For at Vn kan blive indlejret i UN, kræves et sæt nødvendige og tilstrækkelige betingelser. Hvis N > n + 1, skal (7.89) – (7.90) suppleres med integrabilitetsbetingelserne i (7.87), hvor X B Ŝ ; B βγ − XŜ ;γβ = 0. Ved at bruge (7.87) og (7.90), eliminere de andenordens afledte af Y A ved hjælp af (7.71) og huske på, at μ-erne er antisymmetriske i deres latinske indekser, finder man, at disse betingelser bliver:

N()εBP^XP^μ[P^S^]β;γ−μ[P^S^]γ;βP^=n+1∑N∑N()+εP^εBR^XR^μ[P^S^]βμ[R^P^]γ−μ[P^S^]γμ[R^P^]βP^=n+∑1R^=n+1N()+gμνεBP^XP^Ω(S^)μγΩ(P^)νβ−ΩB(S^)μβΩ(P^)νγ+RACD(G)YC,βYD,AγXS^P^=n+1+gμνYB,νRQMNP(G)XQS^YM,NμY,βYP,γ=0.N ( ) ε B P̂XP̂ μ[P̂ Ŝ]β;γ − μ[P̂ Ŝ]γ;β P̂=n+1∑N ∑N ( ) + εP̂ ε B R̂XR̂ μ[P̂ Ŝ]βμ[R̂ P̂ ]γ − μ[P̂ Ŝ]γμ[R̂ P̂ ]β P̂=n+∑1 R̂=n+1 N ( ) + gμν ε B P̂XP̂ Ω(Ŝ)μγΩ(P̂ )νβ − Ω B (Ŝ)μβΩ(P̂ )νγ +R ACD(G)Y C ,β Y D, A γ XŜ P̂=n+1 + gμνY B ,ν RQMNP (G)X Q Ŝ YM , N μ Y ,β Y P ,γ = 0.

Som tidligere nævnt, er dette ækvivalent med et sæt projektioner på {Y A,α} og {X A B̂ }. Imidlertid er projektionen på {Y A,α} nul, så den anden projektion repræsenterer fuldt ud (7.91). Ved at kontraktere (7.91) med G Q BQXT̂ opnår vi:

∑N()μ[T^S^]β;γ−μ[T^S^]γ;β+εP^μ[P^S^]βμ[T^P^]γ−μ([P^S^]γμ[T^P^]βP^=n+1)+gμνΩ(S^)μγΩ(T^)νβ−Ω(S^)μβΩ(T^)νγ+RQACD(G)XQYCT^,βYD,AγXS^=0.\sum_{N} ( ) μ[T̂ Ŝ]β;γ − μ[T̂ Ŝ]γ;β + εP̂ μ[P̂ Ŝ]βμ[T̂ P̂ ]γ − μ([P̂ Ŝ]γμ[T̂ P̂ ]β P̂=n+1) + gμν Ω(Ŝ)μγΩ(T̂ )νβ − Ω(Ŝ)μβΩ(T̂ )νγ + RQACD(G)X QY CT̂ ,β Y D, A γ XŜ = 0.

I relativitetsteorien optræder (7.89), (7.90) og (7.92) næsten altid i specialtilfældet N = n+1 (faktisk oftest med N = 4 og n = 3, dvs. for hypersurface i rumtiden). I dette tilfælde forenkles de. Ligningerne (7.92) opfyldes identisk (fordi μ[R̂ Ŝ]β = 0 i dette tilfælde, og indekserne med en hat har kun én værdi N = n + 1, mens alle led i (7.92) er antisymmetriske i [T̂ Ŝ]). Gauss–Codazzi-ligningerne bliver derefter:

Rδαβγ(g)=RQMNP(G)YQ,δYM,αYN,βYP,γ+ε(ΩαγΩδβ−ΩαβΩδγ),Rδαβγ(g) = RQMNP (G)Y Q,δ Y M ,α Y N ,β Y P ,γ +ε (ΩαγΩδβ − ΩαβΩδγ),
Ωαβ;γ−Ωαγ;β=−RQMNP(G)XQYM,αYN,βYP,γ,Ωαβ;γ − Ωαγ;β = −RQMNP (G)XQYM ,α Y N ,β Y P ,γ,

hvor XQ er den eneste normale vektor til Vn, og ε = GABX AXB.

Når koordinaterne i Un+1 er tilpasset Vn, kan udtrykket (7.76) forenkles yderligere. Gennem hvert punkt af Vn trækkes en kurve C i Un+1, der er ortogonal til Vn, og længden af denne kurve, s, vælges som Y n+1-koordinaten i Un+1 på en sådan måde, at Y n+1 = A er konstant på Vn. Ligningerne Y n+1 = A = konstant definerer andre hypersurface i Un+1. Koordinaterne {Y 1, ..., Y n} i Un+1 vælges, så de i Vn svarer til de indre koordinater af Vn, Y α = xα, α = 1, ..., n. I sådanne koordinater er G(n+1)α(Vn) = 0, og Gαβ(Vn) = gαβ. Da kan (7.76) skrives som:

Ωαβ=−Xα;β.Ωαβ = −Xα;β.

I nogle lærebøger bruges (7.95) som definitionen af den anden fundamentale form for en hypersurface. Selvom dette i princippet er korrekt, kan det være vildledende, da det fremstår som en fuldt kovariant definition, hvilket det ikke er. Det gælder kun i de tilpassede koordinater, og semikolonet i (7.95) betegner ikke den kovariante afledte i Vn, men Vn-komponenterne af den kovariante afledte i UN.

I relativitetsteori optræder Gauss–Codazzi-ligningerne også ofte i forbindelse med indlejring af et givet rum-tid Vn i et fladt Riemann-rum med højere dimension. I dette tilfælde bør (7.89), (7.90) og (7.92) opfyldes med RABCD = 0. Med fladt GAB er (7.65) et sæt af n(n + 1)/2 differentialligninger for N ukendte funktioner Y A. En simpel tælling viser, at hvis N = n(n+1)/2, bør sættet have en løsning (for n = 4, N = 10). Dette tager dog ikke højde for forskellige subtile muligheder. Hvis GAB er positiv-definit, mens gαβ ikke er det, vil sættet (7.65) ikke kunne løses med noget N. Problemet med indlejring i flade Riemann-rum er endnu ikke generelt løst, og N ≤ n(n + 1)/2 er kun et plausibelt hint. Dog er indlejringer blevet demonstreret for forskellige specielle tilfælde, og ofte er dimensionen af UN betydeligt mindre end n(n + 1)/2. For den mindste N, hvor en indlejring af et givet Riemann-rum i et fladt Riemann-rum er mulig, kaldes tallet (N − n) klassen af Riemann-rummet. Eksempelvis kan alle konformt flade Riemann-rum indlejres i flade Riemann-rum med dimension (n + 2), hvilket gør dem til klasse 2. Det 4-dimensionelle Riemann-rum svarende til et sfæriskt symmetrisk gravitationsfelt i vakuum kan indlejres i et 6-dimensionalt fladt rum og er derfor også af klasse 2.

Derudover, når man arbejder med de tilpassede koordinater, bliver ligning (7.75) reduceret til en anden nyttig, men ikke kovariant form. I disse koordinater har XB kun den (n + 1)-te komponent, således at Xα = 0. Da Y α = xα på Vn, bliver den første term i (7.75) −Gα(n+1)X n+1,β = 0. Den anden term bliver −g ρ αρ Xn+1. Man kan let verificere, at ρ = 1gρσg (n+ 1)β 2 βσ,(n+1), så G Ωαβ = −1 gαβ,(n+1)X n+1.

Hvordan finde basisen for Killing-vektorfelter i et Riemannskrumplads

I et givet Riemannskrumplads, hvor metrikken gαβg_{\alpha\beta} og Riemann-tensoren RραβγR_{\rho\alpha\beta\gamma} er kendt som funktioner af koordinaterne {x}\{x\} i et åbent nabolag omkring et hvilket som helst punkt p0p_0, kan vi bruge ligning (8.22) til at beregne de kovariate derivater af Killing-vektorfeltet KγK_{\gamma} algebraisk. Denne relation giver os mulighed for at finde Kγ;αβ(p0)K_{\gamma;\alpha\beta}(p_0), hvis vi kender Kγ(p0)K_{\gamma}(p_0). Ved at differentiere (8.22) kan vi også finde alle kovariate derivater af KγK_{\gamma} ved p0p_0, og derefter bruge disse til at beregne Kγ(p)K_{\gamma}(p) i et passende nabolag af p0p_0. Dette er muligt, da den Taylor-udvikling, vi anvender, kræver, at Riemann-tensoren RραβγR_{\rho\alpha\beta\gamma} er analytisk i nabolaget af p0p_0.

