La cuantización del campo electromagnético (CEM) implica un enfoque fundamentalmente diferente al que empleamos en la física clásica. En el caso del CEM, las funciones de campo, como el vector potencial Â, el campo eléctrico Ê y el campo magnético B̂, son descritas mediante operadores cuánticos. Este proceso de cuantización se deriva de la aplicación de las herramientas de la mecánica cuántica a un sistema que, en principio, es continuo y clásico. Los operadores de creación ↠y aniquilación â, que definen las fluctuaciones del campo en términos de cuántos fotones están presentes en una determinada modalidad, no conmutan entre sí, lo que implica una estructura compleja para la dinámica temporal del campo electromagnético.

Cuando un sistema se cuantiza, los operadores de campo asociados se modifican de tal forma que la dinámica del campo, previamente regida por amplitudes de campo como Qi, se oculta detrás de los operadores de creación y aniquilación. Esto marca una transición hacia una descripción en términos de partículas, como los fotones, en lugar de ondas continuas. La vacuidad del estado cuántico se define por la propiedad âi |0⟩ = 0, lo que significa que en el estado base del sistema no existen fotones. Desde este vacío, todas las configuraciones del campo pueden ser generadas mediante la acción de los operadores de creación â†.

Es posible construir estados del campo electromagnético como un producto tensorial de estados de modos individuales, denotados por |n⟩. Cada uno de estos estados está etiquetado por un número entero ni, que representa el número de fotones en un modo particular. La formulación cuántica del campo electromagnético se simplifica enormemente cuando se considera un solo modo de campo. En este caso, el Hamiltoniano del campo se reduce a la forma de un oscilador armónico cuántico, cuya energía está cuantizada en múltiplos enteros de la frecuencia del modo ωMC. Este modelo es suficiente para estudiar fenómenos básicos en cavidades resonantes o estructuras que confinen un solo modo de fotón.

El análisis del campo electromagnético dentro de una cavidad cúbica proporciona un ejemplo claro de la relación entre la geometría de la cavidad y la distribución de modos permitidos para el campo. En una cavidad cúbica de volumen V, los modos del campo se pueden representar mediante ondas planas fk,α, donde k es el vector de onda y α es el índice de polarización. La dispersión de los modos sigue la relación ωk = kc, lo que refleja la propagación de las ondas electromagnéticas a la velocidad de la luz. Los vectores de polarización ek,α son ortogonales a k, ya que solo las componentes transversales del campo electromagnético son permitidas en el caso de la cuantización de campos en la representación de gauge de Coulomb.

Un aspecto crucial en la cuantización de campos electromagnéticos en cavidades es el uso de condiciones de frontera periódicas que impongan restricciones sobre las formas de onda. Esto lleva a la cuantización de los vectores de onda k en función del tamaño de la cavidad, L, y de números enteros Nx, Ny, y Nz, que etiquetan los modos de onda en cada dirección espacial. Estos modos forman una base completa sobre la cual se puede expandir el potencial vectorial del campo.

El Hamiltoniano del campo electromagnético en una cavidad puede ser expresado de manera explícita en términos de los operadores de creación y aniquilación, tanto para el campo eléctrico Ê como para el campo magnético B̂. Estas expresiones muestran cómo los campos Ê y B̂ están relacionados entre sí a través de la estructura cuántica del sistema.

En paralelo, al considerar un emisor de fotones de dos niveles (2LE), la cuantización del campo se conecta con el comportamiento de sistemas cuánticos simples. Un emisor de fotones 2LE es un sistema cuántico cuya dinámica está dominada por dos estados de energía discretos, |g⟩ y |e⟩, correspondientes al estado fundamental y al estado excitado, respectivamente. El principio de exclusión de Pauli limita a un solo fotón por estado cuántico, lo que permite describir su dinámica mediante operadores proyectores σij, que representan las transiciones entre estos estados de manera análoga a los operadores de creación y aniquilación en el campo electromagnético.

