¿Cómo analizar circuitos con capacitores conmutados en el dominio z?

Para examinar los circuitos con capacitores conmutados en el dominio de frecuencia, es necesario transformar la secuencia en el dominio del tiempo a una expresión equivalente en el dominio z. Este proceso es crucial para la comprensión y el análisis de estos circuitos en aplicaciones como filtros de paso bajo, amplificadores, y otros dispositivos de procesamiento de señales. A continuación se detalla cómo se realiza este análisis, ilustrado con un ejemplo práctico.

Para un punto de muestra dado, $t = nT/2$, la ecuación $v*(t)$ puede expresarse como:

Este tipo de ecuación, que describe un voltaje en función del tiempo, es la base de la análisis en el dominio z, en el cual se descompone la señal en sus componentes de fase impar y fase par, lo que facilita su tratamiento.

A través de la transformada z, la ecuación se puede representar como:

El resultado es una representación de la señal en el dominio z, donde se pueden analizar las características de la señal en términos de su frecuencia y otras propiedades. La forma general de esta expresión es:

De esta manera, la señal total puede dividirse en componentes de fase par y fase impar, lo que es fundamental para estudiar la respuesta en frecuencia del circuito.

Al analizar los circuitos con capacitores conmutados, el enfoque se centra en las transferencias de señales entre estas fases. Dependiendo de qué fase se seleccione, se pueden obtener diferentes funciones de transferencia. Por ejemplo, $H_{oe}(z)$ representa la función de transferencia de la fase impar a la fase par, mientras que $H_{oo}(z)$ muestra la transferencia entre dos fases impares.

Un aspecto clave del análisis en el dominio z es la representación de las funciones de transferencia como:

Esto refleja la relación entre las señales de entrada y salida del circuito en el dominio z, lo que permite calcular cómo se comportará el circuito en diferentes frecuencias. Las transferencias entre las fases impares y pares se deben analizar de manera individual para obtener una comprensión completa del circuito.

El análisis de circuitos con capacitores conmutados con un reloj de dos fases, como se ilustra en los ejemplos, sigue un proceso ordenado. Primero, se examina el circuito durante una fase seleccionada, y luego se consideran las condiciones iniciales al pasar a la siguiente fase. Este método algebraico sencillo permite derivar ecuaciones que describen la respuesta del circuito para cada fase, que posteriormente se combinan en una ecuación global.

Un ejemplo práctico de este tipo de análisis es el filtro paso bajo de primer orden con capacitor conmutado, que se muestra en la figura asociada al ejemplo. Durante la fase $f_1$, los condensadores se cargan, y en la fase $f_2$, se descargan, lo que da lugar a una respuesta en frecuencia determinada por la relación entre los voltajes de entrada y salida.

El siguiente paso es escribir la expresión en el dominio z. Esto se hace aplicando la propiedad de desplazamiento de secuencias en el dominio z, que nos da la representación final del voltaje de salida en términos de las variables $z$, que pueden utilizarse para encontrar la función de transferencia del circuito.

El ejemplo específico de un filtro paso bajo de primer orden muestra cómo la función de transferencia z puede derivarse paso a paso, a partir de las condiciones iniciales y las interacciones entre las fases. Finalmente, la transferencia del circuito se representa en el dominio z mediante una ecuación que relaciona las funciones de transferencia de cada fase.

Además de las transformaciones entre el dominio del tiempo y el dominio z, es importante tener en cuenta el análisis de la respuesta en frecuencia del circuito. Este análisis puede realizarse en el dominio $s$ para circuitos de tiempo continuo, utilizando la variable compleja $s = j \omega$, que es la base de las funciones de transferencia en sistemas analógicos. Para los circuitos de tiempo discreto, la variable $z = r e^{j \omega T}$ se usa en su lugar. La frecuencia de corte, la ganancia y las características de fase del circuito dependen de estos análisis.

El estudio de circuitos con capacitores conmutados permite realizar una profunda exploración de las funciones de transferencia y la respuesta en frecuencia de estos sistemas, con aplicaciones en filtros y amplificadores de señales en diversos sistemas electrónicos.

¿Cómo generar referencias de voltaje independientes de la temperatura utilizando corrientes PTAT y CTAT?

La generación de referencias de voltaje que sean independientes de la temperatura es un desafío fundamental en el diseño de circuitos electrónicos, especialmente en aplicaciones donde se requiere precisión y estabilidad en un rango amplio de temperaturas. Para comprender cómo obtener tales referencias, es crucial entender las propiedades de las corrientes PTAT (proporcionales a la temperatura absoluta) y CTAT (complementarias a la temperatura absoluta), y cómo estas pueden ser utilizadas en conjunción para lograr una referencia de voltaje que no dependa de las variaciones térmicas.

Comenzando con la corriente PTAT, se puede generar mediante circuitos basados en transistores MOSFET, cuya relación de voltaje de puerta-fuente se puede escribir de la siguiente forma:

Si la tensión en la ecuación (4.6-3) se elige en el punto ZTC (Zero Temperature Coefficient), el voltaje de puerta-fuente será PTAT, lo que llevará a que la corriente de drenaje también sea PTAT, bajo la condición de que el cambio de temperatura no sea lo suficientemente grande como para mover el punto ZTC. La influencia de los resistores $R_1$ y $R_2$ en esta relación se puede analizar derivando su relación respecto a la temperatura, lo que nos da una expresión que describe cómo cambian las características térmicas de la corriente.

Para que la corriente sea PTAT verdadera, es necesario que los coeficientes de temperatura de los resistores $R_1$ y $R_2$ sean idénticos. Sin embargo, en la práctica, esto es difícil de lograr debido a las variaciones en la fabricación de los componentes. Esto no obstante, puede ser manejado mediante ajustes en el diseño del circuito.

La siguiente etapa en el proceso de generar referencias de voltaje independientes de la temperatura es encontrar una tensión CTAT, es decir, que disminuya de manera lineal con la temperatura. Aunque no existe una relación de voltaje completamente complementaria a la temperatura, un candidato ideal para lograr esto es la unión pn de un diodo. La densidad de corriente en un diodo se expresa como:

De esta manera, la tensión $V_D$, que está relacionada con la temperatura de forma exponencial, puede ofrecer una referencia que disminuye con la temperatura, comportándose como una tensión CTAT. Sin embargo, hay un problema conocido como la curvatura de la brecha de banda (bandgap curvature), que hace que la relación no sea estrictamente lineal con la temperatura, complicando la obtención de un voltaje CTAT puro.

Para superar este problema y generar una corriente CTAT, se puede usar el voltaje de un diodo en combinación con un bucle de retroalimentación negativa, tal como se muestra en los esquemas de las figuras 4.6-5(a) y 4.6-5(b). En estos circuitos, la corriente que fluye a través de un resistor está relacionada con el voltaje de la base-emisor de un transistor bipolar o un diodo, lo que permite la creación de una corriente pseudo-CTAT. Este tipo de corriente no es perfectamente CTAT, pero puede ser suficiente para muchas aplicaciones, donde se asume que la corriente fluye a través de un segundo resistor para generar una tensión CTAT verdadera, bajo la suposición de que ambos resistores tienen la misma dependencia térmica.

Una vez generadas las corrientes PTAT y CTAT, el siguiente paso es combinarlas para crear una referencia de voltaje que sea independiente de la temperatura. Existen dos formas principales de realizar esto: una configuración en serie y una configuración en paralelo. En la configuración en serie, el voltaje de referencia puede expresarse como:

Mientras que en la configuración en paralelo, la referencia de voltaje es la suma de las contribuciones de las corrientes PTAT y CTAT, cada una multiplicada por su respectivo resistor. La condición para que el voltaje sea independiente de la temperatura es que la derivada respecto a la temperatura de $V_{REF}$ sea igual a cero, lo que lleva a una relación entre los coeficientes de temperatura de los resistores involucrados.

Una vez que se encuentran las relaciones correctas entre los resistores y las corrientes, se pueden determinar los valores específicos de los componentes para obtener una referencia de voltaje que sea prácticamente constante con respecto a la temperatura. Un ejemplo de este tipo de diseño es el caso en que, para una configuración en serie con un valor de $V_{CTAT} = 0.6 V$ y $A_2/A_1 = 10$, se obtiene una constante independiente de la temperatura y un voltaje de referencia de aproximadamente 1.262 V.