Når vi har alle disse derivater, kan vi bestemme Kγ(p)K_{\gamma}(p) entydigt. Det er vigtigt at forstå, at for at denne proces skal være entydig, skal der være nøjagtigt nn konstanter, hvor nn er dimensionen af manifolden. Dette er de nødvendige data for at kunne bestemme Killing-vektorfeltet Kγ(p)K_{\gamma}(p). Når man tager alle de kovariate derivater i betragtning, kan vi konkludere, at Taylor-serien for Kγ(p)K_{\gamma}(p) vil indeholde op til 12n(n+1)\frac{1}{2} n(n+1) vilkårlige konstanter, som multipliseres med forskellige funktioner af {x}\{x\}. Det er disse konstanter, der danner løsningerne til basisen for Killing-vektorfelterne, og deres antal kan ikke overstige 12n(n+1)\frac{1}{2} n(n+1).

For at finde basisen for Killing-vektorfelterne i et givet rumtidsgeometri følger vi disse trin:

  1. Løs Killing-ligningerne. Den generelle løsning afhænger af op til 12n(n+1)\frac{1}{2} n(n+1) vilkårlige konstanter.

  2. Beregn basisen kμ=∂Kμ∂Aik_\mu = \frac{\partial K_\mu}{\partial A_i} for de uafhængige Killing-vektorfelter, hvor AiA_i er de vilkårlige konstanter.

  3. Hver Killing-vektor genererer en én-parametrisk undergruppe af symmetrier.

Det er også nødvendigt at understrege, at selvom vi bruger termen 'Killing-vektorer', er disse i virkeligheden vektorfelter, hvis komponenter er funktioner. Derfor kan antallet af lineært uafhængige Killing-vektorfelter være større end dimensionen af manifolden, som det er tilfældet i flade Riemann-skrumpladser, hvor det maksimale antal lineært uafhængige Killing-vektorfelter er 12n(n+1)\frac{1}{2} n(n+1).

En potentiel kilde til forvirring opstår i forståelsen af, at basisen for Killing-vektorfelter afhænger af de specifikke symmetrier af manifolden. For eksempel, i tilfælde hvor metrikken eller tensoren ikke er invariant under bestemte transformationer, som i tilfælde af den konstante Krumm-tensor RαβγδR_{\alpha\beta\gamma\delta}, kan det være nødvendigt at behandle disse transformationer som en separat gruppe af symmetrier. I sådanne tilfælde kan de genererede vektorfelter ikke nødvendigvis beskrives af et fast antal konstante Killing-vektorer.

Derudover, når Killing-vektorfelter forfølges langs en geodetisk linje, vil det resulterende vektorfelt, også kaldet geodetisk afvigelsesvektor, følge et særligt forhold givet ved geodetisk afvigelsesligning (8.24). Denne opdagelse viser, at Killing-vektorfelter, når de bliver transporteret langs en geodetisk linje, svarer til de geodetiske afvigelser, hvilket giver et konkret geometrisk billede af symmetrier i rumtiden.

Ud over de metrik- og Riemann-tensorer, der ofte undersøges for deres symmetrier, kan også andre tensorfelter, såsom kontravariantvektorer, analyseres under invariansbetingelser. Disse felter følger deres egne, specifikke transformationsegenskaber, som er beskrevet i relation (8.25). For sådanne tensorfelter er det vigtigt at skelne mellem invarians af selve tensoren og af dens komponenter under koordineringsskift.

Slutligt bemærkes, at Lie-derivativet spiller en central rolle i forståelsen af Killing-vektorfelters symmetrier og de invariansrelationer, der opstår i Riemann-skrumpladser. Dette begreb er afgørende for at analysere, hvordan tensorfelter ændrer sig langs orbits af symmetri-grupper og giver et effektivt værktøj til at håndtere transformationsgrupperne. Hvis Lie-derivativet af et tensorfelt er nul, indikerer det, at tensorfeltet er invariant langs symmetri-orbiten.