El Hamiltoniano de un emisor de fotones de dos niveles se simplifica notablemente bajo la aproximación de dos niveles, en la cual la energía de transición entre el estado fundamental y el excitado es Δ. Esto lleva a un Hamiltoniano que puede ser representado como H2LE = Δ |e⟩ ⟨e|, lo que implica que el sistema solo interactúa con una frecuencia asociada a la transición entre estos dos niveles. Esta simplificación es particularmente útil en sistemas experimentales reales, donde un emisor de fotones puede interactuar con un solo modo del campo electromagnético, usualmente sintonizado a una resonancia específica del emisor.

Este modelo de emisor de fotones de dos niveles es fundamental para comprender una amplia gama de fenómenos en la óptica cuántica, incluyendo la emisión de fotones, la interacción con cavidades resonantes, y la manipulación de estados cuánticos de información. Además, proporciona una base sobre la cual se pueden entender y estudiar los efectos cuánticos en sistemas experimentales con una descripción relativamente simple pero precisa.

El siguiente paso en la investigación de tales sistemas sería considerar interacciones más complejas, como la acoplamiento entre múltiples modos del campo y emisores cuánticos en configuraciones de cavidades más complicadas o en medios no ideales. Sin embargo, la descripción de sistemas de dos niveles sigue siendo la base para entender cómo los sistemas cuánticos interactúan con el campo electromagnético y cómo podemos controlar las transiciones cuánticas entre diferentes estados de energía.

¿Cómo afecta la deformación y la geometría de una tira de Möbius a los estados cuánticos de los electrones?

El estudio de las estructuras topológicas como la tira de Möbius ha generado un gran interés en la física moderna debido a su compleja geometría y las posibles implicaciones que tienen para la física cuántica, especialmente en lo que respecta a la confusión de electrones en estos sistemas. En este tipo de geometrías, la energía y los estados cuánticos de los electrones están fuertemente influenciados por factores como el grosor, la longitud, el ancho y la deformación del material. En el caso de una tira de Möbius, que es una estructura que, a pesar de ser bidimensional, presenta una curvatura no trivial que la hace de una sola cara y un solo borde, se debe considerar cómo la curvatura y las condiciones de frontera afectan los estados energéticos de los electrones.

Uno de los aspectos más fundamentales de esta estructura es cómo el electrón está confinado en ella. Al ser una figura con una topología tan peculiar, el electrón se ve forzado a seguir trayectorias que dependen de la curvatura de la tira. En este sentido, se han obtenido resultados numéricos que muestran cómo los estados cuánticos de la tira de Möbius se ven afectados por su geometría, lo que incluye la presencia de curvatura y la forma de la superficie, representada por tensores métricos que caracterizan la forma de la tira. Estos tensores permiten modelar cómo se distribuyen los estados cuánticos de los electrones sobre la tira y cómo la geometría influye en la energía de los electrones.

En los estudios realizados sobre tiras de Möbius, se observa que los niveles de energía de los electrones están muy cerca unos de otros cuando la longitud de la tira es relativamente grande. A medida que se reduce la longitud de la tira, se aumenta la separación entre los niveles energéticos. Este comportamiento es esperado debido a la mayor confinación de los electrones en una estructura más pequeña. Además, la influencia de la deformación es algo que no puede ser ignorado, ya que pequeños cambios en el grosor de la tira tienen un impacto directo sobre la energía de los electrones. Sin embargo, este efecto es bastante tenue en comparación con la influencia de la geometría.

El modelo teórico utilizado para describir los estados cuánticos de los electrones en la tira de Möbius también incluye la consideración de la deformación, específicamente mediante un potencial de deformación hidrostático, que modela cómo la estructura de la tira se altera cuando se somete a tensiones o deformaciones. Es importante señalar que esta deformación, aunque afecta ligeramente la energía de los electrones, no tiene un impacto sustancial sobre la distribución general de los estados, lo que sugiere que los efectos de deformación en estos sistemas pueden ser relativamente pequeños en comparación con la influencia de la curvatura topológica de la tira.

