Hvad afgør det uendelige rødforskydning eller blueshift af lys i det kollapsende univers?

I rumtider beskrevet af Lemaître–Tolman-geometrien, hvor universet ikke er homogent, men består af støv og kan gennemgå en kollaps mod en Big Crunch-singularitet, opfører lysstråler sig på måder, der rummer dybtgående konsekvenser for forståelsen af både observerbarhed og horisonter. Ét særligt fænomen, der her opstår, er den uendelige rødforskydning eller blueshift, som lysstråler kan undergå, afhængigt af deres bane og tangent i forhold til den rum-tidlige struktur.

Når en lysstråle udsendes fra en punkt nær Big Bang eller Big Crunch-singulariteten, kan den have enten en horisontal eller vertikal tangent i (t, r)-diagrammet. Dette har direkte fysisk betydning. En horisontal tangent ved udsendelsespunktet betyder, at strålen bevæger sig langs en overflade med konstant kosmisk tid – med andre ord, at alle bølgetoppe udsendes samtidigt fra emitterens perspektiv. Dette indebærer en uendelig frekvens ved udsendelsen, og således en uendelig rødforskydning ved observation, hvilket gør lyset uobserverbart i praksis.

I det modsatte tilfælde, hvor tangenten ved udsendelsen er vertikal, har emitteren i de komobile koordinater en hastighed, der svarer til lysets – den komobile støvpartikel "rider" på bølgen. I dette tilfælde er frekvensen ved udsendelsen nul. Men observeret fra en anden partikel i universet er frekvensen endelig, og dermed bliver forholdet mellem observeret og udsendt frekvens uendeligt: en uendelig blueshift. Det vil sige, at observatøren modtager uendelig energi i det lys, der når ham – teoretisk set. Men denne uendelighed er af matematisk art, da ingen fysisk emitter kan have præcis nul frekvens.

Disse ekstreme forskydninger er ikke blot idealiserede tankeeksperimenter. De har reelle konsekvenser for, hvordan man definerer horisonter og observerbare grænser i universer med kollaps. Hvis tangenten til en radial lysstråle ved Big Bang er horisontal, og samtidig afledte betingelser – som at ∂tB/∂r = 0 – er opfyldt, opstår en situation, hvor rødforskydningen divergerer. Dette blev først foreslået intuitivt af Szekeres og siden bekræftet af Hellaby og Lake gennem formelle beregninger ved brug af Taylor-udvikling nær R = 0.

Ved at undersøge lysstråler, både radiale og ikke-radiale, i numeriske simulationer, observeres, at kun de radiale stråler når Big Crunch-singulariteten med θ → −∞, hvor θ betegner ekspansionsskalaren for lysstrålebundtet. Ikke-radiale stråler nærmer sig singulariteten med θ → +∞, hvilket indikerer divergens. Desuden kan antallet af nulpunkter for θ langs en stråle være 0, 1, 2 eller endda flere – afhængigt af startpunkt og initialretning. Dette er i kontrast til de mere forsimplede Friedmann-modeller, hvor alle observatører har centralsymmetri og derfor ser en mere ensartet horisontstruktur.

Særligt vigtigt er det, at den apparente horisont (AH) defineret som R = 2M i Lemaître–Tolman-modellen, ikke længere sammenfalder med de steder, hvor θ = 0 langs ikke-radiale stråler. Dette medfører, at den sædvanlige fortolkning af horisonter som grænser for observerbarhed ikke uden videre kan overføres til modeller med asymmetri og inhomogenitet. For ikke-centrale observatører eksisterer der ikke én entydig apparente horisont, men snarere et komplekst mønster af overgange, hvor divergens og konvergens af lysstrålebundter afhænger af lokal geometri og materiefordeling.

Disse observationer implicerer, at det at definere "hvornår" og "hvor" noget bliver observerbart i et inhomogent kollapsende univers kræver en ny tilgang. Det er ikke nok at benytte de klassiske horisontbegreber fra homogene modeller – i stedet må man studere de individuelle egenskaber ved lysets geodætiske baner og deres kobling til den lokale stofdynamik.

Hvordan forstå event horizon og geodætiske ligninger i Kerr metrik

Kerr metrikken beskriver et roterende sort hul, og de mange egenskaber ved denne metrik kræver en grundig forståelse af geometri og fysik på et højere niveau. En af de vigtigste aspekter af denne metrik er forståelsen af begreberne event horizon og stationære limitflader, der har dybe konsekvenser for, hvordan tid og rum interagerer i nærheden af et roterende sort hul. For at forstå disse egenskaber er det nødvendigt at visualisere, hvordan geodætiske linjer og begreber som Poisson-operatoren spiller sammen i den generelle relativitetsteori.

I forbindelse med analysen af event horizon, som i Kerr metrikken opstår ved $r = r_+$, er det væsentligt at forstå den dybtgående effekt af rotationen. Som man bevæger sig mod $r = r_+$, ser man, at lys-keglerne bliver mere og mere snævre i alle retninger, indtil de til sidst degenererer til en enkelt stråle langs Y-aksen i T = 0 planet. Dette betyder, at ved $r = r_+$ kan ingen timelike kurver vende tilbage mod stigende r uden at blive spacelike. Dette viser, at $r = r_+$ er et event horizon – et punkt, hvor ingen information kan komme ud af det sorte hul.

Videre, i den indre region af $r = r_-$, bliver lys-keglerne i stigende grad lignende dem i det ydre region $r_+ < r < 2m$. Dette skaber et konstant krydsende mønster af kurver, der til sidst kollapser til den ring-singularitet, som findes ved $r = 0$. Denne singularitet er et matematisk og fysisk skrøbeligt punkt, hvor det almindelige fysikbillede bryder sammen, og fysikken som vi kender den ophører med at gælde.

For eksempel, for geodætiske bevægelser i Kerr metrikken, kan man finde førstegangsbevarelser for Killing-felterne $k^\alpha = \delta^\alpha_0$ og $k^\alpha = \delta^\alpha_3$, som giver information om de energier og impulser, der er bevaret langs geodæserne. Dette kan være nyttigt for at forstå partikelbevægelsen i det nærmeste område af et sort hul og kunne også have implikationer for at beregne de dynamiske egenskaber af objekter, der bevæger sig tæt på event horizon.

En vigtig observation i denne sammenhæng er, at Kerr-metrikken, i lighed med andre relativistiske metrikker, kræver en korrekt håndtering af singulariteter og horizon strukturer, som er essentielle for den dynamiske analyse af objektets bane. Den store betydning af disse horisonter og singulariteter understreger behovet for at anvende mere avancerede metoder i relativistisk fysik for at forstå de grænseflader, hvor tid og rum bliver stærkt forvrænget.

Hvordan kan geodetisk fuldstændighed opnås i den udvidede Kerr-geometri?

Udvidelsen af Kerr-rummet afslører en kompleks mosaikstruktur af sammenhængende regioner, som kan opnås ved at følge de nullfelter, der er tilpasset henholdsvis $k$ og $\ell$. Disse felter definerer retningerne for fremtidig og fortidig udvikling i spacetime-strukturen, og ved at gentage forløbet gennem disse kan man konstruere uendelige sekvenser af områder, som enten kan fortsættes i det uendelige eller identificeres parvist, hvis de er isometriske. For eksempel kan områderne $(-1)$ og $(+3)$ betragtes som identiske gennem en isometrisk transformation.

Spørgsmålet om geodetisk fuldstændighed i denne kontekst afhænger af, om enhver geodetisk linje kan forlænges til arbitrært store værdier af den affine parameter. Det er kendt, at Kerr-manifolden ikke er komplet i streng forstand, da visse nullgeodetiske linjer rammer ringsingulariteten $\Sigma = 0$ (hvor $r = 0$ og $\vartheta = \pi/2$) ved endelige værdier af parameteren. Disse linjer kan ikke forlænges yderligere. Men hvis man begrænser sig til geodetiske linjer, der ikke når denne singularitet, kan de faktisk fortsættes uendeligt.

Koordinattransformationer tilpasses de nullfelter, der definerer de indadgående og udadgående retninger, og fjerner dermed de uendeligheder, som ellers ville opstå ved horisonterne. I særdeleshed viser transformationen af (21.132) og (21.133), at hvis $\dot{r}(r_\pm)$ og $2mr_\pm E - aL_z$ har modsat fortegn, så bliver udtrykkene ved $\Delta_r = 0$ endelige. Denne koordinatvalidering gælder kun for de geodetiske linjer, der er indadgående. For udadgående linjer kræves en spejling af den radiale koordinat $dr \rightarrow -dr$, hvilket skifter fortegnene og dermed fjerner singulariteterne også for disse. Ved at skifte mellem disse koordinatsystemer kan enhver geodetisk linje, der ikke rammer $\Sigma = 0$, fortsættes uden grænse.

Et særligt aspekt af Kerr-metrikken er den ikke-ortogonalitet mellem t-koordinaterne og hypersurfaces med konstant tid. For at minimere de effekter, som rotationen medfører, vælges transformationen $t' = t - a\phi$, hvorved metrikken for snitfladen $\vartheta = \pi/2$ og konstant $t'$ bliver enkel og sammenlignelig med Schwarzschild-rummet. I det ekstreme tilfælde $a^2 = m^2$ kan man videreføre metrikken ved at indføre nulkoordinater $p = t + \xi$, $q = t - \xi$, hvor $\xi(r)$ er en specifik funktion, der “udtvister” rotationens helikale struktur. Det resulterende udtryk for

Hvordan koordineringsændringer påvirker den generelle metrisk form i Riemann-rum

De grundlæggende funktioner i denne metrik, nemlig $\alpha(t,r)$, $\beta(t,r)$, $\gamma(t,r)$ og $\delta(t,r)$, repræsenterer de respektive komponenter, der indgår i den sfæriske symmetri, og som bestemmer rumtiden omkring et punkt i dette rum. Ændringer i disse funktioner kan beskrive forskellige fysiske og geometriske egenskaber af det rum, vi beskæftiger os med.

Desuden kan der foretages koordinattransformationer, der ikke nødvendigvis følger den simplere transformation som i (8.53). Et eksempel på dette er transformationen $r = r' + h(\theta, \phi)$, som beskriver en ændring, hvor radialkoordinaten bliver en funktion af vinklerne $\theta$ og $\phi$. Denne transformation ændrer ikke den sfæriske symmetri i rummet, men fører til, at metrikken ikke længere har den oprindelige enkle form. Specielt observeres, at transformationen gør, at de sfæriske koordinater på forskellige kugleskaller ikke længere er direkte forbundne på samme måde som i den oprindelige form.

En videreudvikling af disse ideer involverer diskussionen af Konformal Killing-felter, som beskriver symmetrier i rummet, der bevarer metrikken under koordinattransformationer. I denne sammenhæng viser det sig, at for Riemann-rum af dimension større end 2, er der altid et endeligt basis for generatormængderne af de konforme symmetrier. Dette er et kritisk skridt i forståelsen af, hvordan transformationer, der bevarer den metriske struktur, kan anvendes i rummet.

For at udlede de nødvendige betingelser for, at et sådant symmetri skal eksistere, skal vi bruge de relevante ligninger og betingelser for Killing-vektorer. Dette fører os til udtryk, der involverer den metrisk kommutative struktur og de geodætiske egenskaber af rumtiden. Disse beregninger afslører, at de nødvendige vilkår for at finde Killing-vektorer og deres relation til kurvaturen af Riemann-rummet er tæt forbundet med rumtidens geometri.

I den videre analyse er det derfor væsentligt at overveje både de algebraiske egenskaber af de metriske komponenter samt deres geometri. Det er ikke kun de konkrete funktioner, der er interessante, men også hvordan koordinattransformationer og symmetrier interagerer med den fysiske rumtid. Dette understreger vigtigheden af at forstå grundlaget for symmetrierne i Riemann-rum, især når vi bevæger os fra den klassiske rumtid til mere komplekse og måske ukendte geometriske strukturer.

I denne sammenhæng skal man også være opmærksom på, hvordan de funktionelle afhængigheder af metrikkomponenterne $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, og $\delta$ kan beskrive ikke bare matematiske strukturer, men også fysiske realiteter, som for eksempel den specifikke dynamik af gravitationelle felter eller andre fysiske felter, der interagerer med rummet.