En el contexto de la geometría algebraica, la noción de semicontinuidad de la dimensión de la fibra resulta fundamental para entender cómo varían las dimensiones de las fibras de un morfismo proyectivo entre variedades algebraicas. Consideremos un morfismo proyectivo φ:X→Y\varphi : X \to Y, donde XX y YY son variedades algebraicas. Para cada punto q∈Yq \in Y, la fibra Xq=φ−1(q)X_q = \varphi^{ -1}(q) es un conjunto algebraico proyectivo cuya dimensión puede variar a lo largo de YY.

El teorema clave afirma que para un entero r≥−1r \geq -1, el conjunto

Ur={q∈Y∣dim⁡Xq≤r}U_r = \{ q \in Y \mid \dim X_q \leq r \}

es un subconjunto abierto en la topología de Zariski de YY. Esto implica que las fibras de dimensión menor o igual a rr se concentran en una región abierta, mientras que las fibras con dimensión estrictamente mayor corresponden a puntos especiales que pueden ser considerados “singulares” o “de degeneración” dentro de la familia. Dicho de otra forma, la dimensión de la fibra puede aumentar en puntos especiales, pero no decrece de forma repentina, garantizando una semicontinuidad superior.

Este resultado se fundamenta en la factorización del morfismo proyectivo mediante un producto Pn×Y\mathbb{P}^n \times Y, y en la elección de un espacio lineal L⊂PnL \subset \mathbb{P}^n adecuado que evita intersecciones con ciertas fibras. Utilizando argumentos geométricos combinados con propiedades algebraicas, se construye un conjunto abierto UrU_r que captura esta semicontinuidad.

Cuando el morfismo es además sobreyectivo entre variedades irreducibles, el resultado se fortalece: existe un subconjunto abierto no vacío U⊂YU \subset Y tal que para todo q∈Uq \in U, la dimensión de la fibra XqX_q es constante e igual a dim⁡X−dim⁡Y\dim X - \dim Y. Esto refleja la idea intuitiva de que, en “puntos generales”, la fibra de un morfismo proyectivo mantiene una dimensión mínima predecible, mientras que puntos fuera de esta región pueden presentar fibras de dimensión mayor. La demostración recurre al estudio de los cuerpos de funciones K(Y)⊂K(X)K(Y) \subset K(X) y a la construcción de una base de Gröbner normalizada sobre el cuerpo de funciones, lo que permite un análisis preciso del comportamiento dimensional mediante técnicas algebraicas avanzadas.

Adicionalmente, un corolario significativo es que, bajo condiciones homogéneas, existe un subconjunto abierto no vacío en YY donde los ideales que definen las fibras comparten la misma función de Hilbert. Esto garantiza uniformidad en propiedades algebraicas y geométricas fundamentales en la familia parametrizada.

Otro aspecto relevante es la conexión con la teoría computacional: el uso de bases de Gröbner permite no solo probar teoremas abstractos, sino también realizar cálculos explícitos, por ejemplo, en cuerpos finitos, que facilitan experimentos en geometría algebraica y aportan intuición sobre singularidades y dimensiones.

En términos más amplios, comprender la semicontinuidad de la dimensión de la fibra es esencial para el estudio de deformaciones de variedades, resolución de singularidades y análisis de familias de curvas y superficies. Además, introduce al lector en la importancia de los conjuntos abiertos en la topología de Zariski, donde la noción de genericidad y estabilidad de propiedades geométricas se manifiestan claramente.

Es crucial destacar que la variación de la dimensión de la fibra está ligada a fenómenos geométricos profundos, como las transformaciones birracionales y las modificaciones como el blow-up, que permiten estudiar y “suavizar” singularidades. La existencia de puntos con fibras de dimensión mayor refleja la presencia de características especiales, como singularidades o componentes adicionales, que requieren un análisis detallado.

Finalmente, la dimensión de la fibra y su comportamiento semicontinuo forman la base para comprender el espacio de moduli de variedades proyectivas, la estructura de sus familias, y permiten relacionar conceptos algebraicos con interpretaciones geométricas y topológicas.

¿Cómo se resuelven las singularidades de curvas mediante blow-ups en geometría algebraica?

En la resolución de singularidades de curvas algebraicas planas, una herramienta central es el blow-up del plano afín en un punto singular. Este proceso geométrico permite "reemplazar" el punto singular por un conjunto de direcciones —una recta proyectiva— y, a través de iteraciones, transformar una curva singular en una curva suave. El ejemplo más básico es el blow-up del origen en A2\mathbb{A}^2, dado por el morfismo σ:U1→A2\sigma : U_1 \rightarrow \mathbb{A}^2, definido por (w,y)↦(wy,y)(w, y) \mapsto (wy, y). La fibra sobre el origen o=(0,0)o = (0,0) es la curva excepcional E=P1×{o}E = \mathbb{P}^1 \times \{o\}, que representa el conjunto de todas las direcciones que pasan por el origen.

El espacio XX, obtenido al cerrar en la topología de Zariski el grafo del morfismo (x,y)↦(x:y)(x, y) \mapsto (x : y) en P1×A2\mathbb{P}^1 \times \mathbb{A}^2, reemplaza el punto oo por la variedad EE, y fuera de EE, el morfismo σ\sigma es un isomorfismo. Es en este nuevo espacio donde se estudia la transformada estricta C′C' de una curva C⊂A2C \subset \mathbb{A}^2. Esta transformada se define como el cierre de σ−1(C∖{o})\sigma^{ -1}(C \setminus \{o\}), mientras que la transformada total es simplemente σ−1(C)\sigma^{ -1}(C).

Cuando la curva C=V(f)C = V(f) tiene multiplicidad mm en el origen, la intersección de su transformada estricta C′C' con la curva excepcional EE consiste exactamente en mm puntos, contados con multiplicidad. Esta propiedad se deduce de la forma del polinomio ff al ser reescrito en coordenadas locales tras el blow-up, donde los términos homogéneos de grado mm determinan la estructura de intersección. Cuando fm=∏i=1rℓieif_m = \prod_{i=1}^r \ell_i^{e_i} se descompone en factores lineales distintos, cada línea tangente ℓi\ell_i determina un punto de intersección pjp_j con EE, cuya multiplicidad de intersección es eje_j, de modo que la suma total de multiplicidades es precisamente mm.

Si el punto oo es una singularidad ordinaria de multiplicidad mm, entonces la intersección entre C′C' y EE es transversal y C′C' es suave en esos puntos. Este caso ejemplifica cómo la resolución puede ser inmediata tras un solo blow-up.

Sin embargo, en general, el proceso debe iterarse. Consideremos C=V(y3−x5)C = V(y^3 - x^5). Su transformada estricta tras el primer blow-up en la carta U0U_0 está dada por x3(z3−x2)x^3(z^3 - x^2), y al realizar un segundo blow-up en el punto de intersección con la nueva curva excepcional E2={u=0}E_2 = \{u = 0\}, se obtiene una ecuación local w5z9(w−z)w^5z^9(w - z), donde todas las curvas relevantes se intersectan transversalmente. Esta iteración del blow-up permite alinear las componentes singulares hasta alcanzar la suavidad total.

Una observación importante proviene de la geometría compleja: aunque una curva como y3=x5y^3 = x^5 parece diferenciable en R2\mathbb{R}^2, su verdadera estructura singular se revela al analizar las soluciones complejas. Al intersectar esta curva con una esfera pequeña Sε3S^3_\varepsilon en C2\mathbb{C}^2, el resultado es un nudo en un toro, más específicamente un nudo tipo (3,5)(3,5), cuyas vueltas reflejan la multiplicidad de los exponentes. Esto ilustra la profunda conexión entre la topología y la geometría algebraica en el estudio de singularidades.

El Teorema de Resolución de Singularidades afirma que para toda curva algebraica plana CC, existe una sucesión finita de blow-ups tal que la transformada estricta final C(r)C^{(r)} es una curva suave. La dificultad esencial de esta demostración consiste en garantizar que un invariante numérico —como la multiplicidad— mejore en cada paso. Sin embargo, en muchos casos, es necesario introducir invariantes más sutiles para controlar el progreso del proceso.

Consideremos ahora y2−x4+x6=0y^2 - x^4 + x^6 = 0, que tiene un punto doble en el origen. Tras un blow-up, la singularidad persiste: z2−x2+x4=0z^2 - x^2 + x^4 = 0. Solo al aplicar un segundo blow-up se alcanza la suavidad: u2−1+u4z2=0u^2 - 1 + u^4z^2 = 0 es una ecuación no singular.

Más allá del plano afín, el blow-up se extiende a superficies proyectivas suaves. Por ejemplo, el blow-up de P2\mathbb{P}^2 en un punto produce una nueva superficie proyectiva que contiene una curva excepcional identificable con el espacio tangente proyectivo en el punto. Este proceso puede describirse explícitamente mediante una aplicación racional de P2\mathbb{P}^2 a P4\mathbb{P}^4, que envía (x:y:z)↦(x2:xy:y2:xz:yz)(x : y : z) \mapsto (x^2 : xy : y^2 : xz : yz). La imagen es un "scroll cúbico" proyectado desde la superficie de Veronese.

Este formalismo se generaliza aún más al considerar blow-ups iterados en varios puntos. Dados puntos distintos p1,...,prp_1, ..., p_r sobre una superficie proyectiva suave X⊂PnX \subset \mathbb{P}^n, uno puede construir X(p1,...,pr)X(p_1, ..., p_r), que se obtiene proyectando desde el ideal homogéneo de los puntos, usando una base de secciones de cierto grado dd suficientemente grande.

El blow-up también permite describir mapas birracionales entre superficies suaves. Todo morfismo birracional entre tales superficies puede factorizarse como una sucesión de blow-ups seguidos de blow-downs, según los teoremas de Castelnuovo y Zariski. Por ejemplo, al considerar una proyección birracional de P1×P1\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1 a P2\mathbb{P}^2, el blow-up en un punto pp transforma las líneas verticales y horizontales que pasan por pp en puntos en P2\mathbb{P}^2, y la curva excepcional se proyecta en la línea que los une.

Finalmente, el famoso mapa cuadrático (x:y:z)↦(yz:xz:xy)(x : y : z) \mapsto (yz : xz : xy) es un ejemplo clásico de transformación birracional del plano proyectivo. Este mapa no está definido en los puntos fundamentales (1:0:0),(0:1:0),(0:0:1)(1:0:0), (0:1:0), (0:0:1), y su grafo es precisamente el blow-up de P2\mathbb{P}^2 en estos tres puntos. La resolución de las indeterminaciones del mapa se logra al reemplazar cada punto base por una curva excepcional, permitiendo así extender el mapa a un morfismo bien definido.

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