Un aspecto interesante es cómo la deformación afecta los estados excitados de los electrones. En los modelos sin deformación, los primeros estados excitados tienden a ser muy cercanos en energía, lo que se observa en las diferencias de energía relativas entre los estados. Sin embargo, cuando se incluye la deformación, se observa que la influencia de la deformación es más pronunciada en los estados de mayor excitación, particularmente en los estados de mayor energía. Esto se debe al hecho de que, cuando se aumenta el grosor de la tira de Möbius, la deformación inducida por la curvatura se hace más significativa, lo que cambia la distribución de la energía entre los diferentes estados.

En términos de las condiciones de frontera impuestas a los electrones, se utilizan condiciones de frontera tipo Dirichlet en los bordes de la tira, lo que implica que la función de onda debe ser cero en los límites de la estructura. Además, debido a la simetría del sistema, las condiciones de frontera en el otro extremo de la tira se imponen de manera antiperiódica, lo que refleja la rotación de 180 grados de la tira durante una revolución completa. Este tipo de condiciones de frontera es fundamental para la correcta descripción de los estados cuánticos de los electrones, ya que permiten capturar la topología única de la tira de Möbius.

Es relevante también destacar que el estudio de la influencia de la deformación en los materiales de tipo semiconductor como el InAs, que se utiliza en el modelo, revela que los efectos de la deformación son similares en otros materiales semiconductores con propiedades topológicas similares. Sin embargo, la deformación tiene un efecto mayor sobre la energía de los electrones cuando el grosor de la tira es mayor, lo que aumenta la sensibilidad del sistema a los efectos de la curvatura y la deformación a medida que el grosor se incrementa.

Por otro lado, otro aspecto clave es la relación entre la longitud de la tira y la separación de los niveles energéticos. A medida que se reduce la longitud de la tira de Möbius, la separación entre los niveles de energía aumenta, lo que se interpreta como una mayor confinación de los electrones en una geometría más pequeña. Este fenómeno puede tener aplicaciones en dispositivos cuánticos, donde la manipulación de los niveles de energía puede permitir el control de las propiedades electrónicas y ópticas de los materiales.

El análisis de la dinámica de los fonones en estas estructuras también es crucial, ya que los fonones son las excitaciones cuánticas de la red cristalina que interactúan con los electrones. En el caso de las tiras de Möbius, el comportamiento de los fonones, especialmente en materiales bidimensionales como el grafeno, es relevante para entender cómo las interacciones electrón-fonón pueden afectar el comportamiento cuántico de los electrones en estas estructuras. La teoría de los fonones, basada en el estudio de las vibraciones atómicas y su impacto sobre las propiedades electrónicas, puede ofrecer información adicional sobre cómo las deformaciones locales afectan la dispersión de los fonones y, por lo tanto, la dinámica cuántica general del sistema.

Para comprender completamente cómo la deformación y la geometría de la tira de Möbius afectan los estados cuánticos, es esencial abordar el problema desde una perspectiva multidisciplinaria que combine la geometría diferencial, la teoría cuántica y el análisis de las interacciones electrón-fonón. Esta combinación puede revelar no solo los efectos de confinamiento de los electrones, sino también cómo las interacciones con el material subyacente influyen en las propiedades electrónicas observadas.

¿Cómo el cavidad Möbius puede manipular la fase de Berry y la óptica cuántica?

El microcavidad Möbius, como una estructura mágica con ruptura intrínseca de simetría, ofrece una no-ortogonalidad ajustable de modos. Además de los modos con polarización en el plano, puede soportar otro conjunto de modos propios con polarización fuera del plano para la generación de una fase de Berry variable. Estos trabajos demuestran el potencial de manipular la geometrodinámica de los fotones en microcavidades Möbius. Las cavidades dieléctricas en forma de tira de Möbius se presentan como un bloque de construcción topológicamente elegante y, lo más importante, accesible prácticamente, integrable, controlable y miniaturizable, con posibilidades ilimitadas para la óptica y la fotónica tanto en regímenes clásicos como cuánticos.

En este contexto, el acoplamiento óptico espín-órbita en medios anisotrópicos se vuelve fundamental. Cuando partículas giratorias, como electrones y fotones, experimentan un acoplamiento espín-órbita, pueden adquirir una fase de Berry además de la fase dinámica. La fase de Berry fue discutida inicialmente para un sistema físico en evolución cíclica con evolución abeliana, y luego se generalizó a casos no cíclicos y no abelianos, que son temas fundamentales en este campo y que indican aplicaciones prometedoras en diversas áreas.

En este apartado se discute la realización del acoplamiento óptico espín-órbita en microcavidades asimétricas y la observación experimental de una fase de Berry óptica no cíclica adquirida en una evolución no abeliana. Este trabajo es relevante tanto para estudios fundamentales como para aplicaciones prometedoras en la manipulación de fotones en dispositivos cuánticos a nivel de chip. Las microcavidades en forma de tubo se fabrican liberando nanomembranas bilaminares de SiO/SiO2 diferencialmente tensadas, diseñadas con un patrón circular, que luego se enrollan en estructuras de microtubo sobre un sustrato de silicio.

Para permitir el acoplamiento óptico espín-órbita, se fabrican microtubos asimétricos con forma de cono liberando y enrollando la nanomembrana tensada de una manera desigual. Los resonadores se recubren posteriormente con una capa de HfO2 mediante deposición por capas atómicas (ALD) para modificar sus índices de refracción efectivos. Estos microtubos tienen menos de dos vueltas en su extremo, donde se tomaron las mediciones. El grosor de la pared del tubo (~100 nm) se examina utilizando un SEM transversal. Las trazas blancas en los lados exteriores de la pared del tubo corresponden a la capa de HfO2, mientras que la capa intermedia más oscura corresponde a la nanomembrana SiO/SiO2.

El índice de refracción de la pared del tubo se calcula promediando los índices de refracción de cada capa, donde el índice de refracción promedio de la pared del tubo varía a lo largo del eje del tubo debido a la variación del número de vueltas. Las microcavidades ópticas, que confinan la luz a volúmenes pequeños a través de circulación resonante en un medio dieléctrico, juegan un papel indispensable tanto para la investigación fundamental como para una amplia gama de aplicaciones. En una teoría general que describe la evolución de la luz en un medio dieléctrico, se aplica un procedimiento de diagonalización cuántica a las ecuaciones de Maxwell y la teoría de la fase de Berry, lo que produce el Hamiltoniano efectivo.

En cavidades WGM ópticas convencionales, como los resonadores de anillo cilíndrico, el vector de campo eléctrico no cambia con respecto al vector de onda kk durante la propagación. Además, la luz resonante se propaga a lo largo de una trayectoria de bucle cerrado, a diferencia de las trayectorias helicoidales abiertas que se han utilizado para permitir las interacciones espín-órbita ópticas. A diferencia de la propagación a lo largo de trayectorias helicoidales, el vector de onda kk experimenta una evolución trivial cuando se propaga a lo largo de un bucle cerrado. De esta manera, la interacción espín-órbita óptica es irrelevante, y el Hamiltoniano correspondiente contiene solo la parte h0h_0, lo que conduce a modos propios discretos ordinarios en los resonadores ópticos WGM.

Experimentalmente, estos modos propios aparecen como picos discretos en los espectros de resonancia, con cada pico formado por la auto-interferencia de un número entero de ondas a lo largo de la trayectoria del bucle cerrado. En estos sistemas, los estados de polarización óptica se conservan en cada resonancia. Sin embargo, el acoplamiento espín-órbita óptico puede inducirse en estructuras de cavidad diseñadas especialmente. Por ejemplo, se puede introducir la topología en una cavidad WGM utilizando un anillo de Möbius. Aunque el vector de onda kk experimenta una evolución trivial en esta geometría, el campo eléctrico transversal se retuerce durante la propagación a lo largo de la línea central. De esta manera, se genera un momento angular orbital efectivo (OAM), similar al de un vórtice óptico o un rayo de luz transformado, para el acoplamiento espín-órbita.

Como resultado, el Hamiltoniano efectivo toma la forma h=h0+hSOIh = h_0 + h_{SOI}, donde el acoplamiento espín-órbita da lugar a la aparición de una fase de Berry. Esta fase adicional da como resultado un número no entero de ondas para las interferencias constructivas a lo largo de la trayectoria del bucle cerrado. Similar a los guías de ondas helicoidales previamente reportados, este comportamiento representa una evolución abeliana, donde la orientación de la polarización varía, pero la excentricidad de la polarización permanece constante.

En la cavidad microtubo, las resonancias tipo WGM ópticas se establecen mediante auto-interferencia óptica a lo largo de una trayectoria de bucle cerrado guiada por la pared cilíndrica del tubo. Para excitar las resonancias, una línea láser (a 532 nm) se enfoca en el extremo más grande del tubo, donde existen modos resonantes con un factor Q más alto. El láser excita defectos luminiscentes en el microtubo de silicio amorfo, los cuales emiten luz en el rango espectral visible a temperatura ambiente. Debido al grosor sublongitudinal de la pared del tubo, los fotones linealmente polarizados a lo largo de la pared del tubo pueden circular alrededor de una trayectoria cerrada dentro de los microtubos, asegurando que el estado inicial de la luz resonante esté linealmente polarizado con la orientación de la polarización paralela al eje del tubo. Finalmente, los fotones que circulan a lo largo de la trayectoria cerrada escapan de la cavidad microtubo y se miden y analizan mediante una configuración confocal con láser.

Mientras la luz se propaga dentro de la pared del microtubo, el vector de campo eléctrico rota alrededor del eje del tubo, impulsado por la forma cónica del microtubo. Esta rotación genera un momento angular orbital efectivo (LOAM) a lo largo del eje del tubo. En las cavidades cilíndricas WGM convencionales, el vector de onda kk, que indica la dirección del momento angular espín (SAM) de la luz resonante, es ortogonal al eje del tubo. Como resultado, no hay posibilidad de generar interacciones espín-órbita, incluso si existe momento angular orbital a lo largo del eje. Sin embargo, en la parte más grande de un tubo cónico, el índice de refracción promedio varía a lo largo del eje del tubo debido a la variación de los números de vueltas. En esta geometría específica, la trayectoria resonante se inclina ligeramente fuera del plano para minimizar el camino óptico, de acuerdo con el principio de Fermat.

¿Cómo influyen las interacciones electrón-electrón en los anillos cuánticos autoorganizados?

La figura 10b muestra la curva de magnetización calculada, obtenida promediando un conjunto de anillos cuánticos (QR) con una dispersión de tamaño del 5%, lo que coincide con el ancho medido del pico de la emisión fotoluminiscente (PL). Al comparar la figura 10a con la 10b, se puede observar que el modelo descrito en la sección anterior explica con precisión la posición de la oscilación Aharonov-Bohm (AB) observada alrededor de 14T, en lugar de los 5T esperados para un anillo unidimensional ideal con el mismo radio. Esta diferencia en la posición de las oscilaciones AB se debe a la influencia de la tensión en los QRs autoorganizados en forma de “volcán” y a la conectividad simple de estos anillos cuánticos. Además, la figura 10b también muestra el momento magnético calculado de un solo electrón en una nanostructura a diferentes temperaturas. Los resultados calculados se presentan para tres temperaturas y muestran que, sin incluir las variaciones en el tamaño de los QRs, la amplitud de las oscilaciones AB disminuye con el aumento de la temperatura, como se observa en la figura 9. La falta de un efecto apreciable de la temperatura sobre el momento magnético en la figura 10b se debe al promediado de los conjuntos de QRs.

Los resultados mostrados confirman la existencia de una corriente persistente oscilatoria en los QRs autoorganizados que contienen un solo electrón. A pesar de que las nanostructuras investigadas son de conectividad simple y anisotrópicas, muestran un comportamiento AB, que generalmente se considera restringido a topologías ideales (doblemente conectadas). Este fenómeno es una manifestación más de cómo las interacciones cuánticas pueden modificar los comportamientos esperados en sistemas altamente complejos.

