¿Cómo obtener la respuesta en frecuencia de un sistema de segundo orden en el dominio temporal?

En sistemas de segundo orden, como los filtros de paso bajo, la relación entre los dominios temporal y de frecuencia es fundamental para comprender el comportamiento del sistema. El análisis de un sistema de segundo orden, por ejemplo, en un amplificador de ganancia, requiere entender cómo las características del sistema se reflejan tanto en el dominio temporal como en el dominio de la frecuencia.

Para un sistema de paso bajo de segundo orden, se pueden identificar diferentes parámetros clave, como la ganancia estática $A_0$, las frecuencias de los polos $\omega_1$ y $\omega_2$, y el factor de amortiguamiento $\zeta$. Estos parámetros determinan la respuesta del sistema a diferentes señales de entrada, en particular a la respuesta escalón, que es una de las pruebas más comunes para analizar el comportamiento temporal del sistema.

Respuesta en el Dominio Temporal

El comportamiento de un sistema de segundo orden en el dominio temporal se puede expresar mediante una respuesta a una señal escalón. Para un sistema sobreamortiguado ($\zeta < 1$), la respuesta escalón presenta un sobreimpulso que se puede calcular mediante una fórmula específica, mostrando cómo la salida supera brevemente el valor final antes de estabilizarse. Esta sobrecarga, $\delta$, está dada por la ecuación:

Además, se define un tiempo $t_p$, el cual es el instante en que ocurre este sobreimpulso, y está relacionado con el factor de amortiguamiento $\zeta$ y la frecuencia natural $\omega_n$ del sistema. Mediante la medición de estos valores, es posible determinar la frecuencia de corte y la respuesta en frecuencia del sistema de segundo orden.

En el caso subamortiguado ($\zeta > 1$), el sistema no muestra sobreimpulso, y su respuesta a un escalón es más suave. Este comportamiento se puede modelar usando una ecuación más compleja que involucra los dos polos del sistema y los valores de las frecuencias correspondientes.

Determinación de la Frecuencia de Corte y el Margen de Fase

Una vez que se tiene la información del comportamiento temporal, como el sobreimpulso y el tiempo $t_p$, se pueden calcular parámetros cruciales para la estabilidad del sistema, tales como el margen de fase y la frecuencia de cruce. El margen de fase ($\varphi_m$) es una medida de la estabilidad del sistema, y se puede calcular a partir de las características del sistema en el dominio temporal. La frecuencia de cruce ($\omega_c$), que es donde la magnitud de la respuesta en frecuencia cae a -3 dB, se obtiene usando una fórmula que depende del factor de amortiguamiento y la frecuencia natural.

La ecuación general para calcular el margen de fase es:

Este margen de fase es importante para evaluar la estabilidad del sistema y asegurar que no haya oscilaciones indeseadas.

La Relación entre el Dominio Temporal y la Estabilidad

La relación entre el dominio temporal y la estabilidad del sistema es esencial. Por ejemplo, un valor de $\zeta$ cercano a 1 (críticamente amortiguado) ofrece un compromiso entre una rápida estabilización y la evitación de sobreimpulsos. Un sistema con un $\zeta$ mucho mayor a 1 tiende a ser más estable, pero con una respuesta más lenta. De igual manera, un $\zeta$ muy bajo da lugar a una respuesta oscilatoria, lo cual no es deseable en muchas aplicaciones.

En sistemas de amplificación, la ganancia de la señal de salida depende de estos parámetros. Un sistema con una frecuencia natural y un factor de amortiguamiento bien definidos puede proporcionar un rendimiento predecible y controlable. Este tipo de análisis es crucial cuando se diseñan amplificadores, filtros y otros sistemas electrónicos donde la precisión de la respuesta temporal y de frecuencia es clave.

El Papel del Análisis en el Dominio de la Frecuencia

El análisis de la respuesta en el dominio temporal también tiene una correspondencia directa con el dominio de la frecuencia. Aunque la medición directa en el dominio de la frecuencia es más compleja, la medición de la respuesta escalón y el cálculo de parámetros como el sobreimpulso y el tiempo de subida permiten derivar la respuesta en frecuencia del sistema. Esto es particularmente útil cuando se necesita entender cómo un sistema responde a señales de diferente frecuencia sin tener que realizar un análisis extenso en el dominio de la frecuencia directamente.

La frecuencia de corte y el margen de fase calculados a partir de las observaciones en el dominio temporal ofrecen una forma rápida de estimar el rendimiento del sistema sin necesidad de complejos métodos matemáticos.

¿Cómo los interruptores MOS afectan el comportamiento de los circuitos analógicos en sistemas CMOS?

En los sistemas digitales y analógicos, los interruptores MOS (Metal-Óxido-Semiconductor) juegan un papel crucial, no solo como interruptores, sino también como elementos fundamentales en el diseño de circuitos integrados. Estos interruptores están diseñados para controlar el flujo de corriente de manera eficiente, a través de las variaciones de las tensiones en sus terminales. Sin embargo, la comprensión de su comportamiento y de los efectos secundarios que introducen en los sistemas es esencial para minimizar las interferencias no deseadas y mejorar el rendimiento global de un sistema.

Un aspecto fundamental al trabajar con interruptores MOS es la alimentación de carga (charge feedthrough), que describe el fenómeno en el que una parte de la señal de control, como la señal del reloj, se transmite al canal de la señal a través del transistor, incluso cuando el interruptor debería estar apagado. Este efecto puede distorsionar la señal y provocar errores en el sistema. Es importante que el lector entienda que las ecuaciones utilizadas para modelar estos efectos, como las ecuaciones (4.1-5) a (4.1-10), no siempre proporcionan respuestas exactas sobre la cantidad de carga que se transmite. En cambio, estas ecuaciones deben ser vistas como una herramienta de aproximación, una guía para comprender cómo varios elementos del circuito y las condiciones de terminal afectan el comportamiento del interruptor.

En muchos casos, los efectos de la alimentación de carga pueden reducirse parcialmente mediante técnicas de diseño, como el uso de un transistor MOS ficticio, como se ilustra en la figura 4.1-11. Este transistor ficticio se utiliza para generar una señal de reloj inversa que contrarreste la alimentación de carga del interruptor principal. Sin embargo, este método no elimina completamente el problema y, en algunos casos, puede incluso empeorarlo. Además, genera la necesidad de un reloj invertido y puede introducir otros problemas que requieren compromisos adicionales en el diseño. La elección de componentes adecuados, como transistores de geometría mínima y la reducción de la amplitud de la señal del reloj, puede ayudar a mitigar este problema, aunque también puede crear complicaciones en otras áreas del circuito.

Otro enfoque para mejorar el rendimiento de los interruptores MOS es el uso de interruptores CMOS, que combinan transistores de canal p y n. Este tipo de interruptor tiene la ventaja de mejorar el rango dinámico de la señal analógica, como se muestra en la figura 4.1-12. Cuando un interruptor CMOS está encendido, ambos transistores p y n conducen, lo que reduce significativamente la resistencia de encendido en comparación con los interruptores MOS de canal único. La resistencia de encendido de un interruptor CMOS, como se muestra en la figura 4.1-13, exhibe un comportamiento de doble pico debido a la dominancia de cada tipo de transistor en diferentes niveles de voltaje de entrada. Esta mejora en la resistencia de encendido es especialmente útil cuando las tensiones de alimentación son bajas o cuando la señal a conmutar está cerca de la mitad de la alimentación, un escenario común cuando los voltajes de suministro son bajos.

En situaciones en las que la tensión disponible para encender el interruptor no es suficiente, como en sistemas con voltajes de alimentación reducidos, es necesario generar un sobrecargado de puerta (gate overdrive), lo que se logra mediante el uso de bombas de carga. Las bombas de carga permiten aumentar el voltaje de la puerta, facilitando así la activación de los interruptores. En la figura 4.1-14, se muestra un circuito simple que utiliza un generador de doble voltaje para proporcionar la tensión de sobrecarga necesaria para el funcionamiento de los interruptores. Este tipo de circuitos se utiliza para aumentar el voltaje de la puerta más allá de los límites normales de alimentación, permitiendo que los interruptores funcionen de manera eficiente incluso en condiciones de bajo voltaje.

Un área importante que también debe considerarse en los diseños que utilizan interruptores MOS es la resistencia de encendido (rON). La figura 4.1-13 demuestra cómo la resistencia de encendido de un interruptor CMOS varía según la tensión de entrada. Esto resalta la importancia de diseñar el interruptor con una geometría adecuada para garantizar que la resistencia de encendido se mantenga baja y se minimicen las pérdidas. Es crucial entender cómo las diferentes configuraciones de transistores afectan esta resistencia, ya que tiene un impacto directo en el rendimiento del sistema, especialmente en aplicaciones de alta velocidad.

Por último, los interruptores MOS también pueden utilizarse en configuraciones de diodos MOS, donde el drenaje y la puerta del transistor se conectan juntos. Esta configuración se utiliza para crear componentes como espejos de corriente o para la traducción de niveles de voltaje. El comportamiento I-V de este tipo de diodo es similar al de un diodo de unión pn, como se muestra en la figura 4.2-1. Estos diodos MOS, al estar en la región de saturación, tienen un modelo de pequeña señal que puede ser utilizado en diversos circuitos para controlar corrientes o voltajes con alta precisión.

En resumen, los interruptores MOS, tanto en su forma básica como en su implementación CMOS, son componentes esenciales en el diseño de circuitos analógicos y digitales. Si bien ofrecen muchas ventajas, como el bajo consumo de energía y la pequeña área ocupada en el chip, su comportamiento no está exento de desafíos. Los diseñadores deben tener en cuenta los efectos como la alimentación de carga, la resistencia de encendido y la generación de sobrecarga de puerta para asegurar un funcionamiento óptimo de los sistemas. Estos aspectos, aunque complejos, son clave para la creación de circuitos eficientes y confiables en el contexto de la tecnología CMOS.

¿Cómo reducir el valor mínimo de voltaje en un sumidero de corriente cascode?

En la configuración de un sumidero de corriente cascode, se puede obtener una reducción significativa en el valor mínimo de voltaje (VMIN) mediante una comprensión detallada de las relaciones entre los parámetros del transistor MOS. Este enfoque no solo ayuda a mejorar la eficiencia de los circuitos, sino que también es fundamental para diseñar circuitos con un rendimiento optimizado, especialmente en aplicaciones que requieren un manejo preciso de la corriente y la tensión.

En primer lugar, es necesario entender un principio fundamental utilizado en el sesgo de los dispositivos MOS. Este principio puede ilustrarse considerando dos dispositivos MOS, M1 y M2. El voltaje de puerta-fuente aplicado, VGS, puede descomponerse en dos partes: una parte en exceso del voltaje umbral, VON, y el voltaje umbral, VT. Es decir, VGS = VON + VT. Este concepto es crucial para determinar el mínimo voltaje de drenaje-fuente (VDS) para que un transistor se mantenga en saturación. El valor mínimo de VDS en saturación se expresa como VDS(sat) = VGS - VT, lo que nos da VDS(sat) = VON. Así, VON se puede entender como el voltaje mínimo necesario para mantener el transistor en saturación.

Cuando los transistores MOS están en serie, como en el caso de la configuración cascode, la corriente que fluye a través de ellos debe ser la misma. Usando esta condición, se puede derivar una relación entre las características de los transistores, como las relaciones entre los valores de VON y las proporciones W/L (ancho/largo) de los transistores. Esta relación es crucial para el diseño de circuitos, ya que permite ajustar las características de los transistores para optimizar el rendimiento del sistema.

El principio mencionado se aplica a la configuración de un sumidero de corriente cascode. Para reducir el valor de VMIN, se pueden ajustar las proporciones W/L de los transistores. En el caso de la configuración estándar de sumidero de corriente cascode, si se consideran transistores M1, M2, M3 y M4 con las mismas proporciones W/L, la tensión de puerta-fuente de cada transistor será VT + VON. Sin embargo, al modificar la relación W/L de M4 a una fracción de las proporciones de los otros transistores (por ejemplo, a un cuarto de las proporciones de M1, M2 y M3), se consigue que la tensión de puerta-fuente en M4 sea VT + 2VON. Este cambio reduce significativamente el valor de VMIN, alcanzando una nueva expresión para el mínimo voltaje de drenaje-fuente de la forma VMIN = 2VON.

Este enfoque es ilustrado en un diagrama donde se muestra cómo la tensión en el gate de M2 se reduce a VT + 2VON. Este ajuste permite reducir el voltaje mínimo necesario para mantener los transistores M1 y M2 en saturación. Así, al aumentar las proporciones W/L, se consigue que el valor de VMIN se reduzca aún más, lo que mejora la eficiencia del circuito y reduce el consumo de energía.

Para diseñar un sumidero de corriente cascode con un VMIN específico, es necesario aplicar estos principios para seleccionar correctamente las proporciones W/L y otros parámetros del transistor. Por ejemplo, si se desea un VMIN de 1 V, se puede seleccionar un valor de VON de 0.5 V. A partir de ahí, utilizando el modelo de saturación, se puede calcular la proporción W/L de los transistores. En el caso de un sumidero de corriente cascode con una referencia de corriente de 100 mA y un VMIN de 1 V, se pueden utilizar estos parámetros para determinar el tamaño adecuado de los transistores.

Además, es importante considerar que en la práctica, la precisión de la corriente replicada por el sumidero de corriente puede verse afectada por factores como la modulación de longitud de canal y el cambio de umbral inducido por el drenaje. Para minimizar estos errores, se pueden realizar modificaciones adicionales en el circuito, como la incorporación de un transistor adicional en serie con M3 para igualar las tensiones de drenaje de M1 y M3, eliminando así las variaciones no deseadas en la corriente de salida.

Finalmente, también existen configuraciones de sumideros de corriente cascode auto-biasadas que eliminan la necesidad de una corriente de referencia adicional, lo que simplifica el diseño y reduce el número de componentes. Sin embargo, estas configuraciones pueden presentar inconvenientes, como la necesidad de resistores de alto valor o la introducción de polos parásitos que afectan el rendimiento del circuito.

Es esencial que el lector comprenda que la relación entre los parámetros de los transistores, como el VON y las proporciones W/L, es clave para lograr un rendimiento eficiente en las configuraciones cascode. Además, se deben considerar los efectos de la modulación de longitud de canal y los cambios de umbral, que pueden influir en la precisión y estabilidad de la corriente replicada. El diseño cuidadoso de estas relaciones y la aplicación de mejoras prácticas como las descritas en este texto son fundamentales para optimizar el funcionamiento de los circuitos en aplicaciones avanzadas de electrónica analógica.