¿Cómo se comportan los estados estacionarios en la mecánica cuántica?

Los grupos de un parámetro generados por transformaciones unitarias en mecánica cuántica se caracterizan por una estructura matemática que describe el cambio de un sistema con el paso del tiempo. En particular, al considerar un grupo como $T_t(a) = U_t a U_t^{ -1}$, donde $U_t$ es un operador unitario, se establece una relación que permite derivar las ecuaciones de movimiento correspondientes al sistema. En el caso de los operadores de Heisenberg, la evolución temporal de un observable $a$ está dada por la ecuación:

lo que refleja la interacción entre el Hamiltoniano $H$ y el operador $T_t(a)$. Esta relación subraya cómo los observables evolucionan en el tiempo, lo que se interpreta físicamente como la dinámica cuántica del sistema.

Una de las propiedades clave de estos grupos es que la evolución temporal no afecta la estructura de los operadores de densidad en la mecánica cuántica, lo que se confirma mediante la demostración de que $T_t$ es un automorfismo algebraico. La equivalencia entre los dos enfoques se establece claramente cuando se muestra que la acción de $T_t$ sobre los operadores de densidad no cambia con el tiempo, manteniendo las características fundamentales del sistema cuántico.

Sin embargo, en la mecánica cuántica moderna, no se observa que las posiciones y los momentos sean siempre definidos en estos estados, lo que difiere del enfoque clásico. A pesar de que las energías son fijas, las cantidades como la posición y el momento no tienen valores definidos en un momento dado. Estos estados puros estacionarios son también llamados estados ligados debido a su naturaleza, y se caracterizan por tener un comportamiento predecible a lo largo del tiempo. Si un sistema se encuentra en uno de estos estados, su evolución estará determinada por un conjunto de valores propios del Hamiltoniano correspondiente.

Cuando un sistema está en una combinación convexa de estados estacionarios puros, la evolución temporal de cualquier observable es una función casi periódica. Aunque el valor esperado de dicho observable puede no converger a un valor fijo a medida que el tiempo tiende al infinito, el comportamiento global del sistema es tal que las probabilidades de encontrar una partícula en una región compacta no cambian a lo largo del tiempo, aunque puedan oscilar rápidamente. Esto refleja el comportamiento cuántico del sistema, el cual se aproxima a una órbita clásica, aunque con fluctuaciones cuánticas.

Además, es crucial entender que los estados estacionarios no son necesariamente una representación de un estado físico "clásico", sino que son estados que mantienen ciertas propiedades de invarianza temporal bajo la evolución del sistema. La importancia de estos estados radica en que proporcionan una descripción más precisa de la dinámica cuántica que los antiguos modelos de órbitas clásicas, y su existencia se demuestra en el contexto de la teoría cuántica moderna.

¿Cómo definir una operación de tipo Cq sobre un espacio de Hilbert con un grupo unitario continuo?

Consideremos un grupo unitario de un parámetro, fuertemente continuo, sobre un espacio de Hilbert $W$, generado por un operador infinitesimal $b$. Supongamos que $U_t(W) \subseteq W$ para todo $t \in \mathbb{R}$, y que la familia de mapas $\{ \cdot |_{r} < r \}$ es un subconjunto equicontinuo de $\mathcal{E}(W)$ para cualquier $r > 0$. Esta propiedad implica que $U(\mathbb{R})$ es un grupo de tipo $C^q$ localmente equicontinuo de un parámetro sobre $W$. Es evidente que tanto $q$ como $p$ son observables de este tipo. Bajo la suposición de que el potencial es de clase $\mathcal{S}$, el teorema de Hunziker demuestra que el Hamiltoniano también es de este tipo.