En la teoría de sistemas de dos electrones y excitones en anillos cuánticos, la contribución de los QRs con dos electrones a la magnetización se analiza a través de la ecuación de Hamiltoniano para dos electrones en un anillo cuántico. Este Hamiltoniano incluye el término de interacción Coulombiana, que describe la repulsión entre los dos electrones en el anillo. Para cumplir con el principio de exclusión de Pauli, los estados de espín-singlete (espín-triplete) deben poseer funciones de onda orbital simétricas (anti-simétricas) con respecto a la permutación de las coordenadas de los electrones. A partir de aquí, se construyen las funciones base que describen estas funciones de onda orbital.

El estudio numérico del Hamiltoniano para estos sistemas de dos electrones revela que, debido a la interacción Coulombiana, la degeneración entre los estados de espín-singlete y espín-triplete se rompe. Este efecto se manifiesta en un significativo desplazamiento entre los estados singlete y triplete, lo que indica una fuerte interacción de intercambio en el anillo cuántico considerado. A bajas temperaturas y campos magnéticos relativamente bajos, el estado fundamental corresponde al nivel de energía más bajo del espín-singlete. Sin embargo, a medida que el campo magnético aumenta, el estado fundamental cambia de un estado de espín-singlete a uno de espín-triplete. Este comportamiento es similar al observado en el efecto Aharonov-Bohm en un anillo cuántico de un solo electrón.

A medida que el campo magnético aumenta, el nivel de energía más bajo para los estados singlete y triplete se intercambia secuencialmente como el estado fundamental. Este fenómeno recuerda al efecto Aharonov-Bohm, en el que se produce una mezcla de los estados singlete y triplete a medida que se incrementa el campo magnético. A campos magnéticos cercanos a 12T, se observa una anticruzamiento entre los estados provenientes de la permutación de los dos electrones en el anillo cuántico.

Los momentos magnéticos de los dos electrones, tanto no interactuantes como interactuantes, se presentan en la figura 12 como función del campo magnético aplicado. La interacción Coulombiana genera una estructura oscilatoria más compleja en el momento magnético en comparación con el caso en el que no existe interacción entre los electrones. En particular, la primera oscilación del momento magnético se desplaza hacia campos magnéticos más bajos debido a la repulsión Coulombiana entre los electrones, lo que aumenta el radio efectivo del anillo cuántico. Aunque las oscilaciones Aharonov-Bohm siguen presentes a campos magnéticos mayores a 15T, estas se suavizan considerablemente. Esto indica que el fenómeno de las oscilaciones de Aharonov-Bohm permanece presente a campos magnéticos alrededor de 10T para los QRs anisotrópicos de dos electrones con tamaños radiales cercanos a 10nm.

Es esencial destacar que los efectos observados en los QRs autoorganizados y en las interacciones entre electrones se encuentran en la frontera de la física cuántica aplicada a la nanociencia, y continúan siendo objeto de estudio, dado que las condiciones necesarias para observar estos fenómenos requieren de tecnologías extremadamente precisas para manipular campos magnéticos de alta intensidad y temperaturas controladas.

¿Cómo afectan las interacciones de Coulomb en los anillos cuánticos autoorganizados?

En el estudio de los anillos cuánticos autoorganizados (QRs), las funciones de envolvente espaciales {.F(r), G(r)} juegan un papel crucial. Estas envolventes son aproximadamente constantes dentro de una celda unitaria de la red y dependen de las coordenadas discretas de la red RR. Por otro lado, las funciones de Bloch varían sobre la celda unitaria y son periódicas, lo que significa que dependen exclusivamente de la coordenada continua r~\tilde{r} dentro de la celda unitaria. De este modo, el vector de posición se expresa como r⃗=R+r~\vec{r} = R + \tilde{r}. Esta formulación es esencial para calcular los estados de electrones y huecos confinados, que dependen de la composición del punto cuántico y su geometría.