Es crucial entender que, aunque la referencia de voltaje generada de esta manera se denomina históricamente "referencia de voltaje de brecha de banda", su funcionamiento no tiene nada que ver con el voltaje de brecha de banda en sí, sino que se refiere a una aproximación que utiliza la combinación de corrientes PTAT y CTAT para obtener una referencia térmicamente estable. En la práctica, este tipo de referencias se utilizan ampliamente en aplicaciones de electrónica analógica donde se necesita una referencia de voltaje confiable y constante, independientemente de los cambios de temperatura.

¿Cómo funciona el amplificador diferencial CMOS?

El amplificador diferencial CMOS es un componente clave en muchos sistemas electrónicos debido a su capacidad para amplificar señales de entrada que están en forma diferencial. En su configuración básica, el amplificador convierte señales de entrada diferenciadas en una señal de salida única, lo que es útil para una amplia gama de aplicaciones en circuitos de comunicación, procesamiento de señales y sistemas de control. La configuración más común emplea transistores MOSFET, que proporcionan características específicas que influyen en su desempeño.

Cuando se examina un amplificador diferencial CMOS, se observa que si las tensiones en las puertas de los transistores, $v_{GS1}$ y $v_{GS2}$, son iguales, la corriente de salida $i_{OUT}$ se vuelve negativa y la salida de voltaje $v_{OUT}$ disminuye. Esta configuración permite que la señal de salida diferencial sea convertida a una señal de salida de un solo lado, referenciada a tierra alterna. Esta conversión es esencial para la reducción de ruido y la mejora de la calidad de las señales transmitidas.

Para entender cómo funciona este proceso, se puede observar que si los transistores de la corriente espejo tienen corrientes iguales, $i_{OUT}$ se determina por la diferencia entre las corrientes $i_{D1}$ e $i_{D2}$. En el caso del amplificador diferencial de canal n, se utiliza la transconductancia diferencial, que se distingue de la transconductancia común, representada con la notación $g_{md}$. Esta transconductancia diferencial, que es el doble de la transconductancia de un transistor de fuente común, tiene una relación directa con la diferencia de voltajes en las puertas de los transistores $v_{ID}$, y es fundamental para determinar el comportamiento del amplificador.

Un aspecto relevante del amplificador diferencial CMOS es la transferencia de voltaje. La función de transferencia de gran señal se ve afectada por la saturación de los transistores involucrados en la amplificación. En particular, la mayor ganancia de pequeña señal ocurre cuando los transistores M2 y M4 están en saturación. Cuando el transistor M2 está saturado, la ecuación de transferencia de voltaje se aproxima a un valor donde la salida depende de los voltajes en las puertas de los transistores y sus umbrales. Sin embargo, el rango de salida del amplificador puede exceder estos valores a medida que el voltaje diferencial aumenta.

Es importante destacar que el amplificador diferencial CMOS no solo depende de los valores de los voltajes de entrada, sino también del diseño de los transistores utilizados en la configuración. Si se utilizan MOSFETs de canal p en lugar de n, como en la configuración mostrada en la Figura 5.2-8, el comportamiento del amplificador sigue siendo fundamentalmente el mismo, aunque con algunas diferencias en los voltajes de umbral y la polarización de los dispositivos.

Un parámetro clave para el diseño del amplificador diferencial es el rango de voltaje común de entrada, $ICMR$. Este parámetro se determina analizando el voltaje común en las entradas hasta que uno de los transistores del amplificador deje de estar en saturación. Para el amplificador de la Figura 5.2-6, el cálculo del voltaje máximo común de entrada ($V_{IC(max)}$) depende de la configuración del circuito y los parámetros de los transistores. Es crucial en este análisis conocer las tensiones de umbral de los transistores y cómo se distribuyen los voltajes a lo largo del amplificador.

El diseño del amplificador diferencial también debe tener en cuenta la variabilidad en los voltajes de umbral ($V_T$) de los transistores, que puede ser afectada por las condiciones de proceso. Si se desea mejorar el rango común de entrada positivo, se pueden realizar ajustes en los valores de $W/L$ de los transistores o cambiar la carga utilizada en la configuración. Esto puede lograrse conectando los substratos de los transistores de entrada a tierra, lo que produce una retroalimentación negativa en las fuentes de estos dispositivos. Esta retroalimentación puede aumentar los voltajes de umbral, mejorando así el rango de voltaje común positivo.

