I atomare og molekylære systemer antages det ofte, at de interagerende partikler kan beskrives ved en række forskellige potentielle energier, der hver især virker på individuelle partikler. Dette kan udtrykkes ved en samlet potentiel funktion, hvor den enkelte partikelinteraktion behandles separat. Den generelle formel for dette potentiale kan skrives som en sum af individuelle potensialer for hver partikel, hvor V(x)V(x) er summen af potentialerne for alle N partikler:

V(x)=∑i=1NVconf(ri)V(x) = \sum_{i=1}^{N} V_{\text{conf}}(r_i)

Denne ligning beskriver et system, hvor hver partikel er underlagt et confining potential, der virker isoleret på hver partikel. Et konkret eksempel på et sådant potentiale kunne være et harmonisk oscillatorpotentiale, der er centreret om oprindelsen, og som kan skrives som:

Vconf(ri)=k∣ri∣2V_{\text{conf}}(r_i) = k \left| r_i \right|^2

hvor kk er fjederkonstanten, og rir_i er positionen for partikel i. Dette potentiale beskriver et system, hvor hver partikel er bundet i et harmonisk potentiale, som kan være nyttigt til at modellere systemer, hvor partiklerne er bundet tæt omkring et ligevægtspunkt.

I det atomare og molekylære regneforløb skal man derimod tage hensyn til både den indbyrdes elektrostatiske tiltrækning mellem elektronerne og de elektriske kræfter mellem kernen og elektronerne. Coulomb-potentialet er derfor det dominerende potentiale i sådanne systemer. Når man arbejder med atomare og molekylære systemer, anvender man ofte Born-Oppenheimer (BO) approximationen, hvor man antager, at atomkernerne er faste i forhold til elektronernes bevægelse på elektronens tidsmålestok. Dette forenkler de beregninger, man skal lave, da elektronernes bevægelse kan behandles uafhængigt af kernernes positioner.

Således, når kernerne anses for at være faste i position RjR_j, og deres ladninger er ZjZ_j, bevæger de N elektroner sig under indflydelse af en potentiel funktion, der beskriver electron-nucleus-interaktionen. Denne funktion kan skrives som:

Ven(x)=∑j=1A∑i=1N−Zj∣ri−Rj∣V_{\text{en}}(x) = \sum_{j=1}^{A} \sum_{i=1}^{N} - \frac{Z_j}{|r_i - R_j|}

Her er ZjZ_j ladningen af kerne jj, og rir_i er positionen af den ii-te elektron. Den første sum tager højde for tiltrækningen mellem hver elektron og de forskellige kerner, mens den anden sum gør det muligt at beskrive interaktionen mellem elektronerne og atomkernerne.

Derudover skal man tage højde for den elektrostatisk frastødning mellem elektronerne, som også skal medtages i systemets beskrivelse. Denne interaktion kan beskrives ved en potentiel funktion, der er et samlet bidrag fra alle elektronpar i systemet. Denne elektron-elektron interaktion kan skrives som:

Vee(x)=∑i=1N∑j=1,j≠iN1∣ri−rj∣V_{\text{ee}}(x) = \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1, j \neq i}^{N} \frac{1}{|r_i - r_j|}

Hvor rir_i og rjr_j er positionerne af henholdsvis elektron i og elektron j, og ∣ri−rj∣|r_i - r_j| er afstanden mellem de to elektroner. Denne potentielbeskrivelse tager højde for den repulsion, der opstår mellem elektronerne på grund af deres negative ladning.

Vigtigt at forstå er, at disse interaktioner ofte behandles under antagelsen om, at atomkernerne forbliver faste på elektronens tidsskala. Dette er en væsentlig simplifikation, da den meget langsommere bevægelse af atomkernerne i relation til elektronernes dynamik gør det muligt at isolere elektronbevægelserne, hvilket letter beregningerne i mange praktiske anvendelser som f.eks. kvantekemiske simuleringer.

Endvidere skal det understreges, at den Born-Oppenheimer approximation kun er gyldig, så længe man kun interesserer sig for elektronernes opførsel i systemer, hvor kernernes bevægelse er ubetydelig i forhold til elektronernes dynamik. I tilfælde af systemer med stor ionbevægelse eller ved høj temperatur, hvor ionernes bevægelse ikke kan ignoreres, må man tage højde for yderligere effekter, der går ud over denne approximation.

Hvordan modificeret diffusion i en kasse kan beskrive kvante-Monte Carlo-simuleringer for bosoner og fermioner

Kvante-Monte Carlo-metoder (QMC) spiller en afgørende rolle i simuleringen af kvantemekaniske systemer, hvor den eksakte løsning af Schrödinger-ligningen er umulig at opnå analytisk. En interessant udfordring opstår, når man arbejder med partikler i et begrænset rum, såsom i en "kasse", hvor potentialet udenfor kassen er uendeligt, og partiklerne er begrænset til at eksistere inden for dens grænser. I sådanne situationer er det nødvendigt at overveje, hvordan de kvantemekaniske bevægelser af partiklerne ændres, når de interagerer med kassegrænserne. I stedet for at bruge fri diffusion, som kun er gyldig i den t → 0 grænse, skal vi tage højde for det modificerede diffusionsmønster, som respekterer kassens geometriske begrænsninger.

For at beskrive den tidsudvikling af bølgefunktionen Ψ(x′, t) i et sådant system, kan vi skrive udviklingsligningen som en sum af planbølger, der er defineret i kassen. Når vi tager hensyn til kassegrænserne, får vi en udvidelse af bølgefunktionen, der er modificeret af diffusionsoperatoren Tˆ. Denne modificerede diffusion i kassen giver en stabil løsning, der konvergerer mod grundtilstands-bølgefunktionen i lang tid, og dermed eliminerer behovet for fri diffusion og grene.

Når vi overgår fra et enkelt partikelproblem til systemer med identiske partikler, skal vi tage højde for symmetrien af systemet: for bosoner skal bølgefunktionen være symmetrisk, mens den for fermioner skal være antisymmetrisk. Denne symmetri påvirker både bølgefunktionens initialbetingelser og dens tidsudvikling, og derfor er det vigtigt at vælge de rette prøve-bølgefunktioner jT(x) i QMC-simuleringer. I tilfældet med fermioner er der en særlig udfordring: fermioner underkaster sig Pauli-udelukkelsesprincippet, som skaber "knuder" i bølgefunktionen. Dette kræver brugen af den såkaldte "fixed-node" DMC-metode (FN-DMC), hvor knuderne i prøve-bølgefunktionen tvinges til at være på de samme steder som i den eksakte bølgefunktion. Denne tilgang sikrer, at den beregnede energi er et øvre begrænsning af den egentlige grundtilstandsenergi.

I tilfældet med to identiske partikler, uanset om de er bosoner eller fermioner, skal vi også tage højde for den symmetriske eller antisymmetriske karakter af deres bølgefunktion. Når to partikler betragtes i en kasse, kan deres tidudvikling skrives i form af en to-partikel Green’s funktion, som også må overholde de nødvendige symmetrier. For bosoner, som ikke underkaster sig Pauli-udelukkelsen, resulterer dette i en bølgefunktion, der er et produkt af de enkelte partiklers bølgefunktioner. For fermioner vil bølgefunktionen derimod kræve en yderligere behandling for at sikre, at ingen to fermioner kan eksistere i samme kvantetilstand.

I kvante-Monte Carlo-simuleringer for identiske partikler er det derfor essentielt at vælge den rette tilgang til symmetri og evolution af bølgefunktionen, især når vi arbejder med systemer, hvor partiklerne er strengt begrænsede af en kasse. Den modificerede diffusion, som respekterer kassegrænserne, sikrer, at simuleringen forbliver stabil, samtidig med at den korrekt beskriver partiklernes dynamik og de nødvendige kvantemekaniske egenskaber.

Yderligere skal det understreges, at selvom den modificerede diffusion giver en praktisk og stabil løsning i simple tilfælde som partikler i en kasse, kan mere komplekse systemer med interaktioner eller flere dimensioner kræve yderligere tilpasninger i både metode og beregning. Løsningen af Schrödinger-ligningen i sådanne systemer kan blive langt mere kompleks og kræver ofte endnu finere metoder i QMC, som tager højde for både de dynamiske egenskaber og de korrelationer, der opstår mellem partiklerne.

Hvordan forstå og måle superfluiditet i kvantemekaniksimulationer

I simuleringer af kvantevæsker er det vigtigt at forstå, hvordan fluidets egenskaber ændrer sig i forskellige referencerammer. Et af de grundlæggende begreber i dette arbejde er partitionfunktionen og den frie energi. Når vi beskriver væskens opførsel i en stationær (hvile) ramme, kaldes den relevante Hamilton-operator H0H_0, som udtrykker de indre egenskaber af væsken uden at tage højde for dens bevægelse. I den bevægelige ramme bliver Hamilton-operatoren HvH_v, der beskriver hvordan væskens egenskaber observeres af en laboratorieobservatør, og hvordan energitermen ændres med væskens bevægelse. Denne transformation til bevægelsesrammen medfører, at energi skifter med en mængde 12mv2\frac{1}{2}mv^2, og der opstår et ekstra koblingsterm mellem impuls og hastighed.

I denne ramme kan vi beregne væskens momentumoperator P^\hat{P} og dermed få indsigt i fluidets bevægelse uden nødvendigvis at skulle arbejde med koordinatgradienter. Når vi tager den forventede værdi af momentum i bevægelsesrammen, kan vi få udtryk for væskens makroskopiske egenskaber som hastighed og energitilstand. Dette hjælper med at forstå de dynamiske egenskaber i systemet. En vigtig detalje er, at dette kun gælder i en Galileisk transformation, som er en forenklet version af relativistiske transformationer, der ikke er gældende i relativistiske systemer.

For at udtrykke den frie energi i bevægelsesrammen FvF_v og få en relation til systemets superfluiditet, definerer vi en forhold, hvor det er muligt at knytte superfluiditet til væskens energi- og impulsfluktuationer. Superfluiditet i et væske beskriver evnen til at flyde uden viskositet, og i kvantesimuleringer er det almindeligt at relaterer superfluiditeten til fluktuationer i vindningstallet.

Vindning, også kaldet "winding", er et topologisk fænomen, hvor partikler i systemet danner lukkede kredsløb. Dette er særligt vigtigt, når vi arbejder med periodiske grænsebetingelser (PBC) i simuleringer. Vindningstallet, der er en kvantificering af hvor mange gange en partikelbane har viklet sig omkring simuleringsboksen, giver direkte information om superfluiditet. I et isotropisk system vil vindningstallet normalt være nul, men i tilfælde af superfluiditet vil der være en signifikant fluktuation i dette tal. Dette gør det muligt at definere den mikroskopiske superfluiditet som en funktion af fluktuationerne i vindningstallet.

I 3D-simuleringer af en væske i en kubisk boks, kan superfluiditeten måles ved at gennemsnitliggøre vindningstallet i de tre rumdimensioner. Det er vigtigt at understrege, at superfluiditeten måles som en funktion af ændringer i vindningstallet for partiklerne, der er koblet til ændringer i den frie energi i systemet. I disse simuleringer skal man være opmærksom på, hvordan grænsebetingelserne påvirker den observerede superfluiditet og hvilken indflydelse PBC og TBC (trækkede periodiske grænsebetingelser) har på systemets dynamik.

En vigtig observation i simuleringer med periodiske grænsebetingelser (PBC) er, at kun de normale væskepartikler bevæger sig, mens superfluiditeten forbliver stationær. Den gennemsnitlige superfluiditet kan dermed relateres til fluktuationer i vindningstallet, som kvantificerer hvor meget partikelsystemet har roteret omkring sig selv, hvilket er et mål for den kvantemekaniske faseopførsel af væsken.

Når vi sammenligner den makroskopiske teori om superfluiditet med numeriske simuleringer, er det afgørende at forstå, hvordan forskellige grænsebetingelser som TBC'er og PBC'er påvirker de målte egenskaber af væsken. Specielt TBC'er introducerer en ekstra kompleksitet, hvor den observerede virkning af hastigheden på væsken kan ændre sig afhængigt af hvordan man håndterer væskens bevægelse i simulationens grænse. Dette betyder, at for at få en nøjagtig måling af superfluiditeten, er det nødvendigt at tage højde for både de mikroskopiske fluktuationer og de tekniske detaljer ved simuleringen.

Slutningen på denne analyse giver os et mål for superfluiditeten som et topologisk fænomen, der relaterer sig til væskens makroskopiske fluktuationer. Resultaterne af denne analyse kan hjælpe os med at forstå, hvordan kvantevæsker opfører sig under forskellige betingelser, og hvilke faktorer der er vigtigst at kontrollere i simuleringerne for at få præcise målinger af superfluiditet i et system.

Hvordan kan naturen hver dag inspirere til kunstnerisk skabelse og velvære?
Hvordan kan vrede omdannes til medfølelse og håb?
Hvordan forstå kroppens interne mærker og anatomiske strukturer gennem sektionel anatomi?
Hvordan skaber man en zoom-animation med brugerdefineret overgang i Android?