En términos más sencillos, si tenemos una medida de probabilidad $\nu$ que está relacionada con $\mu$ (es decir, $\nu \ll \mu$), el centro de masa de $\nu$ pertenece al cierre del conjunto $\Gamma(\mu)$. Este hecho es crucial para la teoría del arbitraje, ya que nos permite entender cómo las expectativas de ciertos eventos están vinculadas a las distribuciones de precios en el mercado.

El teorema 1.51 proporciona una caracterización geométrica de la ausencia de arbitraje en mercados financieros. Para que un sistema de precios $\pi$ sea libre de arbitraje, es necesario que $\pi$ pertenezca al interior relativo $ri \Gamma(\mu)$ del convexo envolvente del soporte de $\mu$. Esta condición se traduce en que los precios no pueden generar oportunidades de arbitraje, que en el contexto matemático corresponde a evitar que la distribución de precios permita la existencia de carteras que generen ganancias sin riesgo. Este teorema se vuelve esencial cuando se trata de mercados con información contingente, es decir, cuando las decisiones de inversión dependen de la información disponible en el tiempo.

Cuando se introducen precios contingentes, donde los precios de los activos son aleatorios y dependen de la información disponible en diferentes momentos del tiempo, la estructura matemática del problema se vuelve más compleja. Las variables de precios $S_0, S_1, \dots, S_d$ son ahora medidas con respecto a diferentes $\sigma$-álgebras $F_0, F_1, \dots, F_t$, lo que refleja cómo la información disponible cambia con el tiempo. Esta dinámica hace necesario un enfoque más sofisticado para caracterizar la ausencia de arbitraje.

Definimos una oportunidad de arbitraje como una cartera $\xi$ tal que su valor inicial, $\xi \cdot S_0$, es menor o igual a cero, pero su valor al tiempo 1, $\xi \cdot S_1$, es mayor o igual a cero con probabilidad 1, y en algunos casos estrictamente mayor que cero con probabilidad positiva. Esta definición nos lleva a una serie de consecuencias importantes. Por ejemplo, si una cartera satisface estas condiciones, significa que es posible obtener ganancias sin riesgo, lo que contraviene la hipótesis de ausencia de arbitraje. Además, al modelar estos precios descontados y ganancias netas en función de carteras, encontramos que la condición de ausencia de arbitraje se puede interpretar como la intersección de ciertos conjuntos en el espacio de los rendimientos netos descontados $K$, y su relación con el conjunto de elementos no negativos $L_0^+$.

La medida de riesgo-neutralidad, o medida de martingala, juega un papel crucial en este tipo de modelos. Se define como una medida $Q$ bajo la cual el valor esperado condicional de los precios descontados $X_i$ es finito para todos los activos, y donde el valor esperado condicional de $X_1$ dado $F_0$ coincide con el precio en $t=0$. Esta propiedad es crucial porque asegura que bajo la medida de martingala, no existen oportunidades de arbitraje, es decir, las ganancias esperadas de cualquier estrategia de inversión bajo esta medida son cero.

En cuanto a las condiciones que garantizan la ausencia de arbitraje, se puede afirmar que son equivalentes a la existencia de una medida de martingala equivalente a la medida de probabilidad original $P$. Esta equivalencia está formulada en el teorema 1.57, que establece que las condiciones para la no existencia de arbitraje son equivalentes a la existencia de una medida $P^*$ que esté en el conjunto $P$ de medidas de martingala equivalentes a $P$.

Lo que es esencial para comprender completamente estos resultados es el hecho de que, en un mercado financiero con información contingente, los precios de los activos no sólo dependen de su evolución pasada, sino también de la información disponible en momentos específicos. Esto implica que la estructura de los mercados financieros es más compleja de lo que se podría pensar en modelos estáticos. La noción de ausencia de arbitraje, por lo tanto, debe ser entendida no solo como una condición en la que las carteras no generan ganancias sin riesgo, sino como una propiedad que depende de cómo se modela la información disponible y la evolución temporal de los precios.

Además, es importante entender que la ausencia de arbitraje en mercados con información contingente no solo está vinculada a la geometría del conjunto de precios, sino también a la forma en que las medidas de probabilidad son definidas y cómo las expectativas de los precios futuros son condicionadas por la información actual. El proceso de descontar los precios, junto con el uso de martingalas y medidas de riesgo-neutralidad, es fundamental para desarrollar estrategias de cobertura y optimización de carteras en estos modelos dinámicos.