Por otro lado, si se busca mejorar el rango común negativo, el diseño deberá considerar las posibles variaciones de $V_T$ en los transistores p y n, ajustando los parámetros de corriente de polarización $I_{SS}$ y las proporciones de los tamaños de los transistores ($W/L$) en la etapa de diseño. La selección cuidadosa de estos parámetros puede optimizar el rendimiento del amplificador para diferentes condiciones operativas y aplicaciones.

Además de estos parámetros técnicos, es esencial que el diseñador del amplificador diferencial CMOS tenga en cuenta la variabilidad en las condiciones de proceso, como el umbral de voltaje de los transistores, y cómo estas variaciones pueden afectar el rendimiento final del amplificador. Las técnicas de compensación y la calibración adecuada de los dispositivos son fundamentales para garantizar que el amplificador funcione de manera fiable en un amplio rango de condiciones de entrada y suministro.

¿Cómo determinar las resistencias de ganancia y salida en un amplificador de carga de corriente CMOS?

Para analizar los amplificadores de carga de corriente en CMOS, es esencial conocer las condiciones bajo las cuales los transistores operan en la región de saturación. En el contexto de un amplificador de carga de corriente, como el mostrado en el circuito de la Figura P5.1-6, los parámetros clave a considerar son las capacitancias de los transistores (Cbd1, Cbd2), la capacitancia de carga (CL) y las dimensiones de los transistores (ancho a largo, W/L).

La resistencia de ganancia $R_{gain}$ y la resistencia de salida $R_{out}$ son dos de los parámetros más relevantes para caracterizar el comportamiento del amplificador. Para un amplificador de carga de corriente CMOS, podemos calcular estas resistencias utilizando los parámetros de los transistores y las condiciones de operación del circuito, asumiendo que todos los transistores están en saturación.

En el caso del amplificador CMOS de la Figura P5.1-6, donde se utilizan transistores como M1, M2 y M3, el valor de $R_{out}$ se puede determinar a partir de las resistencias de salida de los transistores involucrados. Dado que todos los transistores operan en saturación, estas resistencias se pueden aproximar mediante las siguientes ecuaciones:

1. La resistencia de salida de un transistor MOS en saturación se expresa como $R_{out} \approx \frac{1}{\lambda I_D}$, donde $\lambda$ es el parámetro de modulación de longitud de canal, y $I_D$ es la corriente de drenaje.

2. La resistencia de ganancia se calcula a partir de la ganancia transconductancia $g_m$ y la resistencia de salida. En general, para un amplificador en configuración de carga de corriente, la ganancia de voltaje $A_v$ se aproxima por $A_v \approx g_m R_{out}$, donde $g_m$ es la transconductancia del transistor.

El valor de $C_{L}$, la capacitancia de carga conectada al nodo de salida, también juega un papel importante en la determinación de la respuesta en frecuencia del amplificador. Esta capacitancia determina la frecuencia de corte, lo que es crucial para aplicaciones de amplificación de señales de alta frecuencia.

Si los transistores son simétricos, como en el caso de un amplificador push-pull CMOS, las propiedades de los transistores PMOS y NMOS afectan la ganancia de voltaje y la respuesta en frecuencia de manera similar, con una pequeña diferencia debido a los parámetros de proceso, como las longitudes de canal y los coeficientes de movilidad de los portadores.

En cuanto a la frecuencia de -3 dB (o frecuencia de corte), esta se puede calcular usando la relación entre la capacitancia total del nodo de salida y la resistencia de salida, la cual determina el punto en que la ganancia cae en 3 dB.

Además de los cálculos de resistencias y frecuencias de corte, es esencial entender la importancia del ruido térmico en estos amplificadores. El ruido térmico, generado por las fluctuaciones aleatorias en la corriente de los transistores, es un factor crucial en la performance del amplificador. El voltaje de ruido térmico equivalente se puede calcular mediante la fórmula de ruido de Johnson-Nyquist, considerando la temperatura ambiente y la resistencia de los componentes involucrados.

Este tipo de análisis es fundamental no solo para diseñar amplificadores con altas ganancias y bajas distorsiones, sino también para garantizar que el amplificador funcione correctamente dentro de los parámetros esperados, como el rango de frecuencia deseado.

Para entender completamente el comportamiento de estos amplificadores, es necesario también considerar la influencia de las variaciones en los parámetros de los transistores (por ejemplo, las variaciones en las longitudes de canal y las capacitancias parasitarias) sobre el rendimiento global del sistema.