Hvordan Krumning Påvirker Elektromagnetiske Bølger i Relativistisk Kosmologi

De to ligninger viser, at de førsteordens termer fungerer som kilder i Maxwell-ligningerne for nulledeterminante termer. Sammenligner man dette system med Maxwell-ligningerne i tomt rum, ser vi, at den elektromagnetiske bølge faktisk ikke breder sig ud i vakuum – højere ordens termer fungerer som et medium med strømme og ladninger, som den nulledeterminante bølge kan spredes gennem. På samme måde vil de førsteordens termer blive påvirket af andensordens termer, og så videre. Dette udgør krumningens indflydelse på udbredelsen af den elektromagnetiske bølge. I et fladt rum i de kartesiske koordinater er en konstant B0αβB_0^{\alpha\beta}, med alle Biαβ≡0B_i^{\alpha\beta} \equiv 0 for i≥1i \geq 1, en løsning af (16.5) – (16.6).

Antager vi, at systemet er selvkonsistent (der er ikke noget formelt bevis for denne antagelse), og at ‘hale’ termerne forbliver små, overvejer vi nu konsekvenserne af (16.4). Den anden ligning af (16.4) kan skrives som:

kαB0βγ+kβB0γα+kγB0αβ=0.(16.7)k^\alpha B_0^{\beta\gamma} + k^\beta B_0^{\gamma\alpha} + k^\gamma B_0^{\alpha\beta} = 0. \quad (16.7)

Når (16.3) er opfyldt, er rotationen af vektorfeltet kαk^\alpha, som defineret senere i denne sektion, nul. Derfor viser det sig, at den geometriske optik tilgang er mere generel i denne henseende: bølgebeskrivelsen tillader ikke roterende kongruenser af stråler.

Ved at kontrahere dette med kαk^\alpha og bruge (16.4), opnår vi straks:

kαkα=0,(16.8)k^\alpha k_\alpha = 0, \quad (16.8)

dvs. bølgevektoren for strålen er en nullvektor. Heraf følger det, at:

k ;βαkα=0,(16.9)k^\alpha_{\ ;\beta} k^\alpha = 0, \quad (16.9)

Men eftersom kα=S,αk^\alpha = S_{,\alpha}, har vi k ;βα=kβ;αk^\alpha_{\ ;\beta} = k_\beta ;\alpha, og derfra:

kβ;αkα=0,(16.10)k_\beta ;\alpha k^\alpha = 0, \quad (16.10)

hvilket betyder, at kαk^\alpha er geodætisk, og dens parametrisering er affinitet. Derudover, ved at kontrahere (16.7) med (B0)βγ(B_0)^{\beta\gamma} og bruge (16.4), opnår vi:

B0αβ(B0)αβ=0.(16.11)B_0^{\alpha\beta}(B_0)_{\alpha\beta} = 0. \quad (16.11)

Ved at kontrahere (16.7) med (B0)δγ(B_0)_{\delta\gamma} og bruge (16.4) endnu en gang, opnår vi:

kαB0βγ(B0)δγ−kβB0αγ(B0)δγ=0.(16.12)k^\alpha B_0^{\beta\gamma} (B_0)_{\delta\gamma} - k^\beta B_0^{\alpha\gamma} (B_0)_{\delta\gamma} = 0. \quad (16.12)

Denne ligning har formen:

kαVβ−kβVα=0,(16.13)k^\alpha V_\beta - k_\beta V^\alpha = 0, \quad (16.13)

hvilket betyder, at vektorerne VαV^\alpha og kαk^\alpha er proportionale (kollineære). Derfor:

B0αγ(B0)δ=μkαkδ.(16.14)B_0^{\alpha\gamma} (B_0)_{\delta} = \mu k^\alpha k_\delta. \quad (16.14)

Fra (16.11) og (16.14) ser vi, at den elektromagnetiske energi-momentum tensor for feltet (16.1) – (16.2) er:

Tαβ=14π(μkαkβ+O(ϵ)),(16.15)T^{\alpha\beta} = \frac{1}{4\pi} \left( \mu k^\alpha k^\beta + O(\epsilon) \right), \quad (16.15)

hvilket, op til termer lineære i ϵ\epsilon, er et perfekt-fluid-type medium med den ‘4-hastighed’ kαk^\alpha. Da kαk^\alpha er null, svarer hastigheden af strømmen til lysets hastighed, så (16.15) svarer til en strøm af fotoner. Fra T ;βαβ=0T^{\alpha\beta}_{\ ;\beta} = 0, og ved at bruge (16.10), får vi:

(μkα) ;α=0,(16.16)(\mu k^\alpha)_{\ ;\alpha} = 0, \quad (16.16)

som betyder, at strømmen af fotoner er bevaret.

Redshift

En observatør, der bevæger sig med 4-hastigheden uαu^\alpha, vil måle ændringen i fase af lysbølgen:

vp=S,αuα=kαuα.v_p = S_{,\alpha} u^\alpha = k^\alpha u^\alpha.

Inden for et kort tidsinterval Δs\Delta s, vil fasen således ændre sig med ΔS=kαuαΔs\Delta S = k^\alpha u^\alpha \Delta s. For en anden observatør, der bevæger sig med hastigheden u1αu_1^\alpha og måler faseændringen ved et andet rumtidspunkt, hvor kα=k1αk^\alpha = k_1^\alpha, vil den samme faseændring ΔS\Delta S generelt tage et andet tidsinterval, Δs1\Delta s_1:

ΔS=kαu1αΔs1.\Delta S = k^\alpha u_1^\alpha \Delta s_1.

For elektromagnetiske bølger, der er periodiske, vil ΔS\Delta S være forbundet med frekvensen ν\nu ved:

ΔS=2πνΔs,\Delta S = 2\pi \nu \Delta s,

hvilket gælder for et vilkårligt tidsinterval Δs\Delta s. For den samme faseændring målt af to forskellige observatører har vi:

ν1Δs1=ν2Δs2,\nu_1 \Delta s_1 = \nu_2 \Delta s_2,

så

ν2ν1=Δs1Δs2.\frac{\nu_2}{\nu_1} = \frac{\Delta s_1}{\Delta s_2}.

Dette er formelen for den kosmologiske redshift, afledt uden at påberåbe sig nogen bestemt kosmologisk model. Den kan skrives i en mere velkendt form. Hvis ee og oo henviser til mængder beregnet ved emissionstidspunktet af lysstrålen og ved detektionspunktet, henholdsvis, får vi fra definitionen af redshift:

λo−λeλe=z=λoλe−1.\frac{\lambda_o - \lambda_e}{\lambda_e} = z = \frac{\lambda_o}{\lambda_e} - 1.

Men da λoλe=νeνo\frac{\lambda_o}{\lambda_e} = \frac{\nu_e}{\nu_o} (fordi den lokalt målte lyshastighed c=λνc = \lambda \nu er konstant), får vi:

νe(kαuα)e=νo(kαuα)o(1+z).\nu_e (k^\alpha u_\alpha)_e = \nu_o (k^\alpha u_\alpha)_o (1 + z).

Konsekvenser af Krumningspåvirkninger på Redshift

Denne ligning for redshift kan anvendes i alle kosmologiske modeller, men kun for lyskilder, der er tæt på observatøren. Det er vigtigt at bemærke, at alle mængderne i denne ligning kan beregnes uden at skulle integrere nogen differentialligninger, hvilket gør den særligt nyttig i praktiske beregninger.

Desuden er det interessant at forstå, hvordan forskellige faktorer som vektorkrummelse og observerens egen bevægelse (der måles ved uαu^\alpha) kan påvirke den målte redshift. Rotation og geodetiske bevægelser kan føre til anisotropi i redshift, mens for σαβ=0\sigma_{\alpha\beta} = 0 og u˙α=0\dot{u}_\alpha = 0 vil redshiften forblive isotrop, hvilket er en vigtig antagelse i nogle modeller.

Hvordan Algebrisk Specielle Rumtider Påvirker Geometriske Observationer og Fysik

Når vi beskæftiger os med relativistisk kosmologi, er en central problemstilling forståelsen af rumtider, der udviser algebraisk specialitet. Specielt når vi beskæftiger os med vakuumrumtider, er det afgørende at forstå relationen mellem geodetiske og nulvektorer, samt hvordan de interagerer med Weyl-tensoren. I denne kontekst er det nødvendigt at udforske de matematiske betingelser, som rumtiden skal opfylde for at være algebraisk speciel, samt hvordan disse betingelser afspejles i fysiske og astronomiske målinger.

En væsentlig ligning i denne analyse, som stammer fra grundlæggende differentialgeometri, er betingelsen for integrabilitet. Denne betingelse beskriver, hvordan de ikke-kommutterende retningafledte operationer skal forbindes, for at systemet af ligninger kan give en løsning, der er fysisk konsistent. Ved at anvende disse betingelser på en rumtids geometri, får vi relationer, som involverer både geometriske komponenter som Kronecker-symboler og Christoffel-symboler, samt deres forbindelser til Riemann-tensoren.

De specifikke ligninger i kapitel 16 afslører, at i visse tilfælde af geodetiske stråler og vakuumrumtider, kan løsningerne føre til en nulværdi for visse komponenter af Christoffel-symbolerne. Dette indebærer, at nogle betingelser er nødvendige for at opretholde den algebraiske specialitet af rumtiden. For eksempel, i visse situationer af den generelle relativitetsteori, er det muligt at beregne, hvordan det geometriske strukturer på rumtiden påvirker de observerede fænomener som lysflux og den observerede afstand til fjerne objekter.

En yderligere anvendelse af denne forståelse omhandler definitionen af afstanden i krumlede rumtider. I den relativistiske kosmologi bliver det problematisk at definere afstanden mellem to objekter i et krumt rum, da den abstrakte geometriske definition af afstanden ikke nødvendigvis har nogen direkte relation til de observationer, der kan gøres med astronomiske målinger. Denne afvigelse kræver en definition af afstand, som kan måles med praktiske, astronomiske observationer.

Når vi ser på fluxen af stråling, der når en observatør i en vakuumtilstand, kan denne flux beskrives som en funktion af den geodetiske bane, som strålerne følger. Dette kan udtrykkes i termer af den energi, der transmitteres gennem en enhedsoverflade pr. tidsenhed. Afstanden mellem objektet og observatøren er ikke direkte proportional med den observerede flux, især ikke når vi tager højde for effekten af rødshift. Et vigtigt punkt at bemærke er, at fluxen faktisk vil falde med øget rødshift, men dette betyder ikke nødvendigvis, at den observerede afstand også vil stige på en simpel måde.

Ydermere, i tilfælde af en nul geodetisk bundt, kan kurvatur-effekten føre til, at geodetiske stråler refokuserer sig selv, hvilket resulterer i en anomal øgning af lysstyrken, som en observatør vil registrere. Dette fænomen er især relevant i områder af kosmologi, hvor man undersøger store afstande mellem galakser og stjernesystemer, hvor geodetiske stråler, der rejser gennem krumle rumtider, ikke nødvendigvis opfører sig på samme måde som de ville i et fladt rum.

En model for dette fænomen gør det muligt at beskrive fluxen af stråling som en funktion af både den observerede afstand og de geometriske forhold, som strålerne gennemgår på deres rejse mod observatøren. Ved at udregne de nødvendige forhold mellem flux, afstand og redshift kan vi opnå en præcis beskrivelse af lysstyrken som observeret fra forskellige positioner. Denne forståelse er vigtig for at kunne analysere de observerede data fra astronomiske instrumenter og udlede nøjagtige resultater, der afspejler den virkelige struktur af rumtiden.

Således kræver beregningen af afstanden mellem objekter i en krumlet rumtid en præcis forståelse af både geometrien af rumtiden og de effekter, som denne krumning har på lys og andre elektromagnetiske signaler. Dette involverer komplekse matematiske værktøjer og fysikkens love, som til sammen gør det muligt at afkode observationer og teoretiske modeller af kosmos.

Hvilken betydning har Guantanamo Bay for den amerikanske sikkerhedspolitik?
Hvordan kan DevOps ændre testpraksis gennem udviklingsrørledningen, funktionstoggles og crowdsourcing?
Hvordan man planter og kombinerer dahliaer i haven
Hvad er værktøjets sprog, og hvordan taler det til os?