¿Cómo se conecta el modelo CRR con los precios de Black-Scholes y las medidas de riesgo coherentes?

El modelo CRR (Cox-Ross-Rubinstein) y la convergencia hacia los precios de Black-Scholes son fundamentales en la teoría de los derivados financieros. El modelo CRR es una aproximación discreta al modelo de Black-Scholes, que es continuo. A pesar de que este último se ha convertido en un estándar para la valoración de opciones en mercados perfectos, el modelo CRR presenta una alternativa más manejable en términos de cómputo, lo que facilita la comprensión de los conceptos subyacentes en la modelización de derivados financieros.

El concepto de convergencia en este contexto se refiere al comportamiento del modelo CRR a medida que el número de períodos en el modelo discreto aumenta y la longitud del intervalo de tiempo se reduce, acercándose a la formulación continua que se encuentra en Black-Scholes. Este fenómeno es crucial para el entendimiento de cómo los precios de las opciones en mercados discretos se aproximan a los de mercados continuos, y demuestra cómo los modelos discretos pueden ser una aproximación válida y útil a los precios de Black-Scholes en condiciones realistas de mercado.

Además, este enfoque también tiene implicaciones en las medidas de riesgo coherentes y dinámicamente consistentes. Las medidas de riesgo son fundamentales en la evaluación de los riesgos financieros asociados con el uso de derivados, y deben cumplir con propiedades específicas de coherencia. En un mercado incompleto, como el que modela el CRR, las medidas de riesgo coherentes deben considerar no solo la exposición al riesgo, sino también la capacidad del mercado para cubrir dicho riesgo. Es aquí donde entran en juego las medidas de riesgo dinámicamente consistentes, que garantizan que las decisiones de cobertura y valoración en diferentes momentos se mantengan consistentes a lo largo del tiempo.

Un aspecto clave en el estudio de las medidas de riesgo es su relación con las distorsiones cóncavas, un concepto central en la teoría de la evaluación de riesgos. Estas distorsiones permiten modelar situaciones donde los inversores no son neutros al riesgo, es decir, prefieren ciertos riesgos frente a otros de manera no lineal. Estas distorsiones cóncavas están íntimamente relacionadas con la integración de Choquet, que es una forma de integración que se aplica en la teoría de medidas de riesgo y permite capturar el comportamiento de los riesgos bajo condiciones de incertidumbre no estándar.

Además, otro concepto relevante es la noción de medidas de riesgo invariante por ley, que son aquellas que no dependen de la forma específica de las distribuciones de probabilidad, sino que solo dependen de sus funciones marginales. Este tipo de medidas es particularmente importante cuando se trabaja en mercados con información parcial o incompleta, lo que es frecuente en la práctica financiera. El estudio de estas medidas ofrece un enfoque robusto para evaluar el riesgo en situaciones donde el conocimiento sobre las distribuciones de probabilidad es limitado.

El concepto de "pasting" es relevante en este contexto, ya que se refiere al proceso de combinar diferentes modelos de riesgo o mercados de manera que se mantenga la consistencia dinámica entre ellos. Esto implica que las decisiones tomadas en un período anterior no deben contradecir las decisiones en un período posterior, lo cual es fundamental para garantizar la estabilidad de las estrategias de cobertura y de evaluación de riesgos en mercados dinámicos.

Los lectores deben entender que el estudio de modelos discretos, como el CRR, no solo es relevante desde el punto de vista matemático, sino que tiene aplicaciones directas en la toma de decisiones en mercados financieros reales, donde las condiciones de mercado cambian constantemente y los precios de los activos no se comportan de manera continua. Por tanto, los modelos discretos proporcionan una herramienta poderosa para modelar el riesgo y la incertidumbre en entornos financieros prácticos.

¿Por qué AV@R (Valor Promedio en Riesgo) es la medida de riesgo coherente más relevante y qué propiedades fundamentales posee?

El Valor Promedio en Riesgo, conocido como AV@Rλ, es una medida de riesgo coherente que ha ganado una importancia significativa en la gestión financiera y el análisis cuantitativo del riesgo. Su coherencia se deriva de propiedades matemáticas precisas que permiten un tratamiento riguroso y robusto del riesgo, superando algunas limitaciones inherentes a otras medidas como el Valor en Riesgo (V@R).

La representación integral de AV@Rλ, que se expresa en la forma (4.48), garantiza su coherencia, al cumplir con propiedades esenciales como la subaditividad, la monotonía y la invariancia frente a la adición de constantes (cash invariance). Esta última propiedad implica que, para cualquier posición financiera X y una cantidad fija m, el riesgo de X+m se reduce en exactamente m, un comportamiento intuitivo y fundamental en la evaluación financiera.

Un punto crucial en la caracterización de AV@Rλ es la identificación del conjunto maximal Qλ, que contiene las medidas de probabilidad Q bajo las cuales se evalúan las expectativas condicionales. Este conjunto es máximo en el sentido de que cualquier otra medida fuera de él genera una diferencia infinita cuando se calcula la expresión sup (EQ[−X] − AV@Rλ(X)), evidenciando que no puede haber un conjunto más amplio coherente con la definición de AV@Rλ. Este resultado se demuestra mediante la construcción de variables aleatorias dependientes de la densidad φ = dQ/dP, y el uso de desigualdades probabilísticas como la de Markov, que ayudan a controlar los valores extremos y asegurar la integrabilidad necesaria.

Además, AV@Rλ es continua desde abajo, lo que significa que para una sucesión creciente de variables aleatorias (Xn) que convergen casi seguramente a X, el valor de AV@Rλ(Xn) converge al de AV@Rλ(X). Esta propiedad es clave para asegurar estabilidad en la evaluación del riesgo cuando se aproximan posiciones financieras complejas a través de secuencias más sencillas.

Sin embargo, no todas las medidas que se relacionan con AV@Rλ comparten todas sus propiedades. Por ejemplo, la expectativa condicional de cola (TCEλ), definida como la esperanza condicional dada la cola del V@Rλ, no es en general una medida de riesgo coherente, debido a que no cumple la propiedad de subaditividad en ciertos casos. Esto resalta la importancia de elegir la medida adecuada para una gestión coherente y conservadora del riesgo.

La ley-invarianza es otra característica esencial en la familia de medidas de riesgo a la que pertenece AV@Rλ. Una medida de riesgo ley-invariante depende únicamente de la distribución de la variable aleatoria, no de su representación específica en el espacio de probabilidad. Bajo la condición de que el espacio de probabilidad sea suficientemente rico (es decir, atómico), se demuestra que toda medida de riesgo convexa y ley-invariante es automáticamente continua desde arriba, o lo que es equivalente, posee la propiedad de Fatou. Esta última implica que el valor del riesgo no aumenta en el límite inferior de una secuencia convergente, asegurando una adecuada estabilidad en la evaluación del riesgo.

Un resultado técnico fundamental en esta demostración es la construcción, mediante la proposición 4.59, de combinaciones convexas de variables aleatorias que comparten la misma ley y que convergen en L∞ a la variable límite. Este mecanismo permite transferir las propiedades de las medidas de riesgo desde aproximaciones discretas y simétricas hacia límites más generales, cimentando así la continuidad y la robustez de estas medidas.

La uniformidad de distribución modulo 1, introducida a través de secuencias numéricas y su relación con la irracionalidad, se utiliza en la construcción técnica de ejemplos y aproximaciones que soportan estos resultados teóricos. La teoría de Weyl y otras herramientas probabilísticas y analíticas complementan el marco riguroso donde se desarrollan estas medidas de riesgo.

Es importante entender que, aunque AV@Rλ es considerada la mejor aproximación conservadora al V@Rλ dentro del conjunto de medidas convexas y ley-invariantes, su aplicación práctica requiere conocer bien las características del espacio probabilístico subyacente. Cuando el espacio no es suficientemente rico, algunas igualdades entre AV@Rλ y otras medidas relacionadas pueden no sostenerse, y las propiedades deseadas pueden quedar debilitadas.

Por tanto, la comprensión profunda de la coherencia, la ley-invarianza, la continuidad y las propiedades de estabilidad asociadas a AV@Rλ es indispensable para la correcta aplicación de esta medida en contextos reales. Esto incluye reconocer cuándo y cómo las limitaciones del espacio probabilístico o la estructura de las variables pueden afectar la validez de las propiedades teóricas, así como las diferencias con otras medidas populares que pueden no ser coherentes.