Definimos $M_t(A)$ de la siguiente forma:

para $A \in \text{Bor}(\mathbb{R})$, con $f \in \mathcal{J}_1$. La operación $Z_b$ correspondiente a la pregunta $M_b$ se define por:

La función $f_s(b)$ se define mediante el cálculo espectral como:

Estas fórmulas fueron introducidas por Davies para el operador $q$, pero sin la restricción adicional de permanecer en $\mathcal{E}^+(W)$. Es sorprendente lo difícil que resulta demostrar que estas fórmulas realmente definen instrumentos. Para ello, recordemos las siguientes familias de normas:

en $W$, ambas determinan la topología sobre $W$. Consideremos ahora $f \in \mathcal{J}_1$, y usemos el teorema espectral para encontrar un espacio de medida separable y localmente compacto $M$, una medida de Borel positiva y finita sobre $M$, una función medible $X: M \rightarrow \mathbb{R}$, y un mapa unitario $V: L^2(M, d\mu)$ tal que $f \in D(b)$ si y solo si $X(f) \in L^2(M, d\mu)$, y tal que:

Por lo tanto, tenemos que:

Además, si se tiene que $f \in \mathcal{J}_1$ y $\|f\|_2 = 1$, entonces para cualquier $A \in \text{Bor}(\mathbb{R})$, la función $G$ asociada a $a$ y a las funciones $h_1, h_2 \in \mathcal{N}(\mathbb{R})$ satisface la siguiente propiedad:

La propiedad fundamental aquí es que las funciones $G$ son diferenciables, e incluso más, infinitamente diferenciables, lo que implica que para todo $a$, $h_1$, $h_2$, $u$, y $v$, la ecuación se mantiene válida bajo ciertas condiciones sobre las normas asociadas.

Es importante comprender que el objetivo de estos resultados no solo es demostrar la existencia de una operación en $W$, sino también garantizar que dicha operación se ajusta a las exigencias de continuidad, diferenciabilidad y comportamiento espectral esperado dentro del marco de los espacios de Hilbert. Estos resultados son esenciales para cualquier estudio sobre grupos unitarios continuos y sus aplicaciones en la mecánica cuántica o en teorías de sistemas dinámicos cuánticos.

¿Por qué es necesario trabajar con espacios localmente convexos en lugar de espacios de Hilbert en la representación del CCR?

En términos más simples, consideremos un solo par de operadores de creación y aniquilación. Si suponemos que se tiene una representación sobre un espacio de Hilbert, se requiere que los operadores sean continuos. Esta continuidad implica que los operadores sean acotados, lo cual contradice la naturaleza de los operadores de creación y aniquilación que, por lo general, no son acotados. Esta contradicción es un resultado directo del teorema de Winter-Wielandt, que establece que no existe un espacio de Hilbert H en el cual se pueda encontrar operadores continuos y lineales que satisfagan la relación de conmutación $xy - yx = I$.

La importancia de las secuencias rápidamente decrecientes y las secuencias terminantes en este contexto radica en que son esenciales para las representaciones del CCR. Una secuencia rápidamente decreciente es una secuencia compleja $c = (c_n)_{n \in \mathbb{N}}$ que cumple con ciertas condiciones de convergencia. Estas secuencias, junto con las secuencias terminantes, juegan un papel fundamental en la teoría de espacios vectoriales topológicos y en la representación del CCR, siendo densas unas en otras.

El trabajo con las representaciones s-clase del CCR y las secuencias Hermiteanas es otro aspecto crucial. En este caso, los vectores Hermiteanos, que son soluciones de ecuaciones diferenciales de segundo orden, sirven como una base ortonormal en $L^2(\mathbb{R}^3)$, y estos están estrechamente relacionados con las representaciones de operadores de creación y aniquilación. Estos vectores forman una base de Schauder en el espacio de Schwartz, lo que nos permite construir representaciones completas y bien definidas del CCR en espacios que no son necesariamente Hilbertianos.

A través de las secuencias Hermiteanas, se introduce una forma estructurada de representar los estados cuánticos del oscilador armónico, lo cual es fundamental para la física teórica y cuántica. Este análisis también revela que el espacio de los vectores Hermiteanos es un espacio denso en el espacio de las secuencias rápidamente decrecientes, lo que facilita la representación de cualquier vector en términos de estas secuencias.

Además, es fundamental entender que el proceso de expansión de estos vectores en una serie convergente proporciona una representación completa y única para cualquier vector dentro del espacio considerado, lo cual está en consonancia con la propiedad de ser un sistema cíclico para el espacio correspondiente. Este enfoque es el que proporciona la flexibilidad y profundidad necesarias para el estudio de las representaciones del CCR en espacios topológicos más generales, especialmente cuando se trata de representaciones que no se limitan a los convencionales espacios de Hilbert.