Hvordan arbejder lineære kortlægninger med fri modul og kvotientmoduler?

En vigtig egenskab ved lineære kortlægninger og moduler over en ring er deres evne til at forbinde forskellige typer af algebraiske strukturer. Et centralt koncept i denne forbindelse er brugen af baser i frie moduler og deres kvotienter, som gør det muligt at forstå og analysere strukturerne mere effektivt.

Lad os overveje et R-modul M og en under-modul N af M. Et element i kvotientmodulet M/N repræsenteres som et coset m + N, hvor m ∈ M. Dette element er en klasse af ækvivalente elementer i M, som er udlignet i forhold til under-modulet N. Denne konstruktion gør det muligt at oprette en naturlig lineær struktur på M/N, idet vi kan definere en skalarmultiplikation r · (m + N) = rm + N. Her bemærkes det, at operationen er veldefineret, da den ikke afhænger af, hvilken repræsentant vi vælger for coset’en.

For at konkretisere ideen kan vi bruge et eksempel: Lad L være en linje x = y i R², som er et én-dimensionelt under-rum af R². Kvotientrummet R²/L vil da bestå af alle linjer, der er parallelle med L. I dette tilfælde vil hver coset v + L være en linje parallel med L, og vi kan derfor opfatte kvotientmodulet som et rum af sådanne linjer, hvilket hjælper med at forstå, hvordan kvotientmoduler udvider den oprindelige struktur.

En yderligere relevant observation er, at hvis M er et R-modul og N et under-modul, så kan vi finde en basis for M ved at kombinere baser for N og M/N. Dette fremgår af Proposition 2.2.3, som viser, at hvis {ui}i∈I er en basis for N og {vj}j∈J er en basis for M/N, så vil {ui} og {vj} sammen danne en basis for M. Dette er en vigtig egenskab, da det tillader os at konstruere komplekse moduler ved at bygge på enklere, veldefinerede strukturer som baser.

Når man arbejder med kvotientmoduler og kvotientrum, er det også vigtigt at forstå dimensionen af disse moduler. Corollary 2.2.4 giver en nyttig formel for dimensionen af kvotientrum: Hvis V er et F-vektorrum og W et under-rum, så gælder det, at dim(V) = dim(W) + dim(V/W). Dette forhold er fundamentalt, især når man arbejder med endelige dimensioner, da det giver en måde at beregne dimensionen af det oprindelige rum baseret på dimensionerne af dets under-rum og kvotientrum.

Et centralt værktøj til at forstå strukturen af kvotientmoduler er den fundamentale sætning for homomorfismer, som siger, at der er en naturlig epimorfisme π : M → M/N, defineret ved π(m) = m. Denne epimorfisme er surjektiv og R-lineær, hvilket betyder, at den bevarer modulstrukturen og fungerer som en måde at projicere elementerne i M ned på kvotientmodulet M/N. Det er afgørende at forstå, at epimorfismen er surjektiv, da det betyder, at hver coset i M/N kan repræsenteres ved et element i M.

Når man arbejder med moduler, både i sammenhæng med kvotientmoduler og i bredere algebraiske konstruktioner, er det afgørende at have en klar forståelse af, hvordan baser, lineære kortlægninger og homomorfismer interagerer. Dette giver ikke kun en dybere indsigt i den algebraiske struktur, men også mulighed for at anvende disse værktøjer i praksis, for eksempel i løsningen af systemer af lineære ligninger, analyse af lineære transformationer og konstruktion af algebraiske objekter som vektorrum og moduler.

Hvordan finder vi de elementære matricer?

For at udføre en elementær rækkeoperation på en matrix $A$ svarer dette til at multiplicere $A$ med en elementær matrix $E$ fra venstre, hvilket resulterer i matrixen $EA$. Hvordan finder vi så matrixen $E$? Svaret er enkelt: vi anvender den på identitetsmatrixen $I_m$. Ved at udføre den samme operation på $I_m$ opnår vi $E$, da $E I_m = E$. På samme måde, hvis vi ønsker at finde matricen for en elementær søjleoperation, kan vi udføre den på identitetsmatrixen $I_n$.

Elementære matricer er af tre typer. Vi ser nærmere på hver af disse typer og hvordan de kan udtrykkes eksplícit.

Elementære matricer af type I

Elementære matricer af type II

Når vi skal multiplicere den $i$-te række af $A$ med en skalar $u$, skal vi multiplicere $A$ med en matrix $D_i(u)$, som har formen:

Her repræsenterer $e_{ii}$ den elementære matrix, der ændrer den $i$-te række, mens skalarfaktoren $u$ multipliceres med denne række. Hvis vi i stedet multiplicerer $A$ med $D_i(u)$ fra højre, vil det resultere i at multiplicere den $i$-te søjle med $u$.

Elementære matricer af type III

Invertering af elementære matricer

En vigtig egenskab ved elementære matricer er, at hver operation kan vendes tilbage. Hvis vi ønsker at omvendt udføre en rækkeoperation, som for eksempel at bytte de $i$-te og $j$-te rækker, kan vi simpelthen bytte dem tilbage. Denne egenskab gælder også for de øvrige typer af elementære operationer. Hver elementær matrix er derfor inverterbar, og dens inverse er også en elementær matrix af samme type.

For eksempel er:

• Inversen af $P_{ij}$ lige med $P_{ij}$ selv, da at bytte rækkerne tilbage bringer os til den oprindelige matrix.

• Inversen af $D_i(u)$ er $D_i(u^{ -1})$, da den omvendte operation består i at multiplicere med den inverse skalar $u^{ -1}$.

• Inversen af $T_{ij}(b)$ er $T_{ij}(-b)$, da den omvendte operation er at trække $b$ gange den $j$-te række fra den $i$-te række.

Determinanten af elementære matricer

Determinanten af elementære matricer er et vigtigt emne, da disse matricer ofte bruges i beregningen af determinanter for mere komplekse matricer. Lemaet nedenfor opsummerer resultaterne for determinanten af de elementære matricer:

• $\det(P_{ij}) = -1$, fordi at bytte to rækker i en matrix ændrer tegn på determinanten.

• $\det(D_i(u)) = u$, da multiplicering af en række med $u$ simpelthen multiplicerer determinanten med $u$.

• $\det(T_{ij}(b)) = 1$, fordi tilføjelsen af en række til en anden ikke ændrer determinanten.

Dette betyder, at determinanten af en produktmatrix er lig med produktet af determinanterne af de involverede matricer.

Hvad er vigtigt at forstå?

Hvordan forstå og anvende primærdekompositioner i PID-moduler?

Dy og Dz er uafhængige over D, og Dx = Dy ⊕ Dz. Hvis cy + dz = 0 for nogle c og d ∈ D, viser det samme argument som i (4.4.2), at cy = dz = 0. Dette betyder, at Dy og Dz er uafhængige over D, og dermed er Dy + Dz = Dy ⊕ Dz. Antag nu, at x = by + az. Det er tydeligt, at Dx ⊆ Dy + Dz. Vi har også, at hx = h(by + az) = bhy = bhy + agy = (ag + bh)y = y, eftersom gy = hz = 0. På samme måde har vi gx = g(by + az) = agz = agz + bhz = (ag + bh)z = z. Dette viser, at y, z ∈ Dx, og Dy + Dz ⊆ Dx. Vi kan dermed konkludere, at Dx = Dy + Dz = Dy ⊕ Dz.

Lad os nu finde annx. Da ghx = gh(by + az) = hbgy + aghz = 0, har vi, at (gh) ⊆ annx. Omvendt, lad cx = 0. Da cx = cby + caz = 0, betyder det, at cby = caz = 0, eftersom Dy og Dz er uafhængige over D. Derfor er cb ∈ (g) og ca ∈ (h). Det betyder, at g|cb og h|ca i D. Da ag + bh = 1, har vi (b, g) ∼ 1 og (a, h) ∼ 1. Det følger, at g|c og h|c fra Øvelse 2(a), §4.2. Deraf følger, at gh|c fra Øvelse 2(b), §4.2. Dette viser, at annx ⊆ (gh). Vi konkluderer, at annx = (gh). Den sidste del af udsagnet følger fra Lemma 4.3.2.

I Lemma 4.4.10 behandles en situation, hvor D er et PID, og M er et D-modul. Lad x ∈ D. Antag, at annx = (d), hvor d = upe₁₁p₂e₂···ptet, og u er en enhed i D, ei > 0 for alle i, og pi's er distinkte primtal i D. Der findes x₁, x₂, ..., xt i D, således at Dx = Dx₁ ⊕ Dx₂ ⊕ ··· ⊕ Dxt, hvor annxi = (peii ). Beviset er induktivt, og når t = 1, er der intet at bevise. Antag, at t ≥ 2. Da upe₁₁ og pe₂₂···ptet er relativt primære, kan vi ved hjælp af den kinesiske restteorem finde x₁, y ∈ Dx, således at Dx = Dx₁ ⊕ Dy, hvor annx₁ = (upe₁₁) = (pe₁₁) og anny = (pe₂₂···ptet). Resten følger fra induktionshypotesen.

Definiton 4.4.11 angiver, at et torsionsmodul over D kaldes primært, hvis dets ordensideal er af formen (pe) for et primtal p i D. En dekomposition af et modul i en direkte sum af primære cykliske moduler kaldes en primær dekomposition. Hvis et torsionsmodul over et PID D er givet, kan vi ved hjælp af strukturteoremet (Theorem 4.3.14) finde ikke-nul-elementer z₁, z₂, ..., zs i M, således at M = Dz₁ ⊕ Dz₂ ⊕ ··· ⊕ Dzs, hvor annzi = (di) ≠ (0) for alle i. Hver di kan kun have et begrænset antal primfaktorer, og derfor kan vi finde et endeligt antal distinkte primtal p₁, p₂, ..., pn i D, således at di = pe₁₁pe₂₂···peinn, hvor eij ≥ 0 for alle i, j. Fra Lemma 4.4.10 kan vi finde wij i M, så at M = ⊕ Dz_i, og annwij = (pj).

Dette fører os til Proposition 4.4.12, som hævder, at ethvert finit genereret torsionsmodul over et PID er en direkte sum af primære cykliske moduler. Med andre ord har enhver finit genereret torsionsmodul over et PID en primær dekomposition. Ét af målene i denne sektion er at forklare, hvorfor primærdekompositionen af et finit genereret modul over et PID er essentielt unik. Dette kræver, at vi forstår de grundlæggende begreber og teoremer, der er beskrevet.

Vigtige egenskaber ved primærdekompositioner over et PID er også afspejlet i Lemma 4.4.16, der fastslår, at et element m ∈ Mp, hvis og kun hvis annDm = peD for et ikke-negativt heltal e. Endelig viser Lemma 4.4.17, at komponenterne Mp1, ..., Mpn er uafhængige over D.

Med de nævnte resultater kan vi nå frem til Proposition 4.4.19, som giver os en metode til at finde p-komponenter i et finit genereret torsionsmodul. Hvis p er et primtal i D, som ikke er blandt de distinkte primfaktorer af ds, er Mp = 0. På denne måde opdeles M i direkte summen af komponenter relateret til hver primfaktor. Dette leder os til Corollary 4.4.20, som tilbyder en enkel øvelse, der bekræfter, at M kan opdeles i summen af primære moduler.

Som det ses, tilbyder dekompositionen af torsionsmoduler over PIDs en systematisk metode til at forstå deres struktur ved at analysere deres primære komponenter og deres annulleringsidealer. Denne tilgang giver dybere indsigt i, hvordan torsionsmoduler kan opdeles og studeres, hvilket gør dem til et uundværligt værktøj i algebraisk modulteori.

Hvordan finde en Jordan-form for en matrix og bestemme dens karakteristika?

Når man har en lineær transformation $T$, der er repræsenteret ved en matrix $A$ i forhold til en standard basis $\alpha = (e_1, e_2, e_3)$, kan man finde en basis $\beta = (v_1, v_2, v_3)$, hvor transformationen $T$ er simpel at arbejde med. Hvis vi kan finde en sådan basis, vil transformationen $T$ på de nye basisvektorer give de ønskede resultater, som for eksempel $T v_1 = -v_1$, $T v_2 = v_2 + v_3$, og $T v_3 = v_3$.

I et andet eksempel, hvor man arbejder med matrixen $A$, der er givet som: