Was ist die fundamentale Identität und ihre Rolle in der Quantenmechanik und Feldtheorie?

In der Quantenmechanik (QM) und Feldtheorie spielen Symmetrien eine entscheidende Rolle bei der Bestimmung der Eigenschaften und Dynamiken von Systemen. Ein grundlegendes Konzept in diesem Zusammenhang ist die "fundamentale Identität", die verschiedene physikalische Konzepte miteinander verbindet, wie die Bewegungsgleichungen, Kanonische Vertauschungsrelationen und die Ward-Identität. Diese Identität ist von zentraler Bedeutung für das Verständnis von Symmetrien und erhaltenen Größen, wie sie in Noethers Satz formuliert sind. Wir betrachten zunächst die grundlegenden Prinzipien der Quantenmechanik, um die Grundlagen dieser Identität zu verstehen.

In der Quantenmechanik lassen sich Operatoren oft in Form von Gleichungen ausdrücken, die durch eine Summe über Pfade gewonnen werden. Eine solche Beziehung kann beispielsweise in der Form $E = 0$ formuliert werden. Ein Beispiel sind die kanonischen Vertauschungsrelationen zwischen den Operatoren $q_i$ und $p_k$ , die durch die Gleichung $[q_i, p_k] = i\hbar \delta_{ik}$ beschrieben werden. Diese Vertauschungsrelationen lassen sich in der Sprache der Pfadintegrale formulieren, wobei die Matrixelemente der Operatoren zwischen beliebigen Zuständen durch sogenannte „Green’s Funktionen“ ausgedrückt werden, die die Erwartungswerte des T-geordneten Produkts von Operatoren im Vakuum sind.

Um diese Konzepte klarer zu fassen, betrachten wir ein QM-System mit einer endlichen Anzahl von Freiheitsgraden, die durch die Variablen $q = \{q_1, \dots, q_N\}$ beschrieben werden. Eine infinitesimale Variation der Koordinaten $q(t)$ , wie $q_i(t) \rightarrow q_i(t) + \delta q_i(t)$ , wird dann untersucht. Diese Variationen repräsentieren Transformationen wie Übersetzungen oder lineare Transformationen, die das Pfadintegral nicht verändern.

Für die Symmetrien, die das System betreffen, lässt sich eine fundamentale Identität ableiten, die als Grundlage für die Entwicklung von weiteren physikalischen Beziehungen dient. Zum Beispiel kann die Variation der Lagrange-Funktion $\delta L(q(t), \dot{q}(t))$ genutzt werden, um eine Beziehung zwischen den Green’s Funktionen mit und ohne die Variation der Koordinaten zu formulieren. Diese Beziehung hat große Bedeutung für das Verständnis von erhaltenen Größen und Symmetrien, die in der Quantenmechanik und Feldtheorie eine Schlüsselrolle spielen.

Ein weiteres zentrales Konzept in diesem Zusammenhang ist die Ward-Identität, die eine Verbindung zwischen verschiedenen Green’s Funktionen herstellt, etwa zwischen der Vertex-Funktion und der Selbstenergie des Elektrons in der Quanten-Elektrodynamik (QED). Die Ward-Identität ist ein direktes Ergebnis der fundamentalen Identität und stellt sicher, dass die Symmetrien der Theorie konsistent mit den erhaltenen Größen sind, die durch Noethers Satz beschrieben werden.

In der Feldtheorie erweitern sich diese Prinzipien auf die Felder selbst, wie die Felder $\varphi_i(x, t)$ , die durch lineare Transformationen und Übersetzungen verändert werden können. Es ist wichtig zu verstehen, dass die Symmetrien und die erhaltenen Größen in der Feldtheorie durch die gleichen grundlegenden Prinzipien wie in der Quantenmechanik bestimmt werden, aber auf die Felder und deren Dynamik angewendet werden.

Um den Inhalt dieser Kapitel weiter zu vertiefen, ist es hilfreich, die Rolle von Symmetrien in physikalischen Theorien nicht nur als mathematische Formalismen zu verstehen, sondern als fundamentale Eigenschaften, die die Gesetze der Physik strukturieren. Symmetrien wie die Translation in Raum und Zeit oder interne Symmetrien spielen eine entscheidende Rolle bei der Bestimmung der Erhaltungssätze, die tief mit den Gesetzmäßigkeiten der Natur verbunden sind. Ein umfassendes Verständnis der fundamentalen Identität erfordert daher auch eine vertiefte Auseinandersetzung mit diesen Symmetrien und ihrer Bedeutung für die Erhaltung von Energie, Impuls und anderen physikalischen Größen.

Wie man Störungstheorien zur Berechnung von Green’schen Funktionen verwendet

Im vorangegangenen Kapitel haben wir die Methode der Pfadsummen auf sehr einfache Feldtheorien angewendet, insbesondere auf reale oder komplexe skalare freie Felder. Unter freien Feldern verstehen wir Felder, die Teilchen beschreiben, die nicht miteinander interagieren. Dies bedeutet, dass der Lagrangian keine Terme höheren Grades als quadratisch in den Feldern enthalten sollte und die entsprechenden Bewegungsgleichungen linear in den Feldern sind. Die Klein-Gordon-Gleichung für das skalare Feld und die Dirac- und Maxwell-Gleichungen für Felder mit Spin 1/2 und (masselosem) Spin 1 sind Beispiele dafür. In all diesen Fällen wird die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichungen als Überlagerung von ebenen Wellen dargestellt, die verschiedene mögliche Zustände mit definiertem Impuls der Teilchen entsprechen.

In interessanten physikalischen Fällen ist die Situation jedoch komplexer. Der Lagrangian enthält Terme höherer Ordnung, zum Beispiel Terme dritter oder vierter Ordnung (oder sogar noch höher), und die Bewegungsgleichungen sind nicht mehr linear. Dies führt zu Theorien, für die im Allgemeinen keine exakten Lösungen bekannt sind. In solchen Fällen sind Annäherungsmethoden erforderlich, wobei die Störungstheorie in den Vordergrund tritt. In diesem Kapitel konzentrieren wir uns auf die Quanten-Elektrodynamik (QED) und Eichfeldtheorien, beginnen jedoch zur Veranschaulichung mit dem einfachen Fall eines realen Skalarfeldes mit einer λφ⁴-Wechselwirkung und dem entsprechenden Lagrangian:

L = \frac{1}{2} \partial_\mu \phi(x) \partial^\mu \phi(x) - \frac{1}{2} m^2 \phi^2 - \frac{\lambda}{4!} \phi^4

Dieser Lagrangian führt zu einer nichtlinearen Bewegungsgleichung:

(\Box + m^2) \phi(x) = - \frac{\lambda}{3!} \phi^3(x)

deren allgemeine Lösung auch auf klassischer Ebene nicht bekannt ist.

Die mathematische Grundlage zur Berechnung physikalisch interessanter Größen wie der Green’schen Funktion erfolgt in der Regel über eine Reihe von Potenzen der Kopplungskonstanten λ, der sogenannten Störungstheorie. Wenn λ klein ist, können die ersten paar Terme dieser Reihe eine gute Näherung der physikalisch relevanten Größen liefern. Um mit dieser Technik zu arbeiten, wird der Lagrangian in zwei Teile aufgeteilt:

L(\phi, \partial_\mu \phi) = L_0(\phi, \partial_\mu \phi) + L_1(\phi)

wobei $L_0$ der freie Lagrangian ist und $L_1$ der Wechselwirkungsterm. In diesem Fall betrachten wir das einfache Beispiel eines einzelnen Skalarfeldes. Das Generierungsfunktional $Z[J]$ ist durch:

Z[J] = \int d[\phi(x)] \exp \left( i \int d^4x L_1(\phi) \right) \exp \left( i \int d^4x L_0(\phi, \partial_\mu \phi) - \phi(x) J(x) \right)

ausgedrückt, was man auch als:

Z[J] = \exp \left( i \int d^4x L_1 \frac{\delta}{\delta J(x)} Z_0[J] \right)

umformulieren kann. Hierbei ist $Z_0[J]$ das funktionale Integral, das mit dem freien Lagrangian $L_0$ verknüpft ist. Für die λφ⁴-Theorie ergibt sich die Form von $Z_0[J]$ zu:

Z_0[J] = \exp \left( - \frac{i}{2} \int d^4x \int d^4y J(x) \Delta_F(x-y) J(y) \right)

wobei $\Delta_F(x - y)$ der Propagator des freien Feldes ist. Eine formale Expansion des Generierungsfunktionals in Potenzen von λ ergibt:

Z[J] = Z_0[J] - i \int d^4x \frac{\delta}{\delta J(x)} Z_0[J] \frac{\lambda}{4!} + \cdots

Die Regeln für die Berechnung von Feynman-Diagrammen können hier auf einfache Weise aus der obigen Formel extrahiert werden. Jede Linie in einem Diagramm entspricht einem Propagator $\Delta_F$ , jede „Ecke“ einem Vertex, der mit einem Wechselwirkungsterm verbunden ist. Ein Punkt im Diagramm, der einen Propagator darstellt, kann als eine „interne Linie“ bezeichnet werden, während eine Linie, die mit einem äußeren Faktor verbunden ist, als „externe Linie“ gilt.

Für die λφ⁴-Theorie können wir Diagramme konstruieren, die zu den verschiedenen Terme der Störungstheorie beitragen. Diagramme, die nur einen Vertex enthalten, repräsentieren die niedrigste Ordnung der Störungstheorie, die mit der Wechselwirkung $\lambda$ verbunden ist. Ein solches Diagramm, das keine externen Linien enthält, stellt eine „Vakuum-Vakuum-Diagramm“ dar, das für die Berechnung des Generierungsfunktionals verwendet wird. Diagramme mit externen Linien stellen die Änderung des Propagators zu verschiedenen Ordnungen der Kopplung $\lambda$ dar.

Zur ersten Ordnung in der Störungstheorie ist das Diagramm, das nur den Propagator verändert, ein einfacher Diagramm, der einen „Vakuum-Vakuum-Prozess“ beschreibt. Bei der nächsten Ordnung erscheinen bereits Diagramme, die die Streuung von zwei Teilchen darstellen. Diese Diagramme korrespondieren direkt mit den Matrixelementen des S-Matrix, welche die Streuprozesse beschreiben.

Ein weiterer Schritt bei der Berechnung der Störungserweiterung besteht darin, die kombinatorischen Faktoren zu berücksichtigen, die für jedes Diagramm spezifisch sind. Für die λφ⁴-Theorie ist diese Berechnung etwas komplizierter als in der Quanten-Elektrodynamik, was jedoch in unserem Fall vorerst keine Rolle spielt.

Die Grundregel für den Aufbau der Diagramme ist jedoch einfach: Jede „Blase“ im Diagramm entspricht einem Faktor $-iJ(x)$ , jedes „Vertex“ trägt einen Faktor $\frac{\lambda}{4!}$ , und jede Linie zwischen den Punkten $x$ und $y$ entspricht dem Propagator $\Delta_F(x - y)$ . Die genaue Berechnung der Feynman-Diagramme erfolgt dann durch Integration über die entsprechenden Raumzeitpunkte und den Propagator.

Neben diesen grundlegenden Konzepten der Störungstheorie und Feynman-Diagramme sollten Leser auch verstehen, dass Störungstheorie immer nur eine Näherung darstellt. In vielen Fällen, insbesondere bei stark kopplungsdominierten Systemen, können höhere Ordnungen in der Störungstheorie sehr komplex und aufwändig zu berechnen sein, während sie für schwache Kopplungen eine exzellente Annäherung bieten. Das Verständnis der Feynman-Regeln ist entscheidend, da sie eine visuelle und rechnerische Methode bieten, um in der Quantenfeldtheorie Berechnungen zu strukturieren und zu vereinfachen.

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