Die trigonometrischen Funktionen Cosinus und Sinus sind für ihre Periodizität bekannt. Diese Eigenschaft zeigt sich in den sich wiederholenden Mustern, die ihre Graphen erzeugen. Die Funktion cos⁡(x)\cos(x) hat beispielsweise den Bereich [−1,1][-1, 1], und ebenso gilt dies für sin⁡(x)\sin(x). Daraus folgt, dass sowohl der Cosinus als auch der Sinus auf dem gesamten Definitionsbereich der reellen Zahlen immer Werte zwischen -1 und 1 annehmen. Eine der auffälligsten Eigenschaften dieser Funktionen ist ihre Periodizität, was bedeutet, dass sich ihre Graphen nach einer bestimmten Länge der x-Achse wiederholen. Dies führt uns zu der Frage, welche Periode diesen Funktionen zugrunde liegt und wie man sie bestimmt.

Die Funktionen sind nicht nur periodisch, sondern sie haben eine fundamentale Periode, die das kleinste Intervall darstellt, nach dem der Graph der Funktion exakt wiederholt wird. Die Frage nach der fundamentalen Periode bezieht sich auf die kleinste positive Zahl pp, so dass für alle x∈Rx \in \mathbb{R} gilt:

f(x+p)=f(x)f(x + p) = f(x)

Ein solcher Wert pp nennt man eine Periode der Funktion. Ein besonders wichtiger Fall ist der fundamentale Periode, der kleinste mögliche Wert für pp, bei dem die Wiederholung des Funktionsgraphen gerade erst beginnt. Für die trigonometrischen Funktionen ist der fundamentale Zeitraum von besonderer Bedeutung, da er eine klare Struktur in den wiederholten Mustern des Graphen angibt.

Die grundlegende Periode der trigonometrischen Funktionen ist bei Sinus und Cosinus gleich 2π2\pi, was bedeutet, dass sich der Graph der Funktionen nach einem Intervall der Länge 2π2\pi exakt wiederholt. Wenn wir jedoch mit der Tatsache arbeiten, dass der Cosinus die kleinste positive Nullstelle zz hat, so können wir durch gegebene Beziehungen und durch Anwendung der Eigenschaften der trigonometrischen Identitäten auch die fundamentale Periode als 4z4z erkennen. Daraus folgt, dass 4z=2π4z = 2\pi, und somit z=π2z = \frac{\pi}{2}. Dies bestätigt, dass der fundamentale Zeitraum der trigonometrischen Funktionen in der Form 2π2\pi als Standardperiode auftreten kann.

Zusätzlich dazu ist es wichtig zu verstehen, dass der Cosinus und der Sinus nicht nur auf einem Intervall von 2π2\pi periodisch sind, sondern diese Periodizität auch als eine sich wiederholende Symmetrie innerhalb eines bestimmten Rahmens beschrieben werden kann. Wenn man etwa den Cosinus auf dem Intervall von 00 bis 2z2z betrachtet, stellt man fest, dass der Graph eine abnehmende Tendenz aufweist. Nach dem Erreichen des Wertes 0 bei x=2zx = 2z beginnt die Funktion erneut zu steigen, wobei sie bei 4z4z den Wert 1 erreicht.

Eine zentrale Rolle spielen auch die Ableitungen der Funktionen, da die Ableitung des Cosinus der negativen Sinusfunktion entspricht, und umgekehrt, die Ableitung des Sinus ist der Cosinus. Diese Ableitungen haben ebenfalls periodische Eigenschaften, die in der Analyse der Funktionen von Bedeutung sind. Auch die Identität

cos⁡2(x)+sin⁡2(x)=1\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1

ist von grundlegender Bedeutung, da sie eine der wesentlichen trigonometrischen Identitäten darstellt, die immer zutrifft und die für die Ableitungen und die Periodizität der Funktionen von großer Bedeutung ist.

In der Praxis bedeutet dies, dass jede Anwendung der trigonometrischen Funktionen immer auf die Periodizität zurückgeführt werden kann, und das Verständnis ihrer fundamentalen Perioden ist essenziell für eine tiefergehende Analyse. Wenn man die graphische Darstellung der Funktionen in Betracht zieht, kann man die Symmetrie und das periodische Verhalten direkt beobachten, was die Theorie anschaulich bestätigt.

Die wichtigsten Aspekte, die zusätzlich zu den Periodizitäten berücksichtigt werden sollten, umfassen die Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen und deren Verhältnisse auf verschiedenen Intervallen. Besonders wichtig ist auch das Verständnis, wie die verschiedenen Identitäten und Ableitungen miteinander zusammenhängen und wie diese zur Vereinfachung von Berechnungen und zur Veranschaulichung komplexer mathematischer Konzepte verwendet werden können.

Warum ist eine kontinuierliche Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall gleichmäßig kontinuierlich?

Sei f:[a,b]→Rf : [a, b] \to \mathbb{R} eine kontinuierliche Funktion. Es lässt sich zeigen, dass ff auf dem abgeschlossenen Intervall [a,b][a, b] gleichmäßig kontinuierlich ist. Diese Eigenschaft ist von großer Bedeutung, besonders in der Analyse, da sie die Grundlage für die Integrabilität von Funktionen bildet.

Zunächst wird angenommen, dass ff kontinuierlich ist. Wenn jedoch ff nicht gleichmäßig kontinuierlich wäre, würde es existieren eine positive Zahl ϵ\epsilon und zwei Folgen (xn)(x_n) und (yn)(y_n) in [a,b][a, b], für die gilt, dass für jedes nn die Abstände ∣xn−yn∣|x_n - y_n| kleiner als 1n\frac{1}{n} sind, aber gleichzeitig ∣f(xn)−f(yn)∣≥ϵ|f(x_n) - f(y_n)| \geq \epsilon. Das bedeutet, dass, obwohl xnx_n und yny_n beliebig nahe beieinander liegen, ihre Funktionswerte immer noch einen festen Abstand von mindestens ϵ\epsilon aufweisen.

Da die Folge (xn)(x_n) beschränkt ist, gewährleistet der Bolzano-Weierstrass-Satz, dass sie eine konvergente Teilfolge (xk)(x_k) hat, und da das Intervall [a,b][a, b] abgeschlossen ist, konvergiert diese Teilfolge gegen einen Punkt p∈[a,b]p \in [a, b]. Daraus folgt, dass auch die Teilfolge (yk)(y_k) der Folge (yn)(y_n) gegen denselben Punkt pp konvergieren muss. Dies lässt sich leicht zeigen, indem man die Ungleichung ∣yk−p∣=∣yk−xk+xk−p∣|y_k - p| = |y_k - x_k + x_k - p| verwendet und die Dreiecksungleichung anwendet.

Nun, da ff an pp stetig ist, folgt aus der Definition der Stetigkeit, dass sowohl f(xk)→f(p)f(x_k) \to f(p) als auch f(yk)→f(p)f(y_k) \to f(p), was zu einem Widerspruch führt. Dies widerspricht der Annahme, dass ∣f(xn)−f(yn)∣≥ϵ|f(x_n) - f(y_n)| \geq \epsilon für jedes nn, und zeigt somit, dass ff auf [a,b][a, b] gleichmäßig kontinuierlich ist.

Ein wichtiger praktischer Nutzen der gleichmäßigen Stetigkeit ist ihre Anwendung auf die Integrabilität. Tatsächlich lässt sich durch die gleichmäßige Stetigkeit einer Funktion auf einem kompakten Intervall beweisen, dass diese Funktion integrabel ist. Diese Erkenntnis wird später, im Kapitel 19, ausführlicher behandelt.

Ein weiteres Beispiel zeigt, wie die gleichmäßige Stetigkeit in einem konkreten Fall genutzt werden kann. Sei f(x)=3xf(x) = \sqrt{3} x für x∈[0,b]x \in [0, b], wobei b>0b > 0. Es lässt sich zeigen, dass ff auf diesem Intervall gleichmäßig kontinuierlich ist, indem man die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit anwendet. Wenn jedoch die Funktion f(x)=xf(x) = \sqrt{x} betrachtet wird, sieht man, dass keine Konstante CC existiert, die die Ungleichung x≤Cx\sqrt{x} \leq Cx für alle x∈[0,b]x \in [0, b] erfüllt. Das zeigt, dass der Satz von Heine-Borel, der die gleichmäßige Stetigkeit einer Funktion auf einem Intervall garantiert, nicht direkt auf diese Funktion angewendet